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Transkript Statistik II - Video 9: Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Übung 1

Herzlich willkommen an alle wissbegierigen Zuschauern. Wir starten heute in die Reihe der Übungen zu unserem ersten Kapitel: spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Wenn ihr die Videos aufmerksam verfolgt habt, habt ihr bestimmt einen guten Überblick, was die Theorie angeht und in den nächsten Videos soll das theoretische Wissen durch ein wenig Praxis ergänzt werden. Wir starten also los mit unserer ersten Übungsaufgabe 1.1. Ein ähnliches Beispiel kam schon im Video drin vor. Worum geht es hier? Wir haben hier zunächst noch mal die Formel gegeben. Kommt vielleicht einigen schon bekannt vor. Genau, wir haben hier die Zufallsvariable x, hier die Zufallsvariable z und hier einige Transformationen der Werte x1 und x2. Genau, es geht hier um die Standardisierung. Also die normal verteilte Zufallsvariable x, das entnehmen wir dem hier, x also normal verteilt mit den Parametern 4 und 9, Erwartungswert und Varianz. Also hier habe ich euch noch mal die Formel notiert, damit ihr jetzt nicht irgendwie im Video rumblättern müsst. Wobei ich hoffe, ihr habt euch die wichtigsten Sachen auch bereits notiert. Das heißt, wir haben hier folgende Aufgabenstellung gegeben. Die Formel, die Verteilung der Zufallsvariable x und hier ist die Aufgabenstellung. Gesucht ist P, die Wahrscheinlichkeit, für das Intervall -2≤x≤10. Also wir suchen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass x innerhalb des Intervalls 2 und 10 liegt.  So, dann starten wir mal durch. Wie beginnen wir? Wir sehen in der Formel, was wir für Werte noch brauchen. x1 ist unser -2, x2 ist unser 10. Was uns fehlt, sind μ und σ, also unser Erwartungswert wie Standardabweichung σ. Wie bekommen wir diese Werte nun? Das können wir ganz einfach hier diesen Angaben entnehmen. Daraus folgt nämlich, dass unser μ=4 und 9 ist unser σ2 und daraus folgt wiederum, dass σ=3. Also unsere Standardabweichung 3. Das heißt, wie legen wir hier los? Wir setzten jetzt quasi ein. Wir haben die Grenzen x1-μ, also -2μ-4 geteilt durch σ, 3. Jetzt haben wir unsere erste Grenze transformiert. Das ist ≤, mittlerweile eben nicht mehr Zufallsvariable x, sondern durch die Transformierung der Intervallgrenzen hat sich auch unsere Zufallsvariable geändert. Sprich wir haben jetzt hier bereits Z als standardnormal verteilte Zufallsvariable. Gut, die zweite Grenze x2-μ, das entspricht 10-4/3. Was ergibt das nun? Wir haben also P(-6/3≤Z≤6/3). Das entspricht so gesehen der Wahrscheinlichkeit dafür, dass Z zwischen -2 und 2 liegt. Gut, das ist erst mal die Rechnung bis hier hin. Was bedeutet das jetzt im Einzelnen? Ich versuche euch das Ganze graphisch noch mal ein bisschen hier näher zu bringen. Dafür habe ich hier schon mal etwas vorbereitet. Also, wir sehen hier eine Glockenfunktion, eine standardnormal verteilte Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wie wir wissen, ist das hier die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung. Was haben wir hier? Nehmen wir beispielsweise, hier haben wir unser -2 und hier unsere 2, wir können unsere Grenzen ziehen. Und letzten Endes ist also die Wahrscheinlichkeit gesucht dafür, dass dieses Z innerhalb dieses Bereichs liegt. Also die Wahrscheinlichkeit für diesen Bereich suchen wir. Wir kennen die Eigenschaft der Dichtefunktion. Wenn wir die Wahrscheinlichkeit dafür suchen, dass Z hier in diesem Intervall liegt, brauchen wir diese Fläche unterhalb der Dichtefunktion und das entspricht der Wahrscheinlichkeit, die hier gesucht ist. Gut, wie bekommen wir die? Zunächst durch Differenzenbildung. D. h. wir wissen, wegen diesem Tabellenwert, den wir zur Standardnormalverteilung haben, haben wir die Werte für 2 beispielsweise gegeben. Für Z=2 haben wir einen Wert, den werden wir hier gleichbehandeln. Dieser Wert ist der Wert der Verteilungsfunktion, sprich er entspricht der Wahrscheinlichkeit von minus unendlich bis 2. Das ist die Bedeutung des Wertes, den wir aus der Standardnormalverteilungstabelle entnehmen können, sprich von minus unendlich bis 2. Ein Wert explizit für 2 haben wir nicht, doch schauen wir uns das Ganze mal ein bisschen näher an. Wenn wir jetzt den Wert von -2 haben wollen - also geschickter wäre es, wenn wir das Ganze, was wir hier haben, von minus unendlich bis 2 - minus unendlich bis -2 nehmen würden. Dann hätten wir nämlich genau diese Fläche hier in der Mitte, das Intervall. Was können wir nun machen, wenn wir nicht den Z-Wert für -2 haben. Wir gehen über das Gegenereignis. Nämlich der Z-Wert von -2, also sprich von minus unendlich bis -2, entspricht genau der gleichen Fläche und damit der gleichen Wahrscheinlichkeit wie von 2 bis plus unendlich. Also daher nehmen wir den Fz-Wert von 2 und ziehen von dem den Fz-Wert von -2 ab. Wie gerade erläutert, können wir den nicht direkt der Tabelle entnehmen. Daher gehen wir über die Gegenwahrscheinlichkeit. Also haben wir Fz(2)-(1-Fz(2)). Das ist unser Rechenschritt, den wir hier nun machen. Die Werte hat man entweder im Kopf, was allerdings selten der Fall ist, oder man benutzt wie besprochen den Tafelwert. Also wir haben hier 0,97725, das ist der Wert für Fz(2), und dann haben wir -(1-0,97725) und das entspricht dann 0,9545, wenn wir die Klammern auflösen. Was heißt das jetzt graphisch? Nun ja, diese rot schraffierte Fläche entspricht einem Flächenanteil von 95,45%, also können wir hier sagen 95,45% entspricht dieser Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls. Also liegt X mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,45% innerhalb des Intervalls von -2 bis 10. Das ist die finale Antwort auf diese Frage. Was wir schon in anderen Fällen zum Signifikanzniveau kennengelernt haben, ist, dass wir ab und zu dann auch noch Fragenstellungen beantworten zu haben bezüglich der Gegenwahrscheinlichkeit. Dazu kommen wir dann später. Hier erst mal war es das von dieser Seite aus. Bei diesem Aufgabenteil berechnen wir jetzt nicht die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Intervall, sondern die Wahrscheinlichkeit dafür, dass x≥7 ist, sprich wir haben eine einseitige Betrachtung der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Das heißt, wie gehen wir hier vor? Wir haben, wie gehabt unsere normal verteilte Zufallsvariable x mit diesen Parametern 4 und 9. Daraus bekommen wir, dass der Erwartungswert gleich 4 und die Standardabweichung gleich 3 ist. Die Formel für die Umformung habt ihr bestimmt noch im Kopf oder gerade notiert. Hier geht es jetzt darum, wenn wir die Wahrscheinlichkeit dafür suchen, dass die Zufallsvariable x einen Wert annimmt, der ≥7 ist, müssen wir diese nun in die Standardnormalverteilung überführen. Das sollten wir jetzt schon ein wenig geübt haben. Wir müssen jetzt so gesehen die Formel anwenden. X, unsere Zufallsvariable, die normal verteilt ist, ist ja jetzt Z und dieses Z soll ≥ dieser neue Grenze sein, die wir hier aufstellen, und die ergibt sich durch (x-μ)/σ, sprich (7-4)/3. Das ist die transformierte Grenze, die wir für diese Aufgabe bekommen. Und dementsprechend bekommen wir eben den Wert Z≥1. Also haben wir das nun überführt, dass die Grenze 7 in der Normalverteilung in der Standardnormalverteilung 1 entspricht für eben diese Parameterauswahl der Zufallsvariable x. Gut, schauen wir uns das Ganze kurz noch mal im Diagramm an. Das heißt, wir suchen die Wahrscheinlichkeit dafür, - wenn wir hier 1 haben - dass Z≥1 ist. Also die rechte Seite, sprich einen Wert zwischen 1 und unendlich annimmt. Gut, dafür gehen wir wieder über die Gegenwahrscheinlichkeit. Wenn wir sagen, wir suchen die Wahrscheinlichkeit hierfür. Was machen wir? Wir wissen, dass der Wert Fz=1 diesem Wert hier entspricht, der Wahrscheinlichkeit von minus unendlich bis 1. Also gehen wir hier über die Gegenwahrscheinlichkeit und suchen dementsprechend den Wert 1-Fz(1). Das heißt, Fz(1) ist von minus unendlich bis 1 und 1- bekommen wir eben diesen Wert hier heraus. Diesen Wert kann man sich wieder in der Tabelle heraussuchen. Das entsprich 1-0,84134, das ist der Wert, den ihr aus der Tabelle bekommt, und die Differenz ergibt sich dann so gesehen als 0,15866. Das die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zunächst Z≥1 ist und zugleich x≥7. Ergibt also die Wahrscheinlichkeit 15,87% mit Rundung, dass x≥7 oder Z≥1 ist.

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2 Kommentare
  1. Img 5225 web

    Hallo Ni Na,
    da gebe ich dir Recht! Je nach Fach und Dozent stehen einem für vergleichbare Aufgabentypen unterschiedliche Materialien, und auch unterschiedlich ausführliche Tabellen, zur Verfügung. Aus der Tabelle ablesen ist immer gut, wenns ermöglicht wird. Wenn die Tabelle nicht detailliert genug ist, bietet es sich an über die Gegenwahrscheinlichkeit zu gehen.
    Beste Grüße und viel Erfolg weiterhin!
    Konrad

    Von Dr. Konrad Hnatow, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Hallo, eine Frage zum Video bei 07:55. Ich kann doch den Wert für -2 ebenfalls aus der Tabelle ablesen. Dieser entspräche 0,023. Somit komme ich auf das gleiche Ergebnis. Wieso machen Sie es mit der "Gegenwahrscheinlichkeit"?

    Von Ni Na, vor fast 4 Jahren