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Transkript Statistik Video 49: Mengenoperationen

Guten Tag, schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute beim 2. Video zum Thema Mengenlehre, genauer gesagt bei den Mengenoperationen. Wir behandeln davon 5, die 5 Wichtigsten, und zwar gucken wir uns erst einmal die Definition an, dann machen wir ein kleines Beispiel mit Fandiagramm dazu und dann gehen wir zum Nächsten. Das 1. ist der sogenannte Schnitt der Mengen. Das bezeichnet alle Elemente, die sowohl Element der Menge A als auch Element der Menge B sind. Also, sowohl als auch sie sind in A und sie sind gleichzeitig auch in B. Das Ganze wird dann folgendermaßen notiert: A geschnitten B, so wird es gesprochen. Und dieser auf den Kopf gestellte Halbkreis ist das Symbol für geschnitten. "A geschnitten B" sieht also so aus. Das ist also das Zeichen für "sowohl als auch". Gucken wir uns das Ganze in einem Fandiagramm an. Gucken wir uns also den Schnitt etwas genauer an. Zunächst einmal hab ich 2 Mengen definiert. Menge A mit den Elementen 1, 2, 3, 4, 5, 6 - also den Zahlen von 1 bis 6. Und Menge B mit den Elementen 2, 4, 6, 8 - also den geraden Zahlen bis 8. Gut, wir wollen jetzt A geschnitten B uns ankucken. Und dazu gucken wir uns erst einmal 2 Mengen an. So, eine Menge, noch eine Menge. So wir sagen jetzt, gut das hier ist Menge A, das hier ist Menge B. Und A geschnitten B sind ja genau alle Elemente, die sowohl in A als auch in B liegen. Anschaulich in unserem Fandiagramm also alle Elemente, die hier in dieser Schnittmenge liegen. Ja, das wäre jetzt das Ergebnis von A geschnitten B in unserem Fandiagramm. In unserem Beispiel, A geschnitten B, suchen wir Elemente, die in A und in B liegen. Unsere 1 liegt in A, aber nicht in B. Also nicht Teil der Schnittmenge. Unsere 2 liegt in A und in B. Ist also Teil unserer Schnittmenge. Das können wir also schon mal aufschreiben. Die 3 liegt wiederum nur in A. Die 4 liegt in A und in B. Können wir also auch aufschreiben. Die 5 liegt nur in A. Die 6 liegt in A und in B. Können wir also auch aufschreiben. Und zu guter Letzt die 8 liegt nur in B, ist also auch nicht Teil der Schnittmenge. Unser Ergebnis A geschnitten B ist also in diesem Fall 2, 4, 6. Ja, das war auch schon der Schnitt. Gucken wir uns also die nächste Mengenoperation an. Die 2. Mengenoperation ist die Vereinigung. Die Vereinigung beschreibt alle Elemente, die in A sind oder die Elemente, die in B sind oder die Elemente, die in A und B gleichzeitig sind. Also im Prinzip komplett alle Elemente, die entweder in A oder in B oder in beiden sind. Also das große Oder müsst ihr Euch bei der Vereinigung merken. Bei dem Schnitt solltet ihr Euch ja das sowohl als auch merken, bei der Vereinigung reicht das oder. Das Ganze schreibt man so: A vereinigt B, hier haben wir wieder diese Art Halbkreis, diesmal aber nach oben offen, bedeutet also "Vereinigung". So gesprochen wie gesagt, A vereinigt B. Auch das schauen wir uns jetzt natürlich mal in einem Fandiagramm an. Die Vereinigung, erst einmal anschaulich Fandiagramm. Also wir haben hier unsere Menge A, unsere Menge B. Ich schreib´s auch noch mal da rein. So, und bei der Vereinigung interessieren uns ja alle Elemente, die in A liegen oder in B oder in beiden. Also erst einmal alle Elemente die in A liegen und dann alle Elemente, die in B liegen, ja und alle diese Elemente, die in dieser Schnittmenge liegen, also das Komplette. In unserem Beispiel ausgedrückt, wäre es jetzt erstmal alle Elemente, die in A liegen - so 1, 2, 3, 4, 5, 6 - und dann noch zusätzlich die Elemente, die in B liegen, aber nicht sowieso schon in A waren - also die 8. Und das ist dann das Ergebnis unserer Vereinigung "A vereinigt B". Machen wir weiter mit der nächsten Mengenoperation. Die nächste, die 3. Mengenoperation, wäre dann die Differenz. Die Differenz zeichnet alle Elemente, die in A liegen, aber nicht in B. Das heißt, wir nehmen die Elemente von A und  schmeißen alle die raus, die zusätzlich noch in B liegen. Das Ganze wird hier mit so einem Backslash geschrieben, also einem Querstrich von links oben nach rechts unten. Und man spricht es: A ohne B, also es ist tatsächlich eine Differenz. Wir nehmen alle Elemente von A und ziehen sie ab, die zusätzlich auch in B liegen. Gucken wir uns das Ganze in einem Fandiagramm an. Kommen wir also zur Differenz, oder wie man es ausspricht, A ohne B. Wir wollen also alle Elemente von A haben, die nicht gleichzeitig in B liegen. Ok also, alle Elemente von A. So und wir lassen jetzt diese Schnittmenge aus, weil die Elemente dieser Schnittmenge ja in A und in B liegen. Also wollen wir wirklich nur das haben, was nur in A liegt und nicht in B. Kommen wir also zur Differenz, oder wie man es ausspricht, A ohne B. So, Wert des Elementes die 1, gibt es nur in A. Können wir also hinschreiben. Denn 2 liegt zwar in A, aber gleichzeitig auch in B - wollen wir also nicht haben. Die 3 liegt nur in A. Die 4 liegt wiederum in A und in B - wollen wir also nicht haben. Und die 5 liegt wieder nur in A. Die 6 liegt in A und in B. Unser Ergebnis der Differenz A ohne B ist also 1, 3, 5. Zusätzlich zur Differenz, also unserem Punkt 3, gibt es jetzt unter Punkt 4 noch die symmetrische Differenz. Das sind alle Elemente, die in A oder in B liegen. Wichtig ist hierbei, das hier ist ein exklusives Oder. Das heißt, der Unterschied der symmetrischen Differenz zur Vereinigung ist, uns interessieren tatsächlich die Elemente, die entweder in A oder in B liegen, aber nicht in beiden gelichzeitig. Das heißt, die Schnittmenge der beiden Mengen ist nicht Teil unserer symmetrischen Differenz. Das heißt, uns interessieren wirklich nur die Elemente, die entweder nur in A liegen oder nur in B. Alle Elemente, die in beiden Mengen liegen, fallen hier raus.  Das Ganze wird notiert, mit so einem kleinen Dreieck. Man spricht es: "A Diskrepanz B". Also noch mal, alle Elemente, die in A oder in B liegen, das ist ein exklusives Oder, das heißt die Elemente, die in beiden liegen, kommen hier nicht zu Tragen. 4. Die symmetrische Differenz oder auch A Diskrepanz B. Uns interessieren, alle Elemente, die in A liegen oder in B, aber nicht in beiden gleichzeitig. Wenn wir uns das auf dem Fandiagramm man ankucken. Also, alle Elemente, die in B liegen, alle Elemente die in A liegen, und zwar genau ohne diese Schnittmenge hier in der Mitte. Die wollen wir nicht haben. Also nur wirklich die, die nur in A oder nur in B liegen, aber nicht in beiden gleichzeitig. Also auf unsere beiden Mengen bezogen: die 1 liegt nur in A - die ist in Ordnung,  die 2 liegt in A und in B - die interessiert uns nicht, die 3 liegt nur in A, die 4 liegt wieder in beiden, die 5 liegt nur in A, die 6 liegt wieder in beiden und hier die 8. Die 8 liegt nur in B, wollen wir also auch haben. Und deshalb sieht auch nur die Ergebnismenge der symmetrischen Differenz anders aus, als die unserer Differenz. Wir haben jetzt hier also die Elemente 1, 3, 5 und 8 als Ergebnis unserer symmetrischen Differenz. Also alle Elemente, die entweder nur in A oder nur in B liegen. Gut, machen wir weiter mit der letzten Mengenoperation. 5. Und als letzte Mengenoperation, die wir heute behandeln, gibt es noch die Negation. Und diese bezeichnet alle Elemente, die nun mal nicht in A liegen. Das Ganze wird mit einem Strich über der betroffenen Menge gekennzeichnet. Also "nicht A" bedeutet alle Elemente, die nicht in A liegen. Das erklärt sich eigentlich von selbst. Wir kucken uns trotzdem noch einmal ein Fandiagramm dazu an. Gucken wir uns als Letztes noch die Negation an. Also nicht A. Also interessieren uns alle Elemente, die nicht in A liegen. Wenn wir das jetzt also mal so zeichnen. Das ist unsere Menge A, also im Prinzip eine Teilmenge ist und das hier der größere Raum ist, dann interessieren uns also alle Elemente, die nicht in A liegen. Also alles hier, was außenrum liegt. So, bei unserem Beispiel gesprochen, interessiert uns jetzt also alles, was nicht gerade die Zahlen 1 bis 6 sind. Also sagen wir mal, alle reellen Zahlen ohne die Zahlen 1 bis 6. Das wäre die Negation, "nicht A". Ja, das war auch schon das 2. Video zur Mengenlehre mit dem Schwerpunkt Mengenoperationen. Ich bedanke mich fürs Zuschauen und freue mich, wenn ihr beim nächsten Mal auch wieder zukuckt, wenn wir dann das 3. Video zur Mengenlehre machen.  

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2 Kommentare
  1. Saturn

    Danke, klasse erklärt!

    Von 0 Welcome 0, vor etwa 2 Jahren
  2. Default

    super erklärung!

    Von Wiwi 2012, vor etwa 4 Jahren