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Transkript Statistik - Video 14: Harmonisches und geometrisches Mittel

Guten Tag! Schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Nachdem wir im letzten Video bereits das arithmetische Mittel in all seinen Formen ausführlich behandelt haben, gucken wir uns heute noch 2 weitere Mittelwerte an, und zwar, wie schon angeguckt das harmonische Mittel und das geometrische Mittel. Das harmonische Mittel sieht wieder erst mal etwas seltsam aus. Das harmonische Mittel wird mit H bezeichnet. Es ist n, also der Stichprobenumfang, geteilt durch die Summe aller Kehrwerte der Beobachtungen. Nun fragt man sich natürlich. Wofür braucht man so einen Mittelwert? Das hat ganz bestimmte Gründe. Es gibt nämlich Beispiele, wo man, wenn man den Mittelwert bestimmen will, nicht das arithmetische Mittel benutzen darf, weil Dieses falsche Ergebnisse liefert, sondern das harmonische Mittel benutzen muss. Ich werde euch gleich zeigen, wo so etwas der Fall ist. Natürlich gibt es das harmonische Mittel, wie so ziemlich jeden Mittelwert, auch noch in der gewichteten Version. Da ist dann, wie üblich, wird dann nicht mit n, dem Stichprobenumfang gerechnet, sonder mit wi, also allen Gewichten. Das heißt, das gewichtete harmonische Mittel ist also die Summe aller Gewichte geteilt durch die Summe des jeweiligen Gewichts geteilt durch den Beobachtungswert. Sieht jetzt sehr komisch aus. Ihr wisst alle jetzt noch nicht wofür ist das nütze, wofür braucht man das, aber jetzt kommt das Beispiel, was alles klarmachen sollte.  So, wir fahren also mit einem Auto und wollen jetzt die durchschnittliche Geschwindigkeit wissen. Wir fahren 30 min. mit 60 km/h und 30 min. mit 120 km/h. Wir gucken also, wir berechnen unser x-Quer, das arithmetische Mittel, und zwar: (1/?(wi))×?(wi×xi). Natürlich die Summe von 1 bis n. Hier auch, i von 1 bis n. So, was bedeutet das? Die Summe wi, wi ist ja unsere Gewichtung, 30 km/h. Also 1/60, 1 durch 60 min., mal (30×60), 30 min. fahre ich mit 60 km/h, +30×120). Wenn wir das jetzt ausrechnen, kommen auf eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 90 km/h. Sieht gut aus, ist auch richtig. Ich habe das Beispiel jetzt mal ein bisschen verändert. Wir geben jetzt nicht mehr die Zeit an, sondern die Anzahl der Kilometer, die gefahren werden, und fahren also 60 km mit 60 km/h und 60 km mit 120 km/h. Rechnen wir wieder das arithmetische Mittel aus. x-Quer, also Gewichtung mal Beobachtungswert. Wir haben also (60km×60km/h+60km×120km/h)/120. Wir kommen also wiederum auf 90 km/h, wenn wir das alles mal durchrechnen. Ist das richtig? Nein, das ist falsch. Falsche Antwort. 90 km/h ist nicht unsere Durchschnittsgeschwindigkeit. Wie bekommen wir jetzt unsere Durchschnittsgeschwindigkeit? Erraten, wir nehmen das harmonische Mittel. Rechnen also H. Was brauchen wir dazu? Oben steht die Summe von i=1 bis n, meiner Gewichtung, geteilt durch, wiederum die Summe von i=1 bis n, die Gewichtung geteilt durch mein xi. Was bedeutet das also? Wir haben die Summe der Gewichtung, also haben wir 60km+60km geteilt durch, jeweils wieder die Gewichtung, 60/60+60/120. Wenn wir jetzt weiterrechnen, kommen wir auf 120 geteilt durch 60/60, 1, +60/120, 0,5, also 120/1,5 und landen also bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h. Das ist das richtige Ergebnis. Wie weiß ich jetzt welches ich, wann benutzen muss? Es gibt 2 Möglichkeiten. Entweder man schaut sich das an und überlegt ein bisschen oder, wenn man zu faul ist, zum überlegen, merkt man sich eine Faustregel. Wenn die Angabe, die gemacht wird, 60 km, in der Einheit des Zählers ist, 60km/h, Kilometer, hier der Zähler, nehme ich das harmonische Mittel. Wenn die Angabe, die gemacht wird in der Einheit des Nenners ist, dann nehme ich das arithmetische Mittel. Wie vorher, da war unsere Einheit, die gegeben war, Zeit, hier also der Nenner, also das arithmetische Mittel. Kommen wir also zum dritten und letzten Mittelwert dieses Videos: das geometrische Mittel. Das geometrische Mittel wird immer benutzt, wenn einzelne Daten nicht aufaddiert werden, sondern multipliziert werden. Die Formel dafür ist die n-te Wurzel der Multiplikation aller Beobachtungswerte oder anders geschrieben: die Multiplikation hier, das Produktzeichen, wird benutzt wie das Summenzeichen, xi1/n. 1/n ist gleichbedeutend mit der n-ten Wurzel. Das Ganze gibt es natürlich auch gewichtet. Das wäre dann wieder das Produktzeichen, das Produkt der einzelnen Beobachtungswerte wieder hoch 1 durch die Summe aller Gewichte. Wenn wir jetzt also sagen, das wird gerade den Wirtschaftswissenschaftlern sehr bekannt vorkommen. Die Gewichte wären Jahre und wir hätten also, sagen wir mal Renditen, könnte man also sagen, hier 1,1 für 10 % Rendite hoch 3 Jahre, weil es das 3 Jahre in Folge gibt und dann würde man hier halt durch die Gesamtanzahl der Jahre teilen. Ich zeige euch das Ganze noch mal in einem Beispiel, damit auch das wieder klarer wird. Und in dem Beispiel gucken wir uns jetzt, wie gerade schon angedeutet, Renditen an. Es gibt also 2 Jahre lang, 7 % Rendite, also Zinsen, 3 Jahre lang 10 % und 5 Jahre lang 8 %. Wir benutzen diese Formel, um unser geometrisches Mittel auszurechnen. Das Produkt der Beobachtungswerte hoch ihrer Gewichtung und das ganze noch mal hoch 1 durch die Summe aller Gewichte. Das Produkt der Beobachtungswerte hoch ihrer Gewichtung und das ganze noch mal hoch 1 durch die Summe aller Gewichte. 2+3+5. Also 1/235. So, das macht also insgesamt die 10. Wurzel, denn hoch 1/10 ist nichts anderes als die 10. Wurzel von 1,072×1,13×1,085. So, wenn wir das jetzt in den Taschenrechner einrechnen, weil ich denke, im Kopf keiner von uns die 10. Wurzel ziehen, bekommen wir unser geometrisches Mittel von 1,084. Was bedeutet das? Das ist ja ein Durchschnittswert. Das bedeutet, dass, wenn wir 10 Jahre lang jeweils eine Rendite von 8,4 % bekommen hätten, hätten wir am Ende das Gleiche, wie in diesem Fall, wenn wir 2 Jahre lang 7 %, 3 Jahre 10 % und 5 Jahre lang 8 % bekommen. Das ist also der durchschnittliche Zinssatz, den wir bekommen, beziehungsweise der Zinssatz, mit dem wir über den gleichen Zeitraum das Gleiche bekommen hätten. Ja, das waren alle Mittelwerte. Es gibt im nächsten Video noch einmal eine Übung zum arithmetischen Mittel, zum harmonischen Mittel und auch zum geometrischen Mittel. Ich bedanke mich wie immer für das Zuschauen, wünsche viel Spaß mit den verschiedenen Mittelwerten und sage: tschüss!

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5 Kommentare
  1. Default

    Mir stellt sich die Frage wann ich das Geometrische Mittel anwenden sollte, im Gegensatz zum arithmetischen Mittel ?

    Von Fabian 10, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Leider hängt das Video bei 9:27

    Von Chandke, vor etwa 3 Jahren
  3. Default

    1/60 ist hierbei die Summe der Gewichtungen. Als Gewichte dienen hier die einzelnen Zeiten, die im jeweiligen Tempo gefahren wird. also 30min (w1) wurde 60km/h gefahren und 30min (w2) 120km/h. Die Summe aus beiden ist 60min. 1/Summe wi =1/(w1+w2) = 1/(30min+30min) = 1/60min

    Hoffe ich konnte helfen.

    Von Statistik Jona, vor fast 5 Jahren
  4. Default

    Warum ist die Gewichtung im ersten Beispiel 60. Verstehe den Rest aber diese Sache mit dem gewichteten arithmetischen Mittel verstehe ich einfach nicht. lg Daniel

    Von Anotherbrick000, vor fast 5 Jahren
  5. Default

    Im ersten Beispiel sollte genauer erwähnt werden warum wir jetzt das arithmetische Mittel (gewichtet) ausrechnen und hier nicht gleich mit dem harmonischen Mittel weitermachen !

    Von Maxus, vor etwa 5 Jahren