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Transkript Statistik Video 52 - Stichprobenraum

Guten Tag, schön, dass ihr alle wieder da seid. Nachdem wir ja in den letzten vier Videos ein paar mathematische Grundlagen geschaffen haben und uns die Mengenlehre noch einmal in Erinnerung gerufen haben, gucken wir uns jetzt die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung an. Wir machen da jetzt ein paar Vorüberlegungen, bevor es wirklich an das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten geht, und gucken uns ein paar Definitionen an. Das ist jetzt also die nächsten paar Videos etwas mehr Theorie, aber sehr wichtig, um nachher die Praxis richtig zu beherrschen. Wir fangen an mit der Definition des Stichprobenraums. Der Stichprobenraum wird manchmal auf Merkmalsraum genannt, ist die Menge aller möglichen Versuchsergebnisse und wird mit Ω bezeichnet. Wenn wir uns also einen Versuch vorstellen, also ein Zufallsexperiment, wie zum Beispiel das Werfen einer Münze, dann gibt es zwei mögliche Ausgänge, Kopf oder Zahl. Und die Menge dieser möglichen Ergebnisse ist dann unser Stichprobenraum Ω. Der würde also bei diesem Zufallsexperiment "Werfen einer Münze" aus den Versuchsergebnissen Kopf und Zahl bestehen. Die Versuchsergebnisse, die elementaren Versuchsergebnisse, also, das Ergebnis ist Kopf oder das Ergebnis ist Zahl werden mit ω bezeichnet, also ω von Ω. Ω sind alle möglichen Versuchsergebnisse, ω sind die einzelnen möglichen Versuchsergebnisse. Also, wir müssen uns da vorstellen, als hätten wir einen großen Topf, und da sind alle möglichen Versuchsergebnisse drin. Also wenn wir jetzt das Werfen einer Münze betrachten, haben wir genau zwei mögliche Versuchsergebnisse, also Kopf und Zahl. Und wir greifen jetzt in diesen Topf hinein und ziehen uns ein ω daraus, und das ist dann unser Versuchsergebnis für unseren einen Versuch. Okay, nachdem wir jetzt den Stichprobenraum definiert haben, gucken wir uns ein paar Beispiele dazu an. Als Beispiel 1 gucken wir uns mal das ganz klassische Beispiel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung an, das Würfeln mit einem Würfel, und zwar mit einem sechsseitigen Würfel, dafür steht hier dieses W6. Gucken wir uns also unseren Stichprobenraum an. Unser Stichprobenraum Ω besteht aus allen möglichen Versuchsergebnissen, ist also die Menge aller möglichen Versuchsergebnisse. Beim Würfeln mit einem sechseitigen Würfel, einem handelsüblichen, den wir so kennen, wäre das also die 1, die 2, die 3, die 4, die 5 und die 6. Das ist die Menge aller möglichen Versuchsergebnisse, wenn wir mit einem sechsseitigen Würfel würfeln, der von 1 bis 6 durchnummeriert ist. Unsere Einträge 1, 2, 3, 4, 5 und 6 sind jetzt also unsere ωs, also unsere elementaren Versuchsergebnisse, jedes Einzelne für sich. Unser Stichprobenraum muss aber nicht, auch wenn es hier so aussieht, aus Zahlen bestehen. Man könnte sich auch vorstellen, unser Stichprobenraum, unser Ω, wäre ein anderer, auch wenn wir den Versuch gleich belassen. Sagen wir einmal, wir würfeln mit einem sechsseitigen Würfel und jeweils zwei Seiten haben eine Farbe, also es gibt zwei rote Seiten, zwei weiße Seiten und zwei blaue Seiten. Dann wären also die möglichen Versuchsergebnisse rot, blau und weiß. Ihr seht also, unser Stichprobenraum, unser Ω, muss nicht eine Menge von Zahlen sein, sondern kann im Prinzip alles Mögliche sein, eine Menge von Symbolen, von Zahlen, von Buchstaben, von Wörtern, je nachdem, um welchen Versuch es sich handelt. Wichtig ist auch noch, dass man immer angibt, ob unser Ω endlich ist oder unendlich, und wenn es unendlich ist, ob es abzählbar unendlich ist oder überabzählbar unendlich. Das ist nachher noch bei der Definition von einem Zufallsexperiment sehr entscheidend. Gucken wir uns noch einmal an, hier haben wir maximal 6 unterschiedliche Ergebnisse auf einem sechsseitigen Würfel, hier unten haben wir sogar nur 3 unterschiedliche, mögliche Ergebnisse, da ja immer zwei Seiten die gleiche Farbe haben. Also ganz klar, Ω ist bei uns endlich. Also, wir wissen vorher genau, welche möglichen Versuchsergebnisse es geben wird und wie viele unterschiedliche es gibt. Ω ist also endlich. Gucken wir uns doch einmal ein Beispiel an, wo das nicht so ist. Wir verändern also ein bisschen unser Beispiel und unser Zufallsexperiment. Wir würfeln jetzt nicht mehr nur mit einem sechseitigen Würfel, sondern wir würfeln so lange mit einem sechseitigen Würfel, bis wir eine gerade Augenzahl bekommen. Gucken wir uns einmal unseren Stichprobenraum an. Was sind die Möglichkeiten, die es da gibt? Also, ich würfele so lange, bis ich endlich eine gerade Augenzahl bekomme. Wenn ich das beim ersten Mal Würfeln erreiche, dann habe ich also einfach nur eine gerade Augenzahl gewürfelt und mein Experiment ist vorbei. Wenn ich beim ersten Mal eine ungerade Augenzahl würfele, das U steht logischerweise für Ungerade, das G für Gerade, wenn ich beim ersten Mal eine ungerade Augenzahl würfele, würfele ich also weiter. Dann ist die Möglichkeit, dass ich beim zweiten Mal eine gerade Augenzahl bekomme. Dann wäre der Versuch auch dabei. Wenn ich allerdings beim ersten Mal eine ungerade Augenzahl würfele, beim zweiten Mal auch und erst beim dritten Mal eine gerade, ist erst nach dreimal Würfeln mein Experiment vorbei und so weiter. Also ihr seh, dass es ist im Prinzip unendlich viele Möglichkeiten gibt. Also ich könnte eine Millionen Mal hintereineander würfeln und eine Millionen Mal eine ungerade Augenzahl bekommen und mein Zufallsexperiment wäre immer noch nicht vorbei. Also das sind die ganzen Möglichkeiten und dabei sagt man: Ω ist abzählbar unendlich. Das heißt zum einen, ich weiß vorher, welche Möglichkeiten es gibt, also ich kann jetzt sagen, anstelle 1500 stehen halt 1499 Mal das U, also dass ich eine ungerade Augenzahl gewürfelt habe, und dann hinter ein G für eine gerade Augenzahl, also ich weiß, was kommen wird, und ich kann das noch durchnummerieren, auch, wenn es eigentlich unendlich ist. So etwas nennt man dann abzählbar unendlich. Ω ist also in diesem Fall abzählbar unendlich. Und genau das ist der Unterschied, wie ich gerade schon erwähnt habe. Es gibt also abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich. Und was das bedeutet, gucken wir uns jetzt an. Also wiederum ein neues Beispiel. Wir wählen eine Versuchsperson, VP steht in der Statistik üblicherweise für Versuchsperson, also wir wählen eine Versuchsperson zufällig aus und messen dann ihr Gewicht. Das ist unser neues Zufallsexperiment. Der Zufall liegt hier, wie gesagt, in der Auswahl der Versuchsperson. Und wir gucken uns jetzt einmal unsere Menger aller möglichen Ergebnisse an. Ja, wie schreiben wir das jetzt auf? Also, die Versuchsperson könnte ja wirklich jedes beliebige Gewicht haben, wenn wir sehr genau messen, ist unser Gewicht auch ein stetiges Merkmal. Das heißt, im Prinzip haben wir beliebig viele Zwischenschritte, also die könnte 70,000001 kg wiegen oder 78,7569. So, wie schreiben wir das jetzt also hin? Unser Stichprobenraum besteht also aus irgendeinem x, wobei x für das Gewicht steht, was folgende Bedingung erfüllen muss. Ja, welche Bedingung muss unser x erfüllen? Wissen wir, was wir für Versuchspersonen haben, wissen wir, was die mindestens wiegen? Keine Ahnung. Also sagen wir einfach x>0. So, dass ist unser Stichprobenraum, unsere Menge aller möglichen Ergebnisse. Ein Ergebnis kann im Prinzip bei diesem Zufallsexperiment jedes Gewicht sein, jedes x, was größer als 0 ist. Alles ist vorstellbar. Gut, ich gebe zu, wenn wir Menschen messen, bewegt sich unser Gewicht schon in etwas definierten Grenzen, aber zwischen 10 kg und 500 kg ist alles möglich, und da das Gewicht ein stetiges Merkmal ist, wir also beliebig viele Zwischenschritte haben, ist in diesem Fall Ω überabzählbar unendlich. Das heißt, wir wissen zwar, was im Prinzip als Ergebnis möglich ist, nämlich jedes Ergebnis, was größer ist als 0, aber wir können es nicht mehr durchnummerieren, weil wir einfach nicht genau wissen, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, beziehungsweise, weil es halt unendlich viele gibt, überabzählbar unendlich. Das heißt, es gibt wirklich unendlich viele, und zwar so viele, dass man sie nicht mehr einfach durchnummerieren kann. Gut, das war Beispiel Nummer 3. Gucken wir uns noch ein Beispiel an, wobei klar werden sollte, was der Unterschied zwischen unserem ω ist und unseren möglichen Ergebnismengen. So, nun also das vierte und letzte Beispiel. Nun werfe ich nicht eine Münze oder einen Würfel, sondern wir werfen drei Münzen. So, und obwohl jede Münze für sich die möglichen Ergebnisse Kopf oder Zahl hat, ist Kopf oder Zahl nicht unser ω. Unser ω ist nämlich eine Kombination der Ergebnisse aller drei Münzen. Das heißt, wir haben in diesem Fall drei Münzen. Wenn wir uns das jetzt einmal kombinatorisch angucken wollen, jede Münze hat zwei verschiedene Ausgänge, also haben wir 2³, also 8 verschiedene, mögliche Ergebnisse. Unser Stichprobenraum wird also aus 8 verschiedenen Elementen bestehen. So, und welche sind das? Wir können uns vorstellen, wir werfen drei Münzen, alle zeigen Kopf. Also haben wir hier unser erstes Ergebnis KKK, also dreimal Kopf. Dann könnten wir uns vorstellen, wir haben zweimal Kopf und einmal Zahl, also KKZ. Es könnte aber auch sein, dass nicht die dritte Münze Zahl zeigt, sondern die zweite Münze, dann wäre also das Ergebnis Kopf, Zahl, Kopf. Und das geht so weiter, alle möglichen Kombinationen, 8 Stück wie gesagt, bis alle zeigen Zahl. So, das ist unser Stichprobenraum, und das hier, das sind unsere ω, also das Ergebnis Kopf von einer Münze ist nicht unser ω, weil das nicht das Ergebnis unseres Zufallsexperiments ist. Wenn wir drei Münzen werfen, haben wir also ein Ergebnis, was aus drei unterschiedlichen Elementen besteht, und dieses Ergebnis nennt man dann ω. Kommen wir also zu ein paar Definitionen. Also wir haben ja unser Ω  als Stichprobenraum definiert, also als Menge aller möglichen Ereignisse. Unser ω, was ja ein Element von unserem Ω ist, ist dann also ein Ergebnis. Das heißt unser Ω, das ist dann eine Menge, wo alle möglichen Ergebnisse drinstehen, alle möglichen ωs. Wenn wir aber jetzt unser ω, also eines unserer Ergebnisse als Menge definieren, also als Ereignis - was genau Ereignisse sind, darauf kommen wir dann im nächsten Video - wenn wir also unser ω als Ereignis definieren, also als eine Menge definieren, die nur ein Element hat, in diesem Fall also ein mögliches Ergebnis, dann nennt man das Ganze Elementarereignis. Also, wenn ich zum Beispiel sage, okay, mein Experiment ist ein Würfelwurf mit einem sechseitigen Würfel, dann ist unser Ω die Menge aller möglichen Ergebnisse, also 1 bis 6,  unsere ω wären dann also die einzelnen Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5, 6. Und wenn ich also ein Ereignis definiere, sagen wir ein Ereignis, ich würfele eine 1, dann nennt man das Elementarereignis. Also ein Ereignis, was nur ein Element hat, nennt man Elementarereignis. Wenn ich letzt als Ereignis eine Menge definiere, die Ω umfasst, also im Prinzip alle möglichen Ergebnisse, das heißt bei einem Würfelwurf mit einem sechseitigen Würfel, würde ich das Ereignis definieren: Ich würfele eine Zahl zwischen 1 und 6. Dann ist das natürlich das sichere Ereignis, denn das trifft immer ein. Wenn ich also ein Ereignis definiere, wo ich alle möglichen Ergebnisse drin habe, das also immer eintreten kann, ist das sichere Ereignis. Wenn ich jetzt aber ein Ereignis definiere, was leer ist, also hier die leere Menge, das ist das Zeichen für die leere Menge, man sieht es auch manchmal so, also im Prinzip nur diese Klammern, die diese Menge definieren ohne Inhalt, das ist auch das Zeichen für die leere Menge. Wenn ich jetzt also ein Ereignis definiere, was keinen Inhalt hat, also eine leere Menge, ist das natürlich ein unmögliches Ereignis. Also, wenn ich bei einem Würfelwurf mit einem sechseitigen Würfel ein Ereignis A definiere und kein mögliches Ergebnis da reintue, ist das ein unmögliches Ereignis, weil es nie eintreten wird. Das hier sind zwei relativ wichtige Sachen, also das sichere Ereignis und das unmögliche Ereignis. Gut, das war jetzt auch schon das Video zum Stichprobenraum. Wie gesagt, im nächsten Video beschäftigen wir uns dann intensiv mit Ereignissen. Was sind Ereignisse, wie rechnet man mit Ereignissen, wie definiert man Ereignisse. Ich bedanke mich fürs Zuschauen, sage bis zum nächsten Mal und tschüss.    

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