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Transkript Statistik Video 48: Mengenlehre

Guten Tag! Schön, dass ihr alle wieder da seid. Wir beschäftigen uns heute einmal mit mathematischen Grundlagen, die wir später noch für die Wahrscheinlichkeitsrechnung und für Zufallsexperimente und all das, was noch kommt, brauchen werden. Und zwar beschäftigen wir uns heute im ersten Video mit der Mengenlehre. Zu diesem Thema wird es insgesamt 4 Videos geben. Ihr seht also es ist ein kleinerer Block, der jetzt eingeschoben wird und er ist sehr wichtig. Also ihr müsst sehr genau wissen, was sind Mengen, wie werden sie definiert, was kann man für Operation damit machen. Gucken wir uns als erstes an, was sind Mengen und gucken wir uns dazu den elementaren Mengenbegriff an, der auf Georg Cantor zurückgeführt wird. Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohl unterschiedenen Objekten zu einem einheitlichen Ganzen. Das heißt, ich definiere quasi die Objekte, die zu meiner Menge gehören und diese gehören dazu und alle anderen nicht. Und bei jedem Objekt, das ich quasi in die Finger kriege, kann ich sagen, okay, das gehört dazu und das, das gehört nicht dazu. Wir stellen uns das einfach Mal so vor, als hätten wir eine Kiste. So und jetzt weiß ich, okay in dieser Kiste liegen jetzt alle Objekte, die zu meiner Menge gehören und alle Objekte, die nicht zu meiner Menge gehören, liegen außerhalb der Kiste. Immer, wenn ich ein Objekt in die Hand kriege, kann ich ganz genau entscheiden, okay, entweder es gehört in meine Kiste rein oder es gehört nicht in meine Kiste rein. Also entweder ist es ein Element meiner Menge oder es ist kein Element meiner Menge. Wenn wir uns jetzt einmal ein Beispiel überlegen und wir haben jetzt unsere Menge. Nennen wir sie Menge x. Und Menge x umfasst alle Buchstaben, des deutschen Alphabets, von mir aus inklusive Umlaute und ß. Also haben wir dann insgesamt 30 Buchstaben des deutschen Alphabets. Dann ist zum Beispiel unser deutsches a; unser a ist ein Element der Menge, ist ein Buchstabe des deutschen Alphabets. Das griechische Alpha zum Beispiel wäre dann kein Element der Menge, weil es kein Buchstabe des deutschen Alphabets ist. Also Mengen sind klar definiert. Wohl unterscheidbar - wohl unterschiedene Objekte müssen es sein. Also ich muss sehr klar sagen können, ja, das gehört zu meiner Menge und nein, das gehört nicht zu meiner Menge. Es gibt auch noch so etwas wie ungenaue Mengen. Also ich kann zum Beispiel sagen alle attraktiven Studenten in meinem Studiengang bilden jetzt meine Menge a. Gut, dann ist es eine Definitionsfrage, was verstehe ich unter attraktiv. Und das ist ja auch subjektiv unterschiedlich, also vielleicht finde ich jetzt eine Person attraktiv, die jemand anderes als völlig unattraktiv findet. Das sind so genannte ungenaue Mengen oder sogenannte Futzi-Mengen. Mit so etwas sollen wir uns eigentlich nicht beschäftigen, denn wir kümmern uns um die wohl unterschiedenen, wohl unterscheidbaren Objekte und Mengen, wo wir ganz genau sagen können, das ist Teil der Menge und das ist nicht Teil der Menge. Schauen wir uns also mal die Notation der Menge an. Mengen werden üblicherweise mit einer Variablen bezeichnet, und zwar mit einem Großbuchstaben. Also hier A ist also in unserem Fall jetzt unsere Menge A. Und sie ist folgendermaßen definiert; also entweder man schreibt eine Definitionsvorschrift hier rein oder man listet alle Elemente auf. Also geschweifte Klammern sind immer wichtig. Immer bei einer Menge nehmen wir geschweifte Klammer und hier schreiben wir halt in die geschweifte Klammer schreiben wir alle Elemente. Also unsere Menge A beinhaltet jetzt die Elemente 1, 3 und den Buchstaben a. Man könnte so etwas auch anders schreiben. Man könnte auch eine Vorschrift schreiben. Man könnte auch sagen, unsere Menge B beinhaltet alle Zahlen für x, wenn x Element ist der reellen Zahlen für 0?x?3. Das ist dann eine Definitionsvorschrift. Die bedeutet halt, unsere Menge B beinhaltet alle x, für die gilt: x gehört zu den reellen Zahlen, also alle ganzzahligen Zahlen und liegt zwischen 0 und 3. Das sind dann alle Elemente, die in B liegen. Wir können also jetzt zum Beispiel sagen, dass, wenn wir uns die Zahl 2 angucken; die Zahl 2, in welcher Menge liegt sie drin? Die Zahl 2 liegt nicht in der Menge A drin. Ich schreibe mal so; Element ist kein Element der Menge A. Dieses e ist das Zeichen oder dieses Epsilon ist Zeichen für ist Element, durchgestrichen bedeutet, es ist kein Element. Also die 2 ist kein Element der Menge A. Aber die 2 ist Element der Menge B, denn die 2 ist eine reelle Zahl und liegt zwischen 0 und 3. Das gleiche können wir zum Beispiel für a machen. a ist Element der Menge A. Steht ja hier drin, aber a ist kein Element der Menge B. Das ist keine reelle Zahl, das ist ein Buchstabe und fällt damit nicht in diese Definition rein. Also wir sehen, vorne steht immer die Menge und dann werden entweder alle Elemente der Menge aufgelistet oder eine Definitionsvorschrift, die genau beschreibt, welche Elemente in der Menge drin liegen und welche nicht. Als Nächstes schauen wir uns einmal die Darstellung von Mengen an. Das sogenannte Venn-Diagramm. Mengen werden im Allgemeinen als flache Ellipsen oder Kreise oder was auch immer dargestellt. So und das hier wäre jetzt die Menge A. Und alles, was darin liegt, ist Element der Menge. Also wenn unser x in der Menge A liegt, dann können wir sagen, okay, hier ist unser Element x. x liegt eindeutig in der Menge A, ist also Element der Menge A. So werden die dargestellt. Jetzt gibt es noch eine wichtige Definition, und zwar die sogenannte Teilmenge. Also wir haben hier wieder eine Menge. Das ist unsere Menge A und in dieser Menge liegt eine zweite Menge. Das hier, das ist unsere Menge B. B liegt komplett innerhalt von A. Man sagt also, B ist Teilmenge von A. Das ganze schreibt man so: B ist Teilmenge von A. So, das hier ist kein c, sondern das ist das Symbol für "ist Teilmenge". B ist Teilmenge von A, das bedeutet, B liegt komplett in A. Also alle Elemente von B sind auch Element von A. Und das führt uns gleich zu einer weiteren Definition, nämlich der Gleichheit von Mengen. So und Mengen sind dann genau dann gleich, wenn gilt - also die Mengen B und A sind genau dann gleich, wenn gilt: B ist Teilmenge der Menge A und A ist Teilmenge der Menge B. Das bedeutet, alle Elemente, die in B liegen, liegen auch in A - wie wir es hier haben - und zusätzlich sind alle Elemente, die in A liegen auch in B. Das heißt, sie sind komplette Teilmengen voneinander, sind also deckungsgleich, sind also gleich. Gut, das war das erste Video zur Mengenlehre. im nächsten Video beschäftigen wir uns dann mit Operation, mit Mengenoperation. Ich bedanke mich für's Zuschauen, freue mich, wenn ihr auch beim nächsten Mal wieder einschaltet, und sage tschüss.  

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    Vielen Dank
    Das Video hat mir sehr geholfen. Du hast alles sehr gut erklärt.

    Liebe Grüsse Ennio12

    Von Ennio12, vor 9 Monaten
  2. Default

    Vielen Dank
    Deine Videos sind gut, informativ und cool.

    LG Ennio12

    Von Ennio12, vor 9 Monaten