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Transkript Statistik Video 15 - arithmetisches, geometrisches & harmonisches Mittel Übung

Guten Tag! Schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute bei der Übung zum arithmetischen, harmonischen und geometrischen Mittel. Wir fangen mit dem arithmetischen an; wir haben ja gesagt das ist wahrscheinlich so der wichtigste Mittelwert, den es überhaupt gibt. Und wir fangen ganz einfach an. Wir fangen an mit einer Urliste. Wir haben 6 Beobachtungswerte, 0, 3, 5, 7, 10 und 4, und das hier ist unsere Formel für das arithmetische Mittel bei einer Urliste. Wir haben 1/n, also 1 durch den Stichprobenumfang, mal die Summe von i=1 bis n, also über alle Beobachtungswerte der jeweiligen Beobachtungswerte. Was bedeutet das? Wir haben also hier unser arithmetisches Mittel x quer gleich 1/n, den Stichprobenumfang, in unserem Fall 6, weil wir 6 Beobachtungswerte haben, mal die Summe aller Beobachtungswerte, also 0+3+5+7+10+4. Das ist schon alles, was wir machen müssen. Jetzt müssen wir es natürlich noch ausrechnen. Wir haben also 1/6×0+3, 3, +5=8, +7=15, +10, 25 und +4, 29, also 1/6×29. Und das bringt uns zu einem arithmetischen Mittel von 4,83. So einfach war das bei einer Urliste. Machen wir also weiter mit dem arithmetischen Mittel aus sortierten Daten. Da haben wir die Formel 1/n×∑ von der Merkmalsausprägung aj mal der absoluten Häufigkeit dieser Merkmalsausprägung h(aj). Ich habe hier wieder ein Beispiel gemacht. Wir haben die Merkmalsausprägung aj, 6, 7, 8 und 10, mit den absoluten Häufigkeiten 2, 4, 5 und 4. Berechnen wir also unser arithmetisches Mittel. Es ist ja wieder 1/n, also 1 durch den Stichprobenumfang. Wir haben hier 2+4+5+4, macht 15, also 1/15×aj×h(aj). Aj, oder hier a1, wäre 6, h(a1)=2, also 6×2+7×4+8×5+10x4. So, unser x quer berechnet sich also als 1/15 mal 6×2=12, 7×4 28, 8×5=40 und 10×4 ist auch 40, also 12+28+40+40, macht zusammen 120. Unser x quer ist also 1/15×120, und das bringt uns zu einem arithmetischen Mittel von 8. So einfach berechnet man das arithmetische Mittel. Kommen wir also zum dritten Beispiel: das arithmetische Mittel bei gruppierten Daten. Wir haben hier also 4 Gruppen: 0 – 10, 10 – 20, 20 – 60 und 60 – 80, und die entsprechenden absoluten Häufigkeiten dieser Gruppen: 10, 20, 5 und 4, also ein Stichprobenumfang von 39. Ich habe Euch wieder die Formel – zur Erinnerung – für das arithmetische Mittel bei gruppierten Daten aufgeschrieben. Das ist 1/n mal die Summe i=1 bis n von hj, der absoluten Häufigkeit der jeweiligen Gruppe, mal mj, der Gruppenmitte. Mj haben wir ja noch nicht, bauen wir also in unsere Tabelle ein. Machen wir einfach eine neue Spalte mj, die Gruppenmitte der jeweiligen Gruppe. Die Gruppenmitte bei 0 – 10 ist also 5, bei 10 – 20 wäre das 15, bei 20 – 60, also (60+20)/2, 40, und bei 60 – 80 wäre die Gruppenmitte natürlich 70. So, und jetzt haben wir auch schon alle Daten, die wir benötigen, um unser arithmetisches Mittel zu berechnen. Wir fangen also an. X quer ist 1/n, also 1/39×∑hj×mj, also die absolute Häufigkeit mal die Gruppenmitte. Wir haben also 10×5+20×15+5×40+4×70. So, unser x quer ist also, wenn wir das jetzt einmal ausmultiplizieren, 1/39 mal 10×5=50, +20×15=300, +5×40, 200, +4×70=280. Wir haben also 1/39 mal 50+300, 350, +200, 550, +280=830, also 1/39×830, und das ist 21,282. Das ist jetzt also unser x quer, unser Mittelwert aus diesen Daten. Das ist allerdings nur approximiert. Wir gehen ja davon aus, dass die Daten in der Gruppe genau gleichmäßig verteilt sind und dass wir deshalb einfach die Gruppenmitte nehmen können und so ungefähr alle Daten ganz gut erreichen, die in der Gruppe liegen. Hätten wir den gleichen Datensatz, den wir jetzt hier schon in Gruppen haben, einfach als Urliste, könnte ein anderes arithmetisches Mittel rauskommen, was dann aber exakt wäre. Das heißt: Sobald wir unsere Daten von einer Urliste in Klassen unterteilen, gewinnen wir zwar an Übersichtlichkeit, verlieren aber an Genauigkeit, was sich nachher durchaus in unserem arithmetischen Mittel zeigen kann. Gehen wir also zum nächsten Beispiel über. Wir stellen uns jetzt mal vor, wir haben zwei Maschinen, Maschine A und Maschine B. Maschine A produziert 3000 Stück pro Stunde, was auch immer, von mir aus Quietscheentchen, und Maschine B produziert 2000 Stück pro Stunde. So, wir lassen jetzt die Maschine A 2 Stunden laufen und die Maschine B 1 Stunde, und wollen wissen: Was ist jetzt der durchschnittliche Output pro Stunde in dieser Einheit? Jetzt ist hier die 1. Frage: Was für einen Mittelwert verwenden wir? Wir hätten zur Auswahl das arithmetische Mittel oder das harmonische Mittel. Kann man sich jetzt überlegen; kann man jetzt mal scharf darauf gucken und gucken, ob man es rausfindet. Man kann aber auch einfach die Faustregel, die ich im letzten Video schon erwähnt habe, benutzen, und zwar: Wenn die Angabe, die in der Fragestellung gemacht wird, hier: Stunden, in der Einheit des Nenners ist ... hier haben wir ja im Nenner die Stunden und in der Angabe die Stunden, benutzen wir das arithmetische Mittel. Und das nehmen wir jetzt auch. Wir haben also x quer zu berechnen. Diesmal gewichten wir ja unser x quer, das heißt, wir haben die Formel für unser gewichtetes arithmetisches Mittel, was da war – wir erinnern uns: Das war 1 durch die Summe aller Gewichtungen, also die Summe läuft natürlich von 1 bis n, mal der Summe der jeweiligen Gewichtungen mit dem Beobachtungswert; auch diese Summe natürlich von 1 bis n. So, wie zeigt sich das also in unserem Beispiel? Was sind hier die Gewichtungen? Die Gewichtungen hier sind 2 Stunden und 1 Stunde. Also, unser x quer ist schon mal 1/(2+1) mal ... wir haben wieder eine Summe, also muss hier irgendwo ein Plus stehen ... und jetzt die Gewichtung mal unserem Beobachtungswert, die Gewichtung von Maschine A, 2 Stunden, mal dem Beobachtungswert. Ah, wir beobachten: Maschine A produziert 3000 Quietscheentchen pro Stunde. Also haben wir 2×3000+1×2000. So, das bringt uns zu 1/3×6000, also 2×3000=6000, +2000=8000. Wir rechnen also 1/3×8000, und das sind 2667 Stück pro Stunde. Das ist also durchschnittlicher Output, den wir pro Stunde haben, wenn wir Maschine A 2 Stunden laufen lassen und Maschine B eine Stunde. O.k., ich habe das Beispiel jetzt mal ein bisschen modifiziert, also es sind immer noch unsere 2 Maschinen. Maschine A produziert immer noch 3000 Stück pro Stunde, Maschine B immer noch 2000, aber wir haben andere Angaben. Diesmal wird angegeben: Maschine A produziert 7500 Stück, Maschine B produziert 5000 Stück. Gefragt ist wieder der durchschnittliche Output pro Stunde. Jetzt können wir uns wieder überlegen: Welchen Mittelwert werde ich wohl benutzen? Und diesmal haben wir ja die Angaben in der Einheit des Zählers, also Stück, und das bedeutet, ich benutze das harmonische Mittel. Das hätte man sich jetzt auch denken können, das arithmetische hatten wir ja schließlich schon. Die Formel für das gewichtete harmonische Mittel steht hier. Wir haben also die Summe aller Gewichtungen geteilt durch die Summe aller Gewichtungen geteilt durch ihren jeweiligen Beobachtungswert. Gut, fangen wir also an, das auszurechnen. Unser harmonisches Mittel, groß H, ist also die Summe aller Gewichtungen. Was haben wir für Gewichtungen? Na die Angaben, die hier gemacht werden, also 7500+5000, geteilt durch die Summe – da haben wir hier schon mal wieder ein Plus – der Gewichtung geteilt durch ihren jeweiligen Beobachtungswert. Die Gewichtungen können wir erst mal schon wieder übernehmen. Wir haben hier einmal 7500 und einmal 5000. So, und den Beobachtungswert haben wir hier gerade, wir beobachten: aha, Maschine A produziert 3000 Stück pro Stunde, Maschine B produziert 2000 Stück pro Stunde, können wir also auch hier eintragen: 7500/3000+5000/2000. Das führt uns zu 7500+5000, macht 12500, geteilt durch 7500/3000, macht 2,5; 5000/2000 macht auch 2,5. Wir haben also 12500 geteilt durch 2,5+2,5, also 5, und das bringt uns zu einem harmonischen Mittel von 2500 Stück pro Stunde. Das ist also unser durchschnittlicher Output, den wir haben, wenn Maschine A 7500 Stück produziert und Maschine B 5000 Stück. Ihr könnt jetzt ja mal zu Hause diese Angaben nehmen und damit einfach das gewichtete arithmetische Mittel ausrechnen, und es wird ein anderes Ergebnis sein, und es wird deshalb auch falsch sein. Wenn nämlich die Angabe in der Einheit des Zählers ist, müssen wir immer das harmonische Mittel nehmen, weil das arithmetische Mittel in fast allen Fällen ein falsches Ergebnis liefert. Es gibt bestimmt besondere Beispiele, wo mal beide das gleiche Ergebnis liefern, aber im Normalfall liefern sie unterschiedliche Ergebnisse, und nur das Ergebnis des harmonischen Mittels ist richtig. Ja, dann fehlt ja wohl noch ein Mittelwert, und zwar das geometrische Mittel. Hier steht noch mal die Formel für das gewichtete geometrische Mittel. Es ist also das Produkt aller Beobachtungswerte exponenziert mit ihrem Gewicht, und das Ganze noch mal exponenziert mit 1 durch der Summe aller Gewichte. Sieht jetzt vielleicht etwas komisch aus, aber wir bringen da Leben rein. Wir haben also folgende Zahlen, sagen wir für das Bevölkerungswachstum eines Landes. Im ersten Jahr bis zum dritten Jahr gab es jeweils ein Bevölkerungswachstum von 10 %, dann vom dritten bis zum siebenten Jahr nur noch 9 %, und vom siebenten bis zum zehnten Jahr dann nur noch ein Bevölkerungswachstum von 3 %. Wir können jetzt hieraus also die Gewichtungen ausrechnen, wi: So, 1. bis 3. Jahr, also 3 Jahre, wi ist also 3; 3. bis 7. Jahr 4 Jahre, wi 4 und 7. bis 10. Jahr wieder 3 Jahre. Das macht eine Summe aller wi von 10. O.k., jetzt können wir also ganz locker unser geometrisches Mittel ausrechnen. G gleich ... das hier ist ja ein Produktzeichen, das heißt wir müssen irgendwas miteinander multiplizieren, so, und zwar was? Die Beobachtungswerte hoch ihrem Gewicht, also 10 %, macht also einen Wert von 1,1. Nicht 0,1, denn wenn wir 0,13 rechnen würden, würde es ja immer kleiner werden. Wir würden ja bei 10 % starten , und dann hätten wir 1 % und 0,1 %. Also müssen wir immer eine 1 davor schreiben, damit es auch tatsächlich ein Wachstum ist, also 1,1 hoch seines Gewichts, hier 3, also 1,13 × 9 %, 1,094 × 3 %, 1,033. So, und das Ganze, machen wir auch mal eine eckige Klammer darum, soll man jetzt noch mal hoch nehmen mit 1 durch die Summe aller Gewichte, also ^1/10. Wir erinnern uns jetzt mal an, sagen wir mal, Schulmathe, und das da bedeutete immer: hoch ein Bruch ... man könnte quasi auch eine Wurzel hinschreiben. Das machen wir einfach mal, dann sieht es vielleicht übersichtlicher aus. Wir haben also eine Wurzel, und nicht irgendeine Wurzel, sondern, wie wir hier sehen, die 10. Wurzel von 1,13×1,094×1,033. Und wenn man das jetzt ausrechnet, ich würde mal sagen: in den Taschenrechner eintippt, weil das kann wohl keiner mehr im Kopf rechnen, bekommen wir ein geometrisches Mittel von 1,075; ungefähr, also das ist jetzt gerundet. Sagen wir mal, es war jetzt in der Frage nach dem durchschnittlichen Bevölkerungswachstum gefragt, dann können wir nicht einfach sagen: O.k., unser geometrisches Mittel ist 1,075, sondern dann müssen wir es natürlich auch noch interpretieren. Und wir sagen also unser durchschnittliches Bevölkerungswachstum – ich kürze da mal ein bisschen ab – ist also 7,5 %. Ungefähr, machen wir noch mal hier so geschwungene Gleichheitszeichen davor. Wir haben also ein ungefähres durchschnittliches Bevölkerungswachstum von 7,5 %. So, das war auch schon die Übung zum arithmetischen, harmonischen und geometrischen Mittel. Ich hoffe, diese Mittelwerte machen Euch jetzt keine Probleme mehr. Ich freue mich, wenn ihr beim nächsten Mal auch wieder zuschaut, und sage tschüss!

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6 Kommentare
  1. Felix

    @Elif Sarisoy: Die Summe der absoluten Häufigkeiten h_i beträgt n. Die Summe der m_i ist im Allgemeinen nicht n. Zur Frage des geometrischen Mittels: Betrachten wir das Beispiel aus Video 14 mit einer Rendite von 7% für zwei Jahre, 10% für drei Jahre und 8% für fünf Jahre. Das geometrische Mittel kann man gewichtet mit (1,07^2*1,1^3*1,08^5)^(1/10) oder normal als 1,07*1,07*1,1*1,1*1,1*1,08*1,08*1,08*1,08*1,08 berechnen. Es bietet sich an, das gewichtete geometrische Mittel anzuwenden, wenn die Gewichte in der Aufgabe (hier: die Anzahl der Jahre) vorgegeben sind. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor 7 Monaten
  2. Default

    Hi, ich habe noch eine Frage. Was ist der Unterschied zwischen dem gewichteten geometrischen Mittel und dem Normalen? Wann kommt, welche zur Anwendung. Leider hast du nur zwei Beispiele (Video 14 und Video 15) mit dem gewichteten geometrischen Mittel gemacht.

    Von Elif Sarisoy, vor 7 Monaten
  3. Default

    Hallo, das Video ist widersprüchlich, so dass ich ehrlich gesagt durcheinander gekommen bin. Es geht um das ersten Beispiel, Berechnung des arithmetischen Mittels bei gruppierten Daten. In dem 13. Video hast du erklärt, dass die Summe von h i gleich n ist und in diesem Video sagst du aber dass die Summe von m i gleich n ist. Ich bitte dringend um Aufklärung. Vielen Dank!

    Von Elif Sarisoy, vor 7 Monaten
  4. Default

    Hallo Jonas.Danke dir sehr für so schnell und verständlich gegebene Antwort.jetzt versteht ich es schon :)

    Von Vollebolle, vor fast 5 Jahren
  5. Default

    Es ist ganz einfach. Die Gewichtung entnimmt man der Aufgabenstellung. Am einfachsten ist es wenn man die jeweiligen Zeiträume als Gewichtung (hier 3 Jahre für 10%, 4 Jahre für 9% und nochmal 3 Jahre für 3%) nimmt. Da das Produkt nochmal hoch 1/ die Summe aller Gewichtungen geteilt wird, könnte man auch andere Gewichtungen nehmen, solange das Verhältnis gleichbleibt.

    Vorstellbar wären beispielsweise die Gewichtungen direkt in ein Verhältnis mit dem Gesamtzeitraum zu setzen (also 0,3= 3 Jahre/ 10 Jahre für 10%, 0,4= 4Jahre / 10 Jahre für 9% und wieder 0,3 für 3%), was in der Endformel für das Geometrische Mittel die zehnte Wurzel ersparen würde (da jetzt die Summe über alle Gewichtungen =1 wäre). Ein anderes Ergebnis bekommt man dadurch nicht.

    Von Statistik Jona, vor fast 5 Jahren
  1. Default

    Hallo Jonas.Wie bestimmt man genau die Gewichtungen in deinem Beispiel mit dem Geometrischen Mittel?

    Von Vollebolle, vor fast 5 Jahren
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