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Transkript Statistik Video 50: disjunkte Mengen

Schönen guten Tag! Wir sind heute beim neuen Video, beim dritten Video zur Mengenlehre und wir gucken uns heute unter anderem disjunkte Mengen an, die Zerlegung von Mengen und auch die Potenzmenge. Wir fangen mit den disjunkten Mengen an. Erst einmal die Definition: Zwei Mengen, A und B, heißen zueinander disjunkt, wenn sie "auseinanderliegen". Gut, was bedeutet das? Gucken wir uns das also in einem Pen-Diagram an. Wir haben hier unsere Menge A und wir haben unsere Menge B und die beiden sollen auseinanderliegen. Das heißt, sie haben keine Schnittfläche. Das bedeutet: Sie sind disjunkt. Sie haben keine Schnittfläche, sie sind also unvereinbar oder auch elementefremd. Also: A und B sind unvereinbar oder elementefremd. Sie sind zueinander disjunkt. Man sagt auch, sie sind paarweise disjunkt und das bedeutet: Kein Element der Menge A ist gleichzeitig Element der Menge B. Das bedeutet wiederum, dass A geschnitten B die leere Menge ist. Das heißt, A geschnitten B liefert immer die leere Menge - das hier ist das Zeichen für die leere Menge. Man könnte die leere Menge auch einfach als leere, geschweifte Klammern schreiben, aber dieses Zeichen ist eigentlich das gebräuchlichere. Also: Die beiden sind paarweise disjunkt, elementefremd, sie haben keine gemeinsame Schnittfläche. Wenn man mehr als 2 Mengen hat, gibt es so etwas wie paarweise disjunkt und vollständig disjunkt. Gucken wir uns das doch auch noch einmal an. Also: Wenn gilt, A geschnitten B geschnitten C ergibt die leere Menge, das heißt, diese 3 Mengen, die wir jetzt haben - A, B und C - haben keine gemeinsame Schnittfläche, also A und B und C, dann nennt man das hier vollständig disjunkt. Wohingegen das hier gilt: A geschnitten B ist die leere Menge, B geschnitten C ist die leere Menge und A geschnitten C die leere Menge, also im Prinzip alle Paarvergleiche untereinander sind disjunkt, nennt man das hier paarweise disjunkt. Aus einem dieser beiden folgt das andere: Wenn alle paarweise disjunkt sind, das heißt, wir haben hier A und B und C und sie haben jeweils keine Schnittflächen miteinander, dann impliziert das auch: Auf paarweise disjunkt folgt immer, dass sie auch vollständig disjunkt sind. Wenn sie in den Zweierpaaren keine Schnittfläche miteinander haben, haben sie logischerweise auch keine Schnittfläche von allen 3 Mengen. Oder auch mehr, das Gleiche könnte man auch mit 4 Mengen machen. Aus vollständig disjunkt folgt aber nicht paarweise disjunkt. Gucken wir uns dazu ein Beispiel an: Wir haben hier Menge A und Menge B und wir wollen jetzt eine Menge C einzeichnen, so dass unsere 3 Mengen zwar vollständig disjunkt sind, aber nicht paarweise disjunkt. Das Ganze könnte so aussehen. Wir haben hier also Schnittflächen zwischen C und B und eine Schnittfläche zwischen A und C. Das heisst, sie sind sie zwar immer noch vollständig disjunkt, weil es keine Schnittfläche gibt, wo alle 3 Mengen sich schneiden, keine Überschneidung von allen 3 Mengen, aber sie sind nicht mehr paarweise disjunkt. Das heißt, der Rückschluss, meine 3 Mengen sind vollständig disjunkt, also sind sie auch paarweise disjunkt, gilt nicht. Wohingegen diese Richtung: Sie sind paarweise disjunkt, dann sind sie immer auch vollständig disjunkt, immer gilt. So viel zu disjunkten Mengen, das solltet ihr euch gut merken, das ist wichtig. Machen wir weiter mit der Zerlegung. Von einer Zerlegung spricht man, wenn wir eine Grundmenge haben, in unserem Fall E und die in verschiedene Untermengen zerlegen. Und zwar genau so, dass die Vereinigung aller Untermengen wieder unsere Grundmenge gibt, das heißt: alle Elemente sind in den Untermengen enthalten und die Untermengen paarweise disjunkt sind, das heißt, dass es keine Überschneidung zwischen den Untermengen gibt. Wenn wir uns das jetzt einmal angucken - sagen wir, das hier ist unsere Menge E und dann hätten wir hier jetzt also beliebige Untermengen, die alle paarweise disjunkt sind, das heißt, es gibt keine Überschneidung, aber es ist so, dass unsere Grundmenge E komplett aufgeteilt wird in Untermengen, die sich, wie gesagt, nicht überschneiden. Also haben wir hier unsere Untermengen A1 - A8. Dann würden wir davon reden: Unsere Grundmenge E ist zerlegt in die Untermengen A1 - A8, wie gesagt unter der Voraussetzung, dass A1 bis A8 alle paarweise disjunkt sind und zusammen in der Vereinigung wieder E ergeben. Das war also ein kurzer Exkurs zur Zerlegung, schauen wir uns jetzt noch einmal die Potenzmenge an, ein Gebilde, das im Prinzip alle möglichen Kombinationen von Untermengen behandelt. Die Potenzmenge ist die Gesamtheit aller Teilmengen einer Menge A und wird bezeichnet mit Großbeta von A, also die Gesamtheit aller Teilmengen von A. Gucken wir uns das an einem Beispiel an. Sagen wir, unsere Menge A hat jetzt die Elemente a, b und c. Was gibt es dann für mögliche Teilmengen? Im Prinzip alle Kombinationen, also die Teilmenge a, die Teilmenge b, die Teilmenge c, dann die Zweierkombination, also ab, cb und ac. Das sind die möglichen Teilmengen. Dazu kommen jetzt noch die beiden "Extremfälle", will ich jetzt mal sagen. Das heisst, als Teilmenge von A könnte man auch A selber sehen, also abc - die komplette Menge. A ist ja auch eine Teilmenge von sich selber, sozusagen und die leere Menge. Die leere Menge ist auch eine Teilmenge, wenn man so will, von A. Das heisst, wir sehen: Unsere Grundmenge A hat 3 Elemente, also sagen wir n=3 (n bezeichnet hier die Elemente unserer Grundmenge) und unsere Potenzmenge, Großbeta von A hat 8 Elemente, bezeichnen wir einfach jetzt mal mit k (k, die Elemente der Potenzmenge). Als allgemeine Formel kann man sagen: Die Potenzmenge ist die Anzahl der Elemente der Potenzmenge: k=2n. Also: 23=8, 2n Elemente hat die Potenzmenge als Gesamtheit aller Teilmengen. Gut, soviel erst einmal dazu, das werdet ihr vielleicht noch einmal brauchen, oder es wird vielleicht einmal zur Sprache kommen, vielleicht auch in einer Klausur als Verständnisfrage ("Was ist eine Potenzmenge?") - nur, dass ihr es einmal gesehen habt. Das war auch schon unser vorletztes Video zur Mengenlehre, beim nächsten Mal gucken wir uns dann noch die Gesetze von de Morgan an und ein paar Gesetze. Ich bedanke mich wie immer fürs Zuschauen, freue mich aufs nächste Mal und sage: "Tschüss!".

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3 Kommentare
  1. Default

    @Margenberg: Nein, in dem Beispiel wird zwar eine disjunkte Menge A und B gezeigt, aber dies ist nicht notwendig um vollständig disjunkt zu sein.
    Beispiel: Mengen A{1,2};B{2,3};C{3,1}
    Diese Menge haben keine Teilmenge und sind damit vollständig disjunkt, aber nicht niemals paarweise disjunkt.
    A hat eine Schnittmenge zu B
    B hat eine Schnittmenge zu C
    C hat eine Schnittmenge zu A
    Du kannst es dir auch als 3 Kreise vorstellen, die insgesamt keine gemeinsame Schnittmenge haben, aber untereinander schon. Also 3 Kreise, die sich gegenseitig überschneiden, aber in der Mitte ein Loch ist, was sie hindert eine gemeinsame Schnittmenge zu haben.

    Von Eddy R., vor fast 3 Jahren
  2. Default

    Hallo Jona,
    ich verstehe die Antwort auf die Frage zu diesem Video nicht. Es muss doch ein Paar disjunkt sein?
    Angelika

    Von Margenberg, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    Wenn ich eine Frau wäre und auf Naturburschen stehen würde, dann würde ich dich heiraten :)

    Von Kein Plan, vor fast 5 Jahren