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Transkript Statistik Video 51: Rechenregeln bei Mengen

Guten Tag. Schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute bei unserem 4. und letzten Video zur Mengenlehre. Insbesondere beschäftigen wir uns heute mit Mengenoperation und gucken uns dazu erst einmal die Gesetze von de Morgan an. De Morgan war ein englischer Mathematiker, der sich einige Gesetze überlegt hat, wie man mit Mengen rechnen kann. Und die Gesetze von de Morgan sagen Folgendes aus: Wenn wir eine Negation haben über eine Vereinigung von A und B, ist das das Gleiche, als hätten wir einen Schnitt von nichtA und nichtB. Das Gleiche geht auch andersrum. Wenn wir die Negation eines Schnittes von A und B haben, ist das, laut den Gesetzen von de Morgan, das Gleiche, als hätten wir eine Vereinigung von nichtA und nichtB. Anders ausgedrückt: Haben wir eine Negation über einen größeren Ausdruck, können wir die einzelnen Mengen jeweils negieren und alle Mengenoperationen sozusagen umdrehen. Also aus einer Vereinigung wird ein Schnitt, und aus einem Schnitt wird eine Vereinigung. Die Gesetze von de Morgan gelten übrigens auch bei mehr als nur 2 Mengen. Das Ganze sieht ja eigentlich ganz gut aus, damit kann man auch komplexe Ausdrücke, die man vielleicht in der Algebra mal hat, sehr gut vereinfachen. Die Frage ist aber: Stimmen sie auch? Gucken wir uns das Ganze doch mal in einem Venn-Diagramm an. Der gute Herr de Morgan kann ja einiges behaupten. Gucken wir uns also einfach mal an, ob das auch stimmt. So, wir vergleichen jetzt also einfach mal anhand der Venn-Diagramme direkt die Formeln miteinander. Also, nichtA vereinigt B. Das heißt uns interessiert alles, was weder A noch B ist. Ich markiere das jetzt mal in rot, was uns diese Formel hier als Ergebnis im Venn-Diagramm liefert. So, also was weder in A noch in B ist. Das wäre genau dieser Teil. Gucken wir uns mal an, was das Pendant dazu im Venn-Diagramm als Ergebnis liefert. Also nichtA geschnitten nichtB. Ich markiere mal alles, was nicht A ist, in blau. Das hier alles ist nichtA. Wir sehen, große Teile von B gehören dazu. Eigentlich alles, bis auf diese Schnittmenge und natürlich alles außenrum. So, und das soll jetzt geschnitten werden mit nichtB. NichtB markiere ich mal in rot, auch mal in die andere Richtung. So, hier ist B. Das wäre nichtB. Und die Schnittmenge sagt uns jetzt, uns interessieren die Teile, die doppelt schraffiert sind. Wir sehen, B ist einzeln schraffiert, A ist einzeln schraffiert, also alles außenrum hier ist doppelt schraffiert. Das ist genau das Ergebnis unserer Formel. Und wir sehen, das ist das Gleiche. Hier das doppelt schraffierte ist genau die gleiche Fläche, wie hier das schraffierte. Das heißt, das hier ist korrekt, Haken hinter. Wir gucken uns das jetzt natürlich auch noch mal auf der anderen Seite an. Also, nichtA geschnitten B. Das heißt, A geschnitten B wäre ja hier diese Schnittmenge in der Mitte und alles, was das nicht ist, wollen wir haben. So, also all das hier. Und das soll jetzt das Gleiche sein, wie nichtA vereinigt mit nichtB. Ich markiere wieder nichtA mit blau, und wir haben im Prinzip wieder das gleiche Bild wie oben schon. Jetzt markieren wir nichtB, wieder in rot, und das wäre das hier. Oh nein, nichtB bedeutet natürlich, hier keine rote Schraffur drin. Also, so sieht das aus, A und B sind einzeln schraffiert, alles drum herum ist doppelt schraffiert. Jetzt haben wir also die Vereinigung. Das heißt, es interessiert alles, was mindestens einfach schraffiert ist, also was mindestens nichtA oder nichtB ist. So, und das ist halt alles außerhalb dieser Schnittmenge. Also liefern auch die Beiden die gleichen Ergebnisse, das heißt, die Gesetze von de Morgan sind tatsächlich richtig. Gut, machen wir also weiter mit anderen Rechengesetzen. Gucken wir uns also ein weiteres Gesetz an, das euch vom Namen her schon bekannt sein sollte: das Kommutativgesetz. Es sagt aus: A vereinigt B ist das Gleiche wie B vereinigt A, und A geschnitten B ist auch das Gleiche wie B geschnitten A. Das ist wirklich eine sehr praktische Eigenschaft von Mengen, dass tatsächlich die Reihenfolge in den Operationen zumindest bei Schnitt und Vereinigung keine Rolle spielt. Natürlich bei der Differenz schon. Es ist ein Unterschied, ob ich A ohne B als Ausdruck wähle, oder B ohne A, weil es natürlich andere Grundmengen sind, die in Betracht gezogen werden. Aber beim Schnitt und bei der Vereinigung kann ich die beliebig hin und her tauschen. Also die Reihenfolge ist egal und auch nicht nur bei 2 Mengen, sondern auch bei 5 Mengen zum Beispiel ist die Reihenfolge egal. Das ist das Kommutativgesetz, solltet ihr eigentlich aus der Mathematik vom Namen her schon kennen. Auch das nächste Gesetz solltet ihr vom Namen her schon kennen: das Assoziativgesetz. Das hat etwas mit der Klammersetzung zu tun. Also, A geschnitten (B geschnitten C) ist das Gleiche wie (A geschnitten B), geschnitten C. Und auch bei der Vereinigung können wir diese Aussage treffen: A vereinigt (B vereinigt C) ist das Gleiche wie (A vereinigt B), vereinigt C. Das heißt, wir können bei dem Schnitt und der Vereinigung nicht nur, wie uns das Kommutativgesetz sagt, das Ganze in der Reihenfolge ändern, sondern wir können auch die Klammersetzung beliebig ändern. Im Prinzip könnten wir bei diesen Fällen hier auch die Klammern weglassen. Das sind alles Gesetze, die zur Vereinfachung gelten. Also wenn ihr mal so etwas wie Mengenalgebra macht, oder mehr mit Mengen arbeitet, braucht ihr diese Gesetze, um komplizierte Ausdrücke zu vereinfachen, und dann wirklich zum Ergebnis zu kommen. Denn oft kann man wirklich ein Ausdruck über 2 Zeilen schreiben und am Ende kommt heraus, ok, das Ganze ist Menge A, weil sich alles rauskürzt, was man aber nicht auf den ersten Blick sieht. Dann muss man das Ganze über das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und die Gesetze von de Morgan noch entsprechend umwandeln. Auch das nächste Gesetz, was wir uns angucken, das Distributivgesetz, hilft bei der Vereinfachung oft. Kommen wir also zum 4. und letzten Gesetz, dem schon angekündigten Distributivgesetz. Also das regelt im Prinzip, wie man ausklammern kann, bzw. ausmultiplizieren kann, wenn man das jetzt mal als Multiplikation ansehen will. Also, A geschnitten (B vereinigt C) ist das Gleiche wie (A geschnitten B) vereinigt (A geschnitten C). Und das Gleiche auch andersrum: A vereinigt (B geschnitten C) ist das Gleiche wie (A vereinigt B) geschnitten (A vereinigt C). Wie gesagt, wenn ihr mal so was wie Boolesche Algebra behandelt, wo ihr wirklich große Ausdrücke auf zum Beispiel Gleichheit überprüfen müsst, dann helfen euch diese Gesetze wirklich essenziell weiter. Die sind wirklich ziemlich, ziemlich wichtig, merkt euch das Ganze also. Wir kommen jetzt noch mal zu einer weiteren Sache, der sogenannten disjunkten Zerlegung. Und auch das ist noch mal von entscheidender Wichtigkeit, will man so komplexe Ausdrücke wirklich auf die Grundessenzen runterzubrechen. Was sagt jetzt also die disjunkte Zerlegung aus? Wir haben unsere Grundmenge A. Diese Grundmenge A können wir auch ausdrücken als (A geschnitten B) vereinigt (A geschnitten nichtB). Wir sehen hier schon, B und nichtB sind disjunkt, weil natürlich alles, was in B drinliegt, liegt nicht in nichtB drin. Alles, was in nichtB drinliegt, liegt, wie der Name schon sagt, nicht in B drin. Also so kann man halt unser A disjunkt zerlegen. Wenn man also quasi unser A um diese Dinge erweitert, kann manchmal sehr nützlich sein. Überprüfen wir doch mal, ob dieser Ausdruck so auch tatsächlich gültig ist. Wenn wir uns jetzt die Gesetze von gerade angucken und das Distributivgesetz quasi rückwärts anwenden, können wir sagen, das hier ist das Gleiche wie A vereinigt (B geschnitten nichtB). So, ok? Erster guter Schritt. Was sagt uns jetzt B geschnitten nichtB? Also die Schnittmenge von B und nichtB. Naja, wir haben keine Schnittmenge, also das hier ist die leere Menge. Wenn wir das jetzt weiterführen, haben wir A vereinigt mit der leeren Menge. Also A und dazu noch die leere Menge, also Nichts. Und genau deshalb ist dieser Ausdruck jetzt hier auch A. Diese Formel der disjunkten Zerlegung stimmt also auch, haben wir jetzt einmal rechnerisch hergeleitet. Auch diese Erweiterung, wenn man es so nennen will, kann in der Booleschen Algebra sehr praktisch sein, um Formeln runterzubrechen. Gut, das war auch schon der kleine Exkurs zur Mengenlehre als mathematische Grundlage für alles, was noch nachkommt. Was die Wahrscheinlichkeitsrechnung und all das ist. Dafür brauchen wir den Mengenbegriff noch sehr häufig. Und natürlich kann man da nicht einfach nur sagen, was ist eine Menge, sondern da muss etwas mehr Substanz dahinter stecken. Ja, ich hoffe, ihr habt alles so weit verstanden, was die Mengen angeht. Das wird nämlich ab jetzt als Voraussetzung vorausgesetzt. Ich bedanke mich für das Zuschauen, freue mich wie immer auf das nächste Mal und sage tschüss!

Informationen zum Video
1 Kommentar
  1. Susi

    Zur Minute 10:23 wird das Distributivgesetz falsch angewendet. Die Zeichen "geschnitten" und "vereint" werden jeweils vertauscht. Die zweite Zeile muss also richtig lauten: "A geschnitten (B vereint B Strich)
    Wir werden diesen Fehler schnellstmöglich auch im Video korrigieren.

    Von Susann B., vor fast 4 Jahren