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Transkript Statistik Video 43: Permutation

Hallo, schön, dass ihr alle wieder zuguckt! Wir starten heute mit dem großen Block der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Natürlich nicht direkt mit der Wahrscheinlichkeit, sondern wir fangen das Ganze langsam an. Also bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung fangen wir erst ein Mal an mit der Kombinatorik. Kombinatorik sagt mir im Prinzip, wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt. Also zum Beispiel ich würfele 2 Würfel, wie viele Möglichkeiten, wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, dass ich einen Pasch würfele. Dann machen wir weiter mit der Mengenlehre, was ist überhaupt eine Menge, wie definiert man das, was sind disjunkte Mengen und so weiter, bevor wir dann erst zu den Verteilungsmodellen kommen und wirklich mit Wahrscheinlichkeiten rechnen. Wir brauchen diesen ganzen Vorlauf, damit es bei den Wahrscheinlichkeitsrechnungen alles nicht so schwer ist. Wir fangen heute mal an mit der Kombinatorik und auch das ist schon gar nicht so einfach. Also hier müsst ihr wirklich am Ball bleiben. Wir beginnen unseren Ausflug in die Kombinatorik mit der Permutation, also der Anordnung. In der Kombinatorik gibt es 2 große Sparten: Es gibt Anordnungsprobleme und Auswahlprobleme. Auswahlprobleme sind die schwierigeren, deshalb fangen wir mit der Anordnung an. Was ist jetzt ein Anordnungsproblem gegenüber einem Auswahlproblem? Wenn wir 3 Leute auf 3 Plätze verteilen wollen, haben wir ein Anordnungsproblem. Wollen wir aber aus 4 Leuten 3 auswählen und dann auf 3 Plätze verteilen, haben wir ein Auswahlproblem. O.k., es gibt auch immer noch die Unterscheidung, machen wir das Ganze mit oder ohne Wiederholung. Also sagen wir, wollen wir die 3 Leute so verteilen, wollen wir 3 Leute auf 3 Stühle verteilen, dann logischerweise ohne Wiederholung, weil keiner auf mehr als einem Stuhl sitzen kann oder wollen wir, sagen wir, die Buchstaben eines Wortes durcheinander werfen und können, sagen wir, 2 Os nicht voneinander unterscheiden, dann haben wir sich wiederholende Elemente, haben also mit Wiederholung. Gucken wir uns das Mal an. Die Permutation ohne Wiederholung ist n! Also wenn wir 3 Leute auf 3 Stühle verteilen wollen, haben wir 3 Fakultätmögliche Anordnungen. Wir gucken noch mal P(n), also n!, was bedeutet das. n! bedeutet, n×(n-1)×(n-2) und so weiter bis runter zur 1. Also im Prinzip, von n an alle Zahlen miteinander multipliziert, bis wir bei der 1 landen. Wichtige Definitionssache mach ich mal in Rot: 0! Ist nicht 0. 0! Ist 1. Sollte man sich immer klarmachen, 0! Ist nicht 0. O.k., schauen wir uns also die Permutation mit Wiederholung an, da ist die Anzahl der Möglichkeiten nicht nur von n, also von der Anzahl der Elemente abhängig, sonder auch von p, q, r und so weiter, es sind im Prinzip beliebig viele, und zwar sind p, q und r die verschiedenen Elemente, die sich womöglich wiederholen. Sagen wir mal, wir haben das Wort „Tee“. So, dann haben wir ja 3 Elemente, n ist 3 und wenn wir die E´s nicht voneinander unterscheiden können, haben wir 2 sich wiederholende Elemente. Was sind die Möglichkeiten, diese Buchstaben anzuordnen, wenn wir unsere E´s nicht unterscheiden können? Da haben wir einmal „Tee“, „Ete“ und einmal „Eet“. Also 3 Möglichkeiten. Oder auch 3!, Anzahl der Elemente, geteilt durch 2!, die Anzahl der E´s, × 1!, die Anzahl der T´s. Also im Prinzip 6÷2=3. Ok gucken wir uns noch ein paar Beispiele an, dann seht ihr auch schnell, dass das von der Größenordnung sehr sehr sehr schnell wirklich explodieren kann. Gut machen wir also mal ein kleines Beispiel. Beispiel 1: Wir haben 8 Läufer, und wir fragen uns jetzt, wie viele Möglichkeiten des Zieleinlaufes gibt es. Wir sagen mal, ok wir haben keine Ahnung, wer von denen jetzt der Beste ist und wer der Schlechteste, wir gucken einfach mal theoretisch, wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es. Natürlich haben wir ein Anordnungsproblem, wir wollen 8 Läufer auf 8 Positionen verteilen, mit oder ohne Wiederholung? Naja, wenn der 1. Läufer auf Position 1 eingelaufen ist, kann er logischerweise nicht noch mal umdrehen und noch mal auf Position 5 zum zweiten Mal einlaufen, also ohne Wiederholung. Wir gucken also mal. P(n) für den 1. Platz gibt es 8 Möglichkeiten an Läufern, die einlaufen können, also 8× die Möglichkeiten für den 2. Platz, nun haben wir ja schon einen Läufer, der schon im Ziel ist, also sind nur noch 7 auf der Strecke, die sich um den 2. Platz rangeln, also 8×7, für den 3. Platz haben wir jetzt nur noch 6 Läufer, 2 sind schon im Ziel, 8 Läufer, die am Anfang gestartet sind, minus 2, die schon im Ziel sind, macht 6×5, die sich um den 4ten Platz streiten, 4, die sich um den 5. Platz streiten, 3 um den 6., 2. um den 7. und der Letzte, der übrig geblieben ist. Also: 8×7×6×5×4×3×2×1 – so viele Möglichkeiten gibt es. Oder auch 8!, wie es hier steht. Ok, wie viel ist jetzt 8!. Können ja mal von hinten rechnen 1×2=2×3=6×4=24×5=120×6=720, und ihr seht da schon, es wird sehr schnell mehr, und 8! ist 40320. Das heißt, wenn wir nur 8 Läufer haben, gerade ein mal 8 Läufer die starten, gibt es schon 40320 Möglichkeiten, wie die einlaufen können. 40320. Das ist eine immense Anzahl. Ja, warum machen wir eigentlich Kombinatorik. Hier noch mal ein kleiner Exkurs. Die Wahrscheinlichkeit wird oft definiert als Anzahl der Ereignisse, die für mich günstig sind, geteilt durch Anzahl aller möglichen Ereignisse. Und wenn wir jetzt sagen, ok, wir haben insgesamt 40320 mögliche Ereignisse, also mögliche Rangfolgen, die eintreten können und davon sind für mich, sagen wir 50, günstig, dann haben wir 50÷40320, ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein für mich günstiges Ereignis eintritt. Also, ihr seht, wir brauchen die Kombinatorik um nachher den Schulterschluss zur Wahrscheinlichkeitsrechnung hinzukriegen. Ok, das waren die 8 Läufer, machen wir mal mit einem 2. Beispiel weiter. Wir sagen jetzt einmal, in unserem 2. Beispiel, wir gucken uns ein Wort an. Wir haben das eben schon mit Tee gemacht, und zwar gucken wir uns jetzt das Wort Sofatutor an. Und wir sehen schon, wir haben das T 2 Mal und O 2 Mal. Wir wollen jetzt mal sagen, wir können die voneinander unterscheiden, also wir können die T´s voneinander unterscheiden und die O´s auch, das heißt wir haben hier so kleine Indizes dran und wollen jetzt also gucken wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben von Sofatutor miteinander auszutauschen, wenn wir wirklich alle Buchstaben voneinander unterscheiden können. Wir können sagen, ok jetzt steht O1 vorne, und das Nächste ist was anderes, weil da steht O2 vorne. Wir haben also wieder ein Anordnungsproblem, natürlich, wir wollen 9 Buchstaben auf 9 neue Positionen verteilen und wir haben diesmal wiederum keine Wiederholung, weil wir alle Buchstaben voneinander unterscheiden können. Das heißt wir haben hier unser p unserer 9 Buchstaben, also insgesamt 9!, denn wieder, bei der !. Position gibt es 9 Möglichkeiten, 9 verschiedene Buchstaben, die da stehen können, der der 2. Position noch 8 und das hintereinander ergibt 9! oder auch 362880. Eine wahnsinnige Zahl. Alleine das Wort Sofatutor, das ja grade einmal 9 Buchstaben hat, also noch nicht sonderlich viele, hat schon 362880 verschiedene Möglichkeiten, wie man die Buchstaben anordnen kann. Ok, gucken wir uns das Ganze jetzt einmal mit Wiederholung an. Wir gucken uns wieder das Wort Sofatutor an und sagen jetzt aber, ok, wir können die verschiedenen T´s voneinander nicht unterscheiden, und die O´s auch nicht, die sehen für uns alle Gleich aus, haben diesmal auch keine Indizes. So, was wir jetzt also haben wollen, ist dieses P(w),  also mit Wiederholung. Wir haben unser n, ist 9, p sagen wir mal, sind die sich wiederholenden O´s, also 2, q sind die sich wiederholenden T´s, so und theoretisch müssten wir jetzt jedem anderen Element hier auch noch eine Variable zuweisen und sie hier auch berücksichtigen, aber sie sind alle 1. 1! Bleibt 1, sie ändern also nichts daran. Lassen wir das Ganze also so. So wir haben jetzt also 9!, also alle verschiedenen Möglichkeiten, die wir haben, wir erinnern uns 362880 und wollen jetzt die raus filtern, die doppelt vorkommen. Also wenn wir jetzt sagen, ok, dieses Sofatutor, so wie es hier steht, gibt es ja 2 Mal. Wir haben nämlich hier einmal Sofatutor mit O2 vorne, O1 hinten und einmal Sofatutor mit O1 vorne und O2 hinten. In diesem Beispiel können wir das nicht auseinanderhalten, das heißt, wir müssen die quasi raus filtern. Wir teilen also 9!÷(2! ×2!). Wobei das hier jetzt die O´s sind und das hier sind die T´s. So und natürlich könnten wir jetzt noch hier ×1!, ×1!, weil ja alle anderen Buchstaben nur ein Mal vorkommen. Wenn wir das jetzt ausrechnen, kommen wir auf 362880÷4. Das heißt es gibt nur noch ¼ der Möglichkeiten, die wir vorher hatten, sind jetzt noch möglich und das sind 90720, also immer noch eine Menge Möglichkeiten, aber längst nicht mehr so viele, wie wir ohne Wiederholung hatten. Ja, das war das erste Video zur Kombinatorik, die Permutation, die ja die Anordnungsprobleme, ihr seht, die sind nicht so richtig schwer. Im nächsten Video beschäftigen wir uns mit den Auswahlproblemen und die haben es schon wirklich in sich. Da solltet ihr also gut aufpassen. Ich bedanke mich fürs Zuschauen, sage bis zum nächsten Mal und tschüss!

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1 Kommentar
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    Wurde sehr gut erklärt und auf Anhieb verstanden :-)

    Von Tvaitl, vor mehr als 5 Jahren