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Transkript Statistik Video 107 - Geometrische Verteilung Übung

Hallo! Schön, dass ihr alle wieder zuguckt. Wir sind heute bei unserer Übung zur geometrischen Verteilung. Ich habe mir ein kleines Beispiel überlegt. Wir haben zwei Personen, Anton und Paul. Sie streiten sich um irgendetwas. Um ihren Streit zu lösen, spielen sie, wie man das so macht, Schnick Schnack Schnuck. Ich hoffe ihr kennt das alles, wir spielen das in der klassischen Variante mit Papier, Stein und Schere. Wir wollen nachher fragen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sie, sagen wir, 4 Versuche brauchen, bis sie endlich einen Gewinner haben. Sie machen also so lange weiter bis einer von ihnen gewinnt, also bis sie kein Unentschieden mehr haben. Das ist unser Erfolg. Unser Misserfolg ist: sie haben ein Unentschieden. Wir brauchen natürlich als Erstes unsere Wahrscheinlichkeit: die Misserfolgswahrscheinlichkeit und unsere Erfolgswahrscheinlichkeit. Gucken wir uns das Ganze also mal an. Papier schlägt, wie wir alle wissen, Stein. Das male ich mal in Rot auf. Und: Papier wird, wie wir alle wissen, von der Schere geschlagen. Das ist Blau. Also haben wir hier: Papier schlägt Stein, und Schere schlägt Papier. Stein schlägt Schere und wird hier von Papier geschlagen. Und die Schere schlägt das Papier und wird vom Stein geschlagen. Wir haben also hier insgesamt 6 Pfeile; 6 Beziehungen die einen klaren Sieger ergeben, die also kein Unentschieden haben. Die Frage ist: wie viele haben wir, die ein Unentschieden ergeben? Naja, Papier und Papier, Stein und Stein, und Schere und Schere ergeben ein Unentschieden. Das heißt wir haben insgesamt 9 mögliche Kombinationen. 3 davon ergeben ein Unentschieden, und 6 davon ergeben kein Unentschieden. Das heißt: in 6 von 9 Fällen haben wir einen Gewinner, und in 3 von 9 Fällen haben wir keinen Gewinner; müssen also weitermachen. Wir definieren jetzt unsere Zufallsvariable X: Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg. X ist geometrisch verteilt mit der Erfolgswahrscheinlichkeit π. Wir haben jetzt Erfolg definiert; wir haben kein Unentschieden. Das heißt wir haben endlich einen Sieger und Anton und Paul haben ihr Problem gelöst, was auch immer das Problem sein mag. Also π, Erfolgswahrscheinlichkeit, ⅔. Nachdem wir das jetzt also rausgefunden haben, können wir anfangen, mit der geometrischen Verteilung zu rechnen. Als Erstes, wie ihr es gewohnt seid, Erwartungswert und Varianz.   Wir haben jetzt also unsere Zufallsvariable X. Die ist definiert als Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg. X ist damit, wie ihr seht, klassisch geometrisch verteilt mit einem π von ⅔, also eine Erfolgswahrscheinlichkeit von ⅔. In 2 von 3 Fällen haben wir kein Unentschieden wenn wir Schnick Schnack Schnuck spielen. Den Erwartungswert von X haben wir ja bereits im letzten Video hergeleitet. Der war 1/π; also in diesem Fall 1/(⅔). Im Prinzip also der Kehrwert von ⅔. Das macht 1,5. Der Erwartungswert von X ist also 1,5. Wir erwarten, dass wir nach anderthalb Spielen einen Erfolg haben. Das ist natürlich nicht umsetzbar, aber wir haben ja schon sehr oft festgestellt, dass ein Erwartungswert nicht unbedingt eine der Realisationsmöglichkeiten sein muss.   Die Varianz von X: das war also (1/(π2))-(1/π). So war sie definiert. Das heißt der Kehrwert von π2 minus der Kehrwert von π. Der Kehrwert von π2 wäre 9/4-3/2. Wenn wir das erweitern sehen wir, dass es 9/4-6/4 sind. Das heißt wir sind bei ¾. Also haben wir eine Varianz von 0,75. Daraus könnte man jetzt natürlich noch die Standardabweichung berechnen, wenn man die Wurzel zieht. Kann man machen, muss man aber nicht. Wir haben jetzt also den Erwartungswert und die Varianz berechnet. Berechnen wir doch - endlich, endlich – Wahrscheinlichkeit.   Wir wollen uns also 3 Fälle angucken. Zuerst einmal die Wahrscheinlichkeit, dass unser x sich zu einem Wert von 3 realisiert. Was bedeutet das in der Praxis? Die Wahrscheinlichkeit, dass wir im dritten Versuch einen Erfolg haben. Wir erinnern uns an die allgemeine Formel für die geometrische Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit dass sich Groß X zu einem Wert Klein x realisiert war (1-π)x-1×π. Das heißt Misserfolgswahrscheinlichkeit hoch x-1 mal Erfolgswahrscheinlichkeit. Wer sich nicht mehr sicher ist, wie wir auf diese Formel gekommen sind, sollte sich vielleicht nochmal das erste Video zur geometrischen Verteilung angucken, wo wir diese Formel relativ ausführlich hergeleitet haben. Also: Misserfolgswahrscheinlichkeit hoch x-1 mal Erfolgswahrscheinlichkeit. Wir haben hier unser π. Das heißt wir haben (1-⅔)x-1: also hoch 3-1; mal Erfolgswahrscheinlichkeit π: also ×⅔. 1-⅔ ist offensichtlich ⅓. 3-1 ist 2; mal ⅔. Also haben wir ⅓ hoch 2, das macht 1/9. 1/9×⅔ macht 2/27. Oder auch ungefähr 0,074. Also etwas mehr als 7 Prozent. Die Wahrscheinlichkeit, genau im dritten Versuch den ersten Erfolg zu haben liegt bei ungefähr 7 Prozent. Gut, das war der einfache Fall. Machen wir doch mit einem etwas Komplexeren weiter.   Unsere Aufgabe B. Die Wahrscheinlichkeit, dass X sich zu einem Wert größer als 4 realisiert; also die Wahrscheinlichkeit, dass wir in den ersten 4 Versuchen keinen einzigen Erfolg haben. Das heißt: alles was wir machen müssen ist im Prinzip, 4 mal hintereinander Misserfolge zu haben. Das schlägt sich dann so wieder. Wir erinnern uns auch hier an die allgemeine Formel.  Die Wahrscheinlichkeit dass sich unsere Zufallsvariable X zu einem Wert größer x realisiert sei (1-π)x, also Misserfolgswahrscheinlichkeit hoch x. Wir fragen ja nach einem Wert größer als x, in unserem Fall 4. Das heißt in den ersten 4 Versuchen haben wir 4 Misserfolge. Deshalb Misserfolgswahrscheinlichkeit hoch 4, also (1-⅔)4. Macht also (⅓)4, und das sind gerundet 0,012. Also nur etwas über 1 Prozent. Das ist die Wahrscheinlichkeit dass wir mehr als 4 Versuche brauchen, um beim Schnick Schnack Schnuck ein Ergebnis zu bekommen.   Und schließlich C. Die Wahrscheinlichkeit dass X sich zu einem Wert ≤ 3 realisiert. Das heißt, dass wir maximal 3 Versuche brauchen um einen Gewinner zu ermitteln. Auch hier hatten wir den Zusammenhang F(x), also unsere Verteilungsfunktion von unserem Wert X. Beziehungsweise 1 minus die Verteilungsfunktion unseres Wertes X ist gleich P(X>x). Das war unser allgemeiner Zusammenhang, was bedeutet: F(x)=1-(1-π)x. Im Prinzip nehmen wir die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse und ziehen alles ab wofür wir mehr als x Versuche brauchen. Wir haben hier also 1-(1-⅔)x, x ist in diesem Fall 3. Das heißt 1-(⅓)3. Und das macht also 1-1/27, also 26/27, oder ungefähr 0,96. Also ungefähr 96 Prozent. In ungefähr 96 Prozent der Fälle haben wir nach maximal 3 Versuchen einen Gewinner.   Das war auch schon das Übungsvideo zur geometrischen Verteilung. Ich hoffe ihr habt soweit Alles verstanden. Das nächste Mal gibt es eine neue Verteilung. Ich sage dann auch bis zum nächsten Mal und Tschüss.

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2 Kommentare
  1. Default

    Verwechselt wurde das nicht. Das ist einfach eine Konventionsfrage. Generell ist es egal, wie man es bezeichnet, einige nennen es p, andere bezeichnen es als pi. Ich habe es mit der Bezeichnung pi kennen gelernt und daher arbeite ich auch weiterhin mit dieser Bezeichnung.

    Von Statistik Jona, vor mehr als 4 Jahren
  2. Default

    Kann es sein, dass in diesem Video pi und p verwechselt wurden?

    Von Vrielmann, vor mehr als 4 Jahren