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Transkript Statistik Video 47: Kombinatorik Übung II

Hallo, gut, dass ihr alle wieder zuguckt! Wir sind heute weiterhin bei der Übung zur Kombinatorik, diesmal beim Video 2. So, wir fangen auch gleich mal mit einer Aufgabe an. Wir haben 3 Urnen, in jeder Urne sind 4 Lose, A, B, C, D. Jedes Los steht für einen Kandidaten. So, schreiben wir das erst mal auf, n=4, wir haben 4 Lose. Und wir wollen jetzt aus jeder Urne 3 mal ziehen, also r=3, und wir verteilen jetzt quasi die Preise 1-3, also den Hauptpreis, den 2. Hauptpreis, den 3. Hauptpreis. Die Frage ist also: Ist die Reihenfolge wichtig? Ja, die Reihenfolge ist wichtig. Der, der zuerst aus der Urne gezogen wird, bekommt den Hauptpreis, der, der als Zweites gezogen wird, bekommt den 1. Trostpreis, den 2. Hauptpreis, wie auch immer man das sehen will, und der, der als Drittes gezogen wird, bekommt dann den 3. Preis. Haben wir eine Wiederholung? Wiederholung heißt, ziehen wir mit Zurücklegen? Ja, das ist jetzt so eine Sache, also das ist eigentlich ein kleiner Trick, den Aufgabensteller da oft benutzen. Wenn wir 3 mal aus Urnen ziehen, die gleich besetzt sind, bedeutet das das Gleiche, als würden wir nur aus einer Urne ziehen und das Los quasi immer wieder zurücklegen. Also wir könnten auch sagen, wir haben nur 1 Urne, ziehen 3 mal und legen aber das gezogene Los immer wieder zurück. Also im Prinzip rechnen wir, als ob wir eine Wiederholung hätten, auch wenn wir 3 Urnen haben, macht faktisch keinen Unterschied. Also die Reihenfolge ist wichtig, wir haben eine Wiederholung, befinden uns also in der Variation mit Wiederholung. Also, Variation 4 und 3. Wie viele Variationen gibt es jetzt, unsere 3 Lose zu ziehen, aus diesen 3 Urnen, wenn ein Name doppelt vorkommen darf? Also, wenn wir mit Wiederholung machen. Wir erinnern uns, die Variation mit Wiederholung von n und r war nr. Ist hier auch so. Wir können bei der 1. Urne 4 Lose ziehen, bei der 2. Urne können wir 4 Lose ziehen und bei der 3. Urne können wir auch 4 Lose ziehen, also 43 Möglichkeiten oder 64, 64 verschiedene Möglichkeiten gibt es. Okay, ändern wir also das Beispiel ein bisschen, für b. Jetzt sagen wir, okay, wir ziehen aus unseren Urnen, aber sobald einer gezogen ist, kriegt der keinen weiteren Preis, darf nicht noch mal gezogen werden. Also im Prinzip ziehen wir jetzt ohne Zurücklegen. Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt? Wir sind jetzt also in der Variation ohne Zurücklegen, wieder n und r, 4 und 3. Und wenn wir uns an die Formel erinnern, war das n!/(n-r)!, also in unserem Fall: 4!÷(4-3)!, also 4!÷1!, 1! ist 1, also 4!, also 4! ist 4×3=12×2=24×1, sind immer noch 24. 24 Möglichkeiten gibt es, wenn wir das nicht zurücklegen. Ja, das war auch schon unser 1. kleines Beispiel, diesmal mal zur Variation, was wir ja im letzten Video noch nicht hatten. Machen wir doch gleich einfach mit dem Nächsten weiter. Machen wir also mit dem nächsten Beispiel weiter. Wir stellen uns vor, eine Schule möchte ein Basketballteam bei einem Turnier anmelden. Sie darf 8 Schüler anmelden, 8 Spieler. So, und muss sich jetzt also entscheiden. In ihrem eigenen Basketballteam sind eigentlich 13 Schüler und davon muss sie jetzt 8 auf den Spielbogen schreiben, damit die auch spielberechtigt sind. Man fragt sich jetzt also, wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, mein Team zusammenzustellen? Das ist die 1. Frage. Wir gucken, gibt es eine mögliche Wiederholung? Nein, gibt es nicht. Jeder Spieler kann nur einmal auf dem Spielbogen auftauchen und demnach auch nur eine Spielposition einnehmen. Ist die Reihenfolge wichtig? Naja, man könnte jetzt sagen, je nachdem, aber nein, die Reihenfolge ist unwichtig, uns interessiert wirklich nur, wie viele Möglichkeiten gibt es, unser Team zusammenzustellen. Und ob da jetzt jemand an 1. Position auf dem Spielbogen steht oder an 7., interessiert uns gar nicht. Okay, wir wollen also 8 aus 13 auswählen. Dass die Reihenfolge unwichtig ist, sagt uns, aha, wir sind in der Kombination, ohne Wiederholung. Okay, sollte also kein Problem sein. Dieses 8 aus 13 erinnert uns ja stark an die Lottozahlen, da hatten wir ja 6 aus 49. Wir haben also Kombination, aus 13 Elementen wollen wir 8 auswählen. So, und das war ja einfach dieses 13 über 8, unser Binomialkoeffizient, und wir erinnern uns mal kurz, was das bedeutet. Unser n über r hat bedeutet: Nimm das, was oben ist, zur Fakultät, also n!, teile durch das, was unten steht, Fakultät, × das, was oben steht, - das, was unten steht, Fakultät. Also, n über r bedeutet: n!÷(r!×(n-r)!). 13 über 8 bedeutet demnach: 13!÷(8!×(13-8)!). So, so viele Möglichkeiten gibt es, unser Team zusammenzustellen. Und das sind, wenn man das mal ausrechnet, 1287 verschiedene Möglichkeiten, unser Team zusammenzustellen. Große Anzahl, hätte man jetzt vielleicht so auf den ersten Blick nicht gedacht. So, unser Schulteam, unsere 13 Schüler sind sehr international, also wir haben 4 Amerikaner, 6 Deutsche und 3 Franzosen. Der Coach unseres Teams sagt, Amerikaner und Franzosen spielen so gut Basketball, von denen will ich möglichst viele mitnehmen und den Rest fülle ich halt mit Deutschen auf. Das weiß jetzt die Schulaufsichtsbehörde, die sagt, okay, wir geben euch Auflagen. Ihr dürft nur 3 Amerikaner stellen und nur 2 Franzosen, die restlichen 3 müssen also Deutsche sein. Das sind die Auflagen, so muss euer Team zusammengestellt sein, sonst dürft ihr nicht starten. Jetzt ist also die Frage, wie viele Möglichkeiten gibt es noch, unser Team zusammenzustellen? Gucken wir uns das mal für jede Nationalität einzeln an. Bei den Amerikanern haben wir ja jetzt quasi wieder eine Kombination ohne Wiederholung. Und zwar wählen wir aus 4 amerikanischen Schülern genau 3 aus. Wir haben also 4 über 3 oder auch 4!÷(3!×1!), also 4 Möglichkeiten. Wir haben 4 verschiedene Möglichkeiten, 3 Amerikaner auszuwählen. Bei unseren Deutschen: Wir haben hier die Kombination 6 über 3, aus unseren 6 deutschen Basketballern sollen wir 3 auswählen, haben also hier 6 über 3 oder auch 6!÷3!, ÷6-3!, also wieder 3! - und das Ganze ist, wenn man das ausrechnet, 20. So, dann noch unsere Franzosen. Wieder eine Kombination, aus 3 Franzosen wählen wir insgesamt 2 aus. Also 3 über 2, das Ganze ist 3. So, jetzt also die Frage, wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt? Und um das herauszufinden - also, es gibt innerhalb der Amerikaner 4 Möglichkeiten, 20 Möglichkeiten bei den Deutschen, 3 bei den Franzosen. Wir haben also 20 für die Deutschen, ×4 für die Amerikaner, ×3 für die Franzosen, also insgesamt 240 verschiedene Möglichkeiten, unser Team nach diesen Auflagen aufzustellen. Oder auch, also wenn man sich das jetzt noch mal anguckt, 4 über 3 Möglichkeiten der Amerikaner, ×6 über 3 Möglichkeiten der Deutschen, ×3 über 2 Möglichkeiten der Franzosen und das ergibt 240 Möglichkeiten. Kommen wir jetzt also zu Aufgabe C. Unser Team hat sich erfolgreich angemeldet und soll jetzt noch die Nummern verteilen. Die Frage ist also, auf wie viele verschiedene Arten können die Nummern verteilt werden? Jetzt wieder hier die Frage, haben wir eine Wiederholung? Nein, wir haben keine Wiederholung, jeder Spieler kriegt genau eine Nummer. Ist die Reihenfolge wichtig? Wir merken, bei 8 Spielern, wenn wir 8 Nummern verteilen, haben wir ein Anordnungsproblem, das heißt, diese Frage stellen wir uns gar nicht. Wir haben also die Permutation ohne Wiederholung von 8 Spielern. So, wir haben 8 Möglichkeiten, die Nummer 1 zu verteilen. Wir haben 7 Möglichkeiten, die Nummer 2 zu verteilen usw. Also 8! Wichtig, wir verteilen wirklich nur die Nummern 1-8 auf unsere 8 Schüler. Man könnte auch fragen, wie viele Möglichkeiten gibt es, die Nummern 1-99 auf unsere 8 Schüler zu verteilen, tun wir aber nicht. Wir wollen die Nummern 1-8 verteilen, auf 8 Schüler, und haben 8! Möglichkeiten. Wenn wir uns das noch mal angucken, wenn wir hier die Nummern haben, 1, 2, 3, 4 usw., haben wir ja für die Nummer 1 noch 8 Möglichkeiten. So, dann hat ja einer die Nummer 1 bekommen, derjenige kann nicht mehr die Nummer 2 bekommen, also haben wir bei der Nummer 2 noch 7 Möglichkeiten. Die beiden mit der Nummer 1 und 2 können nicht mehr die Nummer 3 bekommen, also haben wir hier 6, hier nur noch 5 und das geht so weiter bis 1. Wenn man das dann alles miteinander multipliziert, haben wir 8 Fakultät, was 40320 verschiedene Möglichkeiten ergibt, die Nummern 1-8 in unserem Team zu verteilen. Gut, das war die 2. Übung zur Kombinatorik. Ich hoffe, wir haben jetzt alles so weit durchgenommen, dass ihr auch schwierigere Probleme der Kombinatorik durch ein bisschen Nachdenken lösen könnt. Ich bedanke mich fürs Zuschauen, sage, bis zum nächsten Mal und tschüss!

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