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Transkript Statistik Video 45: Kombination mit und ohne Wiederholung

Hallo Leute, schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Nachdem wir im letzten Video uns die Variation angeguckt haben, bei der die Reihenfolge wichtig war, gucken wir uns jetzt die Kombination an. Hier ist die Reihenfolge unserer Ergebnisse unwichtig. Fangen wir doch einfach an. Gucken wir uns also mal das klassische Beispiel für die Kombination an. Die Ziehung der Lottozahlen "6 aus 49". Das heißt, es sollen 6 Zahlen aus 49 gezogen werden. Ist hierbei die Reihenfolge wichtig? Also, ist für mich, wenn ich meinen Lottoschein ausgefüllt habe, interessant, ob die 5 die ich auf meinem Lottoschein angekreuzt habe, als 1. gezogen wird oder als Letztes? Nein, völlig uninteressant. Gibt es eine Wiederholung? Das heißt, wenn die 5 einmal gezogen wurde, kann sie dann noch ein 2. Mal gezogen werden? Nein, beim klassischen Lotto gibt es das auch nicht. Das heißt, die Reihenfolge ist unwichtig, das heißt, wir haben schon mal die Kombination und es gibt keine Wiederholung. Das heißt, wir haben die Kombination ohne Wiederholung. Gucken wir uns das erst einmal an, wie wir das bei der Variation gemacht haben. Da hatten wir ja so etwas, wie n Fakultät, also die Anzahl der Elemente aus denen gezogen wurde, bei uns 49, geteilt durch n-r Fakultät, also quasi die Plätze, die uns nicht interessieren, wären hier ja 43 Fakultät. r ist ja 6, das heißt, das wäre die Formel, wie sie bei der Variation zustande käme. Also, wenn die Reihenfolge der ersten 6 wichtig wäre. Ist es bei uns nicht. Das heißt, wir müssen irgendwie diese Anzahl der Möglichkeiten, wie diese 6, die wir gezogen haben, ineinander verteilt sind, noch mit rausrechnen. Und da können wir uns an die Anordnungsprobleme erinnern. Die Anzahl der Möglichkeiten, wie man 6 verschiedene Elemente auf 6 verschiedene Plätze verteilt, sind 6 Fakultät. Das heißt, diese 6 Fakultät können wir hier jetzt noch mal raus rechnen und kommen also zu dieser Formel. Das heißt, alle Möglichkeiten, wie wir unsere 49 Elemente ineinander verteilen können, geteilt durch die verschiedenen Möglichkeiten, wie wir die 43 Verlierer ineinander verteilen können, mal die Möglichkeiten, wie wir unsere 6 Gewinner ineinander verteilen können. Weil uns ja im Gegensatz zur Variation, hier die Reihenfolge ja nicht mehr interessiert. Also haben wir 49!/43!×6!=13.983.816. Überlegt euch das also mit Lottospielen. Die Chance 6 Richtige zu kriegen ist dann doch wirklich sehr gering. Also, hier noch mal die Kombination ohne Wiederholungen, Anzahl der Möglichkeiten alle Elemente auf ihren Plätzen anzuordnen, geteilt durch die Möglichkeiten die Verlierer untereinander anzuordnen (die uns ja nicht interessieren, die uns ja auch schon bei der Variation nicht interessiert haben), mal die Anzahl der Möglichkeiten die Gewinner auf ihre Gewinnerplätze anzuordnen (die uns ja jetzt auch nicht interessieren). Uns interessieren ja nur, welche Zahlen werden als Gewinner gezogen und nicht die Reihenfolge. Wie die gezogen werden, ist uns völlig egal. Ok, das können wir jetzt auch verallgemeinern, in einer Formel. Unser K(n,r), also unser K=Kombination ohne Wiederholung, =n!/(n-r)!×r!, oder auch (und jetzt führen wir etwas Neues ein) das Ganze ist definiert als n über r, oder auch r aus n, also wir ziehen r Elemente aus einer Grundgesamtheit von n Elementen so ist das definiert. Wichtig, das ist kein Vektor oder so, sondern das ist wirklich quasi eine Rechenoperation. Das beides hier ist Äquivalent, also n über r schreibt man das in dieser großen Klammer. Bedeutet dann also, n Fakultät geteilt durch n-r Fakultät mal r Fakultät. Oder bildlich gesprochen, das oben Fakultät geteilt durch das unten Fakultät mal oben - unten Fakultät. Das Ganze nennt man Binomialkoeffizient, schwieriges Wort und wird euch noch häufig begegnen. Also diese Schreibweise ist sehr beliebt, weil man meistens zu faul ist, diese ganzen Fakultäten und so aufzuschreiben, gerade wenn hier kompliziertere Sachen stehen, kompliziertere Ausdrücke, dann schreibt man gerne n über r und meint damit eigentlich n Fakultät geteilt durch n-r Fakultät mal r Fakultät. Gucken wir uns doch mal die Besonderheiten des Binomialkoeffizienten an. Also, K(n.r)=n!/r!×(n-r)! oder n über r. Auch hier gilt die Einschränkung, wie auch schon bei der Variation ohne Wiederholung, r≤n. Das heißt, wenn ich die Lottozahlen ziehe, ich habe 49 verschiedene Zahlen und ich lege die Kugel nach dem Ziehen nicht zurück, kann ich maximal 49 Mal ziehen, ist ja logisch. Es gibt die Eigenheit, n über r=n über n-r. Also, wenn wir uns das beim Lottoziehen mal angucken, 49 über 6=49 über 43. Oder anders gesprochen, es gibt genau so viele Möglichkeiten 6 aus 49 zu ziehen, wie 43 aus 49. Ist ja einigermaßen logisch. Wenn ich 6 ziehe, gucke ich mir die an und 43 bleiben übrig. Wenn ich 43 ziehe, kann ich mir die angucken und 6 bleiben übrig. Also es ist dann im Prinzip nur Gewinner und Verlierer vertauscht, aber da uns bei beiden nicht die Reihenfolge interessiert, sind hier gleich viele Möglichkeiten. Das kann man natürlich auch mathematisch beweisen. n über r, steht ja hier, =n!/r!×(n-r)! und n über n-r. Ich habe ja gesagt, nimm das, was oben steht, Fakultät, teile durch das, was unten steht, Fakultät mal das, was oben steht-das, was unten steht, Fakultät. Also n-(n-r)! und das hier soll jetzt gleich sein. Wenn wir uns das hier angucken, können wir das natürlich noch zusammenfassen. Wir haben also n!/(n-r)! und hier, n-n kürzt sich raus, - und - wird +, also ×r!. Und da haben wir den Beweis, das ist das Gleiche wie das hier. Also n über r ist das Gleiche wie n über n-r. Gut, gucken wir uns also die Kombination mit Wiederholung an. Die ist ein bisschen tricky, vor allem im Verständnis. Gucken wir uns also ein Weiteres beliebtes Beispiel an, das sogenannte Gummibärchenorakel. Man geht davon aus, wir haben eine Tüte Gummibärchen. Darin gibt es Gummibärchen von 4 verschiedenen Farben und wir wollen insgesamt 5 Gummibärchen raus ziehen. Dann gucken wir uns an, welche Farben diese haben und dann schlagen wir nach, in einem Buch, und sagen, gucken, was uns dieses Orakel denn jetzt sagt. So, ich habe ja schon gesagt, wir sind hier in der Kombination, das heißt, die Reihenfolge ist uns völlig schnuppe. Ob wir jetzt zuerst ein rotes Gummibärchen ziehen oder an 3. Stelle ein rotes Gummibärchen ziehen, ist uns völlig egal. Tun wir die Gummibärchen jedes Mal, nachdem wir gezogen haben, wieder rein? Ja, genau das wollen wir tun. Also haben wir eine Kombination mit Wiederholung. Wir ziehen 5 Mal und es gibt insgesamt 4 Farben. Wir wollen das Ganze jetzt so aufbauen, es gibt die Farben rot, grün, gelb und weiß und wir wollen nach den 5 Zügen unser Ergebnis hier stehen haben, und zwar sortiert. Gehen wir mal davon aus, wir hätten jetzt 2 Mal rot gezogen und einmal gelb, einmal grün, einmal weiß. Dann wollen wir das am Ende so haben, also rot rot, hier liegen also unsere beiden roten Gummibärchen, dann legen wir da ein Trennungshölzchen hin. Dann haben wir ein grünes Gummibärchen, legen da wieder ein Trennungshölzchen hin. Haben ein gelbes Gummibärchen, legen wieder ein Trennungshölzchen hin. Und haben ein weißes Gummibärchen. Ihr fragt euch jetzt, warum legen wir überhaupt diese Trennungshölzchen dahin, was soll das? Gehen wir jetzt mal davon aus, wir hätten 5 rote Gummibärchen gezogen, dann hätten wir das also hier so stehen, und dann würden halt am Ende 3 Trennungshölzchen angeben, dass wir quasi von allen anderen überhaupt kein Gummibärchen gezogen haben. Wir haben also n-1 Trennungshölzchen, wir haben 4 Farben, was unserem n entspricht und wir machen 5 Züge, was unserem r entspricht. Ok wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt? Unsere Kombination mit Wiederholung Kw(4,5)= die Anzahl der Möglichkeiten, wie das hier verteilt werden kann. Wir haben insgesamt 5 Züge, die wir auf 5 Positionen verteilen können, also 5 Ergebnisse, 5 Gummibärchen, die wir auf 5 Positionen verteilen können. Dann haben wir 3 Trennungshölzchen, die wir verteilen können und da haben wir ja schon gesagt, das ist n-1. Also, wir haben insgesamt 8 Positionen zu vergeben, 5 für Gummibärchen, 3 für Trennungshölzchen. Diese 3 Trennungshölzchen habe ich hier mal als 4-1 markiert, damit noch ersichtlich ist, wie sich das zusammensetzt. Dass das hier r ist und das hier n. Das Ganze teilen wir jetzt aber natürlich noch durch die Anzahl der Möglichkeiten, wie diese untereinander verteilt werden können. Und zwar die 5 Gummibärchen haben ja 5 Fakultät Möglichkeiten untereinander verteilt zu sein, und da uns die Reihenfolge völlig unwichtig ist, müssen wir die natürlich raus rechnen. Und die 3 Trennhölzchen haben auch noch mal 3 Fakultät Möglichkeiten untereinander verteilt zu sein und das müssen wir also auch raus rechnen. Ich schreibe hier wieder 4-1 statt 3, damit ersichtlich ist, dass das n ist und das r. So viele Möglichkeiten gibt es jetzt also. Das Ganze kann man natürlich auch im Binomialkoeffizienten ausrechnen oder aufschreiben. Und das ist dann nichts anderes als 5+4-1 über 5. Oder allgemein aufgeschrieben, unser Kw(n,r)=n+r-1 über r. Das sind die Anzahl der Möglichkeiten, wie viele es gibt, eine Kombination mit Wiederholung zu machen. Sieht jetzt erst mal etwas seltsam aus, ist auch der Fall, der in der Praxis am seltensten auftritt. Ich hoffe, ihr habt einigermaßen verstanden, wie man denn zu diesen Formeln kommt und was jetzt noch ein bisschen verwirrend ist, ist das man ja hier im Prinzip r Fakultät hat und n-1 Fakultät und dann aber trotzdem einfach n+r-1 über r schreiben kann. Weil wir haben ja eigentlich gesagt, das muss irgendwie das oben - das unten sein. Und hier ist ja n-1, das heißt, hier im Nenner steht gar nicht in beiden Teilen unser r drin. Schreiben wir also diesen Binomialkoeffizienten noch einmal aus und gucken, dass auch wirklich das Richtige raus kommt. Also, wir haben (n+r-1)!, in unserem Fall (4+5-1)!, genau das Gleiche, was wir hier oben haben. Ob wir jetzt erst r schreiben oder erst n, das ist in dem Fall völlig egal. Hier n-1, zum Verständnis leichter, aber im Endeffekt ist die Reihenfolge egal. Geteilt durch das, was unten steht Fakultät, also r Fakultät mal das, was oben steht-das, was unten steht, Fakultät, also (n+r-1-r)!. Und hier sieht man ja schon, dass hier r 2 Mal rausfällt. Das heißt, wir haben hier im Prinzip am Ende (n+r-1)!, in unserem Fall 8, durch r!, in unserem Fall 5, mal (n-1)!. Also n+r-1 über r. Ja, das war die Kombination mit Wiederholung. Taucht nicht so oft auf, ist auch etwas schwierig, das richtig zu verstehen, warum das so gemacht wird, auch mit diesen Trennhölzchen. Ich würde sagen, guckt euch das noch mal gut an, dann steigt ihr auch dahinter. Im Prinzip, wenn man sich diese Formel merken kann, alles überhaupt kein Problem. So, zum Schluss habe ich hier noch mal eine Übersicht über alles, was wir bis jetzt in der Kombinatorik gemacht haben, aufgeschrieben. Also die Permutation, die Anordnungsprobleme, ohne Wiederholung, mit Wiederholung, die Variation ohne Wiederholung und mit Wiederholung und die Kombination ohne Wiederholung und mit Wiederholung. Auch habt ihr dann mal alle Formeln auf einen Blick. Könnt ihr euch jetzt noch mal im Standbild angucken, könnt ihr vielleicht abschreiben und dann euch damit vorbereiten. Gut, das war es von mir für dieses Mal. In den nächsten 2 Videos machen wir natürlich noch ausführliche Übungen zu den Auswahl- und Anordnungsproblemen. Ich bedanke mich für das Zuschauen, sage bis zum nächsten Mal und tschüss.

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3 Kommentare
  1. Default

    Nein, 5 stimmt schon. n+r-1 über r mit n=4 und r=5.

    Oben ist nur die Reihenfolge anders (r+n-1) also (5+4-1), aber in der Formel sind ja n und r deutlich markiert.

    Hoffe das ist einigermaßen verständlich...

    Von Statistik Jona, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    bei 13:00 ist doch der Binominalkoeffizient: 5+4-1 über 4 und nicht über 5 wie im Video. Oder irre ich mich?

    Von Milanmitrovic 2, vor fast 4 Jahren
  3. Default

    Die beste Erklärung die ich meinem Leben gehört habe. Alle deine Videos finde ich total super!!!!!!! Bin dir so dankbar!!!

    Von Helena87, vor fast 5 Jahren