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Transkript Statistik Video 53 - Ereignisse

Guten Tag, schön, dass ihr alle wieder zuschaut. Wir sind heute beim 2. Video zu den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und beschäftigen uns heute vor allem mit Ereignissen. Wir haben ja im letzten Video schon ein paar Definitionen zu Ereignissen gesehen und wollen uns heute anschauen, was genau ein Ereignis ist. Ein zufälliges Ereignis ist eine Teilmenge des Stichprobenraumes Ω. Das heißt: Ich habe ein Zufallsexperiment mit einem Stichprobenraum, also der Menge aller möglichen Versuchsergebnisse und definiere daraus eine Teilmenge und das wird dann ein Ereignis genannt. Da wir eine Teilmenge definieren, bezeichnen wir Ereignisse auch so wie Mengen. Also mit großen Buchstaben, A, B, C, D und so weiter. Wir sagen jetzt allerdings nicht, wenn wir unser Experiment einmal durchführen und unser Ereignis ω haben, sagen wir nicht ω ist Element von A, weil A zwar eine Menge ist, aber wir es als Ereignis ansehen, sondern wir sagen: Unser Ereignis A tritt ein. Ihr müsst euch das Ganze so vorstellen, wir machen das wieder in einem Venndiagramm: Also das hier außen herum ist unser Stichprobenraum Ω, also die Menge aller möglichen verschiedenen Versuchsergebnisse. Und dann haben wir eine Teilmenge drin, das ist unser Ereignis A. Und irgendwo liegt jetzt unser ω und wenn unser ω in A liegt, dann sagen wir: Unser Ereignis A ist eingetreten. Liegt unser ω außerhalb von A, sagen wir: Unser Ereignis A ist nicht eingetreten. Schauen wir uns doch einmal die Beispiele von letzter Woche an und definieren uns dazu ein paar Ereignisse. Schauen wir uns also die Beispiele von letzter Woche an. Wir hatten ja als Beispiel 1 das Würfeln eines sechsseitigen Würfels und hatten als Stichprobenraum Ω gesagt: Das sind augenscheinlich die Augenzahlen 1 bis 6, wenn wir mit einem handelsüblichen sechsseitigen Würfel würfeln. Nun können wir uns also ein Ereignis definieren, sagen wir als Ereignis A wollen wir haben, dass wir eine gerade Augenzahl werfen. Also definieren wir eine Teilmenge von unserem Ω als Ereignis. Eine gerade Augenzahl sind offensichtlich die Augenzahlen 2, 4 und 6. Und das ist jetzt unser Ereignis A. Wenn wir jetzt unser Experiment durchführen und eine 3 zum Beispiel würfeln, sagen wir: A ist nicht eingetreten. Würfeln wir eine 2 sagen wir: A ist eingetreten, wir haben eine gerade Zahl gewürfelt. Schauen wir uns Beispiel 4 an, da hatten wir 3 Münzen geworfen und uns interessiert jetzt als Ereignis A, dass wir zweimal Kopf und genau einmal Zahl werfen, welche Möglichkeiten gibt es da? Offensichtlich: Münze 1 - Kopf, Münze 2 - Kopf, Münze 3 - Zahl, oder: Münze 1 - Kopf, Münze 2 - Zahl, Münze 3 - Kopf, oder zuerst die Zahl und dann zweimal Kopf. Also das wäre dann unser Ereignis A, bei 3 Münzen haben wir genau zweimal Zahl oben und einmal Kopf, das sind unsere Ereignisse. Mit Ereignissen kann man fast genau die gleichen Rechenoperationen machen wie mit Mengen, es wird nur etwas anders bezeichnet. Schauen wir uns das doch einfach Mal an. Ich habe hier einmal die möglichen Operationen aufgeschrieben.Wir kennen ja schon aus der Mengenlehre „A geschnitten B“, „A vereinigt B“, „A Diskrepanz B“, „Nicht A“, das sind im Prinzip die gleichen Operationen, nur, dass man sie ein wenig anders nennt. Also hier sagen wir zum Beispiel nicht „A geschnitten B“, sondern „A und B“, also es müssen A und B gleichzeitig auftreten. Im Venndiagramm interessieren wir uns für diesen Bereich. Was bedeutet das jetzt konkret an dem Beispiel? Ich habe hier einmal 2 Ereignisse definiert, also unser Zufallsexperiment ist erst einmal: Wir würfeln mit 2 Würfeln, natürlich wieder mit sechsseitigen Würfeln und wir wollen, Ereignis A, einen Pasch erzielen und, Ereignis B, die Augensumme 4 haben. Wenn wir jetzt also sagen „A und B“ für gleichzeitig eintreten, was haben wir dann für mögliche Ergebnisse, die eintreten können? Wir haben also nur das Ergebnis (2,2), weil dann gleichzeitig A und B eintreten. Wir haben die Augensumme 4 und wir haben einen Pasch. Gut, das nächste wäre als „A vereinigt B“ gewesen, ist jetzt also „A oder B“, nennt man das. Entweder trifft Ereignis A ein oder Ereignis B tritt ein oder beide treten ein. Also haben wir hier diese ganze Fläche und als mögliche Ergebnisse, wir haben also entweder einen Pasch, können also alle Paschs aufschreiben, also 1er Pasch, 2er Pasch, 3er Pasch, 4er Pasch, 5er Pasch und 6er Pasch und zusätzlich zu allen Paschs haben wir ja noch die Augensummen 4. Also einmal haben wir die Augensumme 4 schon drin, den 2er Pasch. Dann haben wir aber noch die Möglichkeit: Die Kombination aus 1 und 3, ergibt in der Augensumme 4 und die Kombination aus 3 und 1 ergibt in der Augensumme natürlich auch 4. Also haben wir hier 8 verschiedene Ergebnisse. Verschiedene mögliche Ergebnisse, wo beide Ereignisse eintreten, also „A oder B“, entweder A tritt ein oder B tritt ein. Hier, „A Differenz B“ in der Mengenlehre heißt jetzt „A ohne B“. Das heißt, wir interessieren uns für alles, was in A liegt, aber nicht gleichzeitig in B.Unser Ereignis A war: Wir würfeln einen Pasch. Unser Ereignis B war: Wir haben die Augensumme 4. Das heißt, wir wollen jetzt alle Paschs haben, die nicht die Augensumme 4 ergeben. Macht also den 1er Pasch, in der Summe 2, der 2er Pasch würde die Augensumme 4 haben, den schmeißen wir also raus und sonst haben wir einfach alle Paschs vertreten. Also schmeißen wir den 2er Pasch raus, weil er die Augensumme 4 hat und somit würde auch Ergebnis B eintreten. Dann haben wir „A Diskrepanz B“, das bedeutet nichts anderes als wir haben entweder A oder B, aber nicht beides gleichzeitig. Also alles außer der Schnittmenge. Und das bedeutet: Wir haben entweder A, das heißt alle Paschs oder wir haben Augensumme 4, aber nicht beides gleichzeitig. Das heißt, wir haben im Prinzip dieses Ergebnis ohne die Schnittmenge von (2, 2). Also wir haben die Augensumme 4 Kombinationen aus Ereignis B, also (1, 3) und (3, 1) und zusätzlich noch die 5 Paschs, die nicht Augensumme 4 liefern, also den 2er Pasch haben wir genau nicht. Also „A Diskrepanz B“ bedeutet genau wie in der Mengenlehre entweder A oder B, aber nicht beides zusammen. Und hier haben wir jetzt „Nicht A“, wenn das hier A ist, also alles, was außen herum ist. Und das bedeutet, das ist im Prinzip das Gleiche wie „Ω ohne A“, also das Komplette ohne A ist „Nicht A“. Und das ist alles, was kein Pasch ist, das schreibe ich hier einfach einmal hin. Da es 36 mögliche Kombinationen gibt, 6 davon sind Paschs, haben wir hier 30 mögliche Optionen bei „Nicht A“. Das ist die Übersicht der Operationen, die wir mit Ereignissen machen können. Da Ereignisse im Prinzip Mengen sind, sind es die Gleichen wie bei den Mengenoperationen. Sie werden nur anders gesprochen und ein bisschen anders behandelt. Das war auch schon das 2. Video zu Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit einem Schwerpunkt auf Ereignissen, im nächsten Video schauen wir uns noch an, wie eigentlich ein Zufallsexperiment definiert ist, was es da für Unterschiede gibt, um dann mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeit weiter zu machen. Ich bedanke mich für das Zuschauen, hoffe ihr habt einiges gelernt und seid auch beim nächsten mal wieder dabei. Tschüss.

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