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Transkript Statistik Video 103 - Poissonverteilung II

Hallo, schön, dass Ihr heute alle wieder zuschaut. Wir sind heute bei unserem zweiten Video zur Poissonverteilung. Ja, wir haben bereits angekündigt, dass wir uns die Voraussetzung der Poissonverteilung einmal sehr genau anschauen wollen. Aber bevor wir das machen, möchte ich Euch noch eine Eigenschaft der Poissonverteilung zeigen, nämlich die Additivität. Wir haben zwei Zufallsvariablen, x und y und wir sagen, beide seien poissonverteilt. Aber mit unterschiedlichen Lambdas. X ist poissonverteilt mit Lambda 1, y ist poissonverteilt mit Lambda 2. Dann können wir sagen, die Zufallsvariable x+y ist wieder poissonverteilt mit Lambda 1 + Lambda 2. Das setzt voraus, dass x und y voneinander unabhängig sind. Das ist auch, eine sehr praktische Eigenschaft der Poissonverteilung, die man durchaus auch mal braucht. So, wir schauen uns jetzt aber nacheinander die 3 Voraussetzungen für die Poissonverteilung an. O. k., wie gesagt, damit wir davon sprechen können, dass eine Zufallsvariable poissonverteilt ist, muss sie 3 Voraussetzungen erfüllen. Die Erste ist die Stationarität. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von x Erfolgen im Intervall t; t+Delta t hängt nicht von der Lage, sondern nur von der Länge Delta t ab. Was bedeutet das? Das bedeutet, dass es völlig egal ist, welchen Zeitraum ich betrachte. Das Einzige, was von Interesse ist, ist, wie lange der Zeitraum ist. Also stellen wir uns mal folgendes Beispiel vor. Wir fahren U-Bahn in Berlin. So, und die U-Bahn kommen völlig unregelmäßig. Aber wir wissen, dass im Schnitt 5 pro Stunde kommen, und zwar rund um die Uhr. Also, wir malen hier mal einen Zeitstrahl auf. So, hier wäre 0 Uhr und hier wäre 23 Uhr 59. Wir wollen jetzt also die Wahrscheinlichkeit dafür betrachten, dass in 1 Stunde genau 2 U-Bahnen kommen. An dem Bahnsteig, wo wir gerade stehen. Wir wissen, Lambda sei 5. Pro Stunde kommen im Schnitt 5 U-Bahnen und damit die Voraussetzung der Stationarität eintrifft, muss es jetzt völlig uninteressant sein, ob ich hier 1 Stunde beobachte oder hier oder hier. Hauptsache, ich betrachte immer 1 Stunde. Das heißt die Wahrscheinlichkeit für P(x=2) darf nicht davon abhängen, wann ich eine Stunde betrachte, sondern nur, welchen Zeitraum ich tatsächlich betrachte. Dass die Wahrscheinlichkeit, dass ich 2 Erfolge habe in einer ½ Stunde, natürlich geringer ist, als in 1 Stunde, ist klar. Das sagt halt, es darf nicht von der Lage abhängen, also wann ich meine Erfolge beobachte, sondern nur von der, von mir gewählten Länge. Ich könnte hier auch sagen. O. k., ich weiß im Schnitt kommen 5 U-Bahnen pro Stunde und ich möchte die Wahrscheinlichkeit wissen, dass in 6 Stunden genau 2 U-Bahnen gekommen sind. Das würde natürlich mein Lambda verändern. In 6 Stunden wäre mein Lambda nicht mehr 5, sondern 5×6 also 30. Weil im Schnitt in 6 Stunden 30 U-Bahnen kommen würden. Das sagt die Stationarität, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von x Erfolgen, darf nicht von der Lage abhängen, sondern nur von der Länge, des von mir beobachteten Intervalls. Das ist die erste Voraussetzung. O. k., die 2. Voraussetzung, die gegeben sein muss, ist die Nachwirkungsfreiheit. Die besagt, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von x erfolgt im Intervall, hängt nicht von der Anzahl der Erfolge vorher, also vor Beginn des Intervalls, ab. Wie muss man sich das vorstellen? O. k., wir sagen wir spielen Roulette. So, und wir hatten bisher 49-mal gedreht und wir hatten 49-mal rot. Was ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass auch im 50 Versuch rot kommt? Manche würden sagen, jetzt war doch 49-mal rot. Jetzt muss doch endlich mal schwarz kommen. Das ist natürlich völliger Unsinn. Die Wahrscheinlichkeit, für x=rot im 50. Versuch. Also die Wahrscheinlichkeit, dass noch mal rot kommt, ist auch im 50. Versuch, genauso wie vorher, ½. Wenn wir jetzt die grüne 0 beim Roulette außer Acht lassen, sagen wir o.k. rot hat ½, schwarz hat ½. Das heißt, der Kugel ist es auch im 50. Versuch völlig egal, was in den 49 Versuchen davor gefallen ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Mal rot kommt, ist genau wieder ½. Und das ist im Prinzip die Aussage der Nachwirkungsfreiheit. Die Anzahl der Erfolge im von mir beobachteten Intervall ist völlig losgelöst von der Anzahl der Erfolge, die vorher eingetreten sind. Also, wenn ich vorher 49-mal rot hatte, ändert es nicht die Wahrscheinlichkeit für den 50. Versuch. Das kommt im Prinzip daher, die Poissonverteilung leitet sich ja aus der Binominalverteilung ab. Und in der Binominalverteilung hatten wir ja n unabhängige Versuche. Und deshalb herrscht hier auch die Nachwirkungsfreiheit. Das ist also immer im Prinzip unabhängig von dem Vorhergehenden. Ja das war Voraussetzung Nummer 3. Eine kommt noch. Schließlich die 3. und letzte Voraussetzung der Poissonverteilung, die Ordinarität. Der Grenzwert, wenn unser Delta t, also die Länge des beobachteten Intervalls, gegen 0 geht, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser x sich zu einem Wert > 1 realisiert ÷ durch die Länge des Intervalls = 0. Was bedeutet das? Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass in einem beliebig kleinen Intervall mehr als 1 Erfolg auftritt =0 ist. Oder anders ausgedrückt, ich kann bei der Poissonverteilung immer mein Intervall so klein definieren, beliebig klein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 1 Erfolg zu haben = 0 ist, in diesem beliebig kleinen Intervall. Das ist der Grund, warum die Poissonverteilung, Verteilung der seltenen Ereignisse genannt wird. Weil ich quasi einzelne Erfolge oder die Wahrscheinlichkeit für einzelne Erfolge isolieren kann. Ich kann die Intervalle so klein definieren, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 1 Erfolg auftritt quasi 0 ist. Also bei dem Beispiel vom Bäcker,  beim letzten Mal, wäre zum Beispiel, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 1 Minute mehr als 1 Kunde kommt. Wäre wahrscheinlich schon annähernd 0, bei einer erwarteten Kundenzahl pro Stunde von 5.  Also ich kann meine Intervalle so klein definieren, dass die Wahrscheinlichkeit für alles >1 quasi 0 ist, oder =0. So, das war jetzt ein sehr hartes Theorievideo zur Poissonverteilung. Wir haben im Prinzip nur über Eigenschaften und Voraussetzungen der Poissonverteilung geredet. Nichtsdestotrotz sehr wichtig, denn die Poissonverteilung ist eine überaus beliebte Verteilung. Aber, wie Ihr seht, sie ist auch wirklich sehr, sehr eingeschränkt, weil viele Voraussetzungen gegeben sein müssen. Hat man diese Voraussetzungen, kann man sagen, o. k. x ist poissonverteilt. Dann kann man eigentlich nichts mehr falsch machen. Weil die Poissonverteilung wirklich so einfach zu berechnen ist und wirklich auch auf so viele Anwendungsbereiche angewandt werden kann. So, wie gewohnt schauen wir uns das Ganze im nächsten Video noch mal in einer Übung an, damit Ihr auch wirklich wisst, wie man mit der Poissonverteilung welche Fragestellung lösen kann. Ich bedanke mich für das Zuschauen dieses Videos, sage bis zum nächsten Mal und tschüss.    

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