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Textversion des Videos

Transkript Statistik II - Video 41: Test einer Hypothese über die Varianz

Herzlich willkommen zusammen zu einer weiteren Ausgabe von Statistik II. Schön, dass ihr heute wieder dabei seid. Wir kümmern uns heute um einen weiteren Test, und zwar um den Test einer Hypothese über die Varianz. Nun, wir haben bereits kennengelernt, Tests über Hypothesen über den Mittelwert und den Anteilswert, der 3. Test den wir kennenlernen in der Reihe ist eben nun über die Varianz. Bevor ich jetzt anfange mit der groben Struktur, die wir bereits aus den vorigen Videos kennen, zunächst ein Hinweis an dieser Stelle für die Testgröße. Und zwar ist es nämlich problematisch, weil wir können keine Aussage über die Verteilung der Stichprobenvarianz machen, sondern nur über diese Größe hier, über diese Zufallsvariable. Das sollte man sich einfach merken, also nicht wundern, wenn später in unserer Struktur eben nicht, wie wir es bisher kennengelernt haben, als Testgröße die Varianz an sich erscheint, sondern wir sie hier transformiert haben, in diese Größe. Dem ein oder anderen kommt dies hoffentlich schon bekannt vor, denn wir haben die Größe bereits im Video "Stichprobenfunktionen" kennengelernt. Was gilt es hier zu beachten? Nun, die Stichprobenvarianz an sich ergibt sich ja aus einer Summe von standardnormal verteilten Zufallsvariablen und was wissen wir? Nun, eine Zufallsvariable, die sich aus der Summe von standardnormal verteilten Zufallsvariablen ergibt, ist χ2-verteilt, also ist U eine χ2-verteilte Zufallsvariable. Das geschieht aus dem Grund, weil die Verteilung der Grundgesamtheit standardnormal verteilt ist. N-1 ist dabei der Freiheitsgrad für diese Testgröße. Also, so viel als kleine Einführung, mit dem Hinweis, wenn es weitere Unklarheiten bezüglich dieser Größe gibt, sich doch die Videos zu den Stichprobenfunktionen noch anzuschauen. Ansonsten starten wir gleich mit der Struktur unserer Tests. Die Struktur haben wir bereits in den letzten Videos kennengelernt. Wir fangen also an mit der Aufgabenstellung für diese Tests, eine Hypothese über eine Varianz. Die Aufgabenstellung heißt eben so, überprüfen Sie die 0-Hypothese über eine bestimmte Varianz und das Ganze über eine annähernd normal verteilte Grundgesamtheit. Nun, daraus ergeben sich auch gleichermaßen die Voraussetzungen, nämlich 1. muss es tatsächlich eine zumindest annähernd normal verteilte Grundgesamtheit sein, aus der wir die Stichprobe entnehmen und daraus die Schlüsse ziehen. Und wie ich bereits gesagt habe, es muss überhaupt eine Zufallsstichprobe sein. Dann die 0-Hypothesen, auf dem Gebiet sind wir langsam auch schon ein bisschen fit, und zwar unterscheiden wir wieder zwischen einer 2-seitigen 0-Hypothese und einer 1-seitigen 0-Hypothese. Das heißt, einerseits sagen wir bzw. überprüfen wir die Behauptung, dass unsere Varianz aus der Grundgesamtheit einer bestimmten Varianz entspricht. Punkt. Die Varianz soll gleich die ergeben. Das andere Beispiel ist, dass wir eine 1-seitige 0-Hypothese aufstellen, in der wir behaupten, dass die Varianz ≥ einer bestimmten Sache ist oder ≤ einer bestimmten Sache, einer bestimmten vorgegebenen Varianz. Das sind wiederum die 2 Möglichkeiten, 2-seitige 0-Hypothese, 1-seitige 0-Hypothese, bis dahin eigentlich recht vertraut, wie wir es aus den bisherigen Tests von 0-Hypothesen kennengelernt haben. Ja, bei der Testgröße müssen wir, wie ich euch bereits vorgewarnt habe, ein wenig aufpassen. Und zwar, die Testgröße an sich ist weiterhin die Stichprobenfunktion S2, also die Stichprobenvarianz. Allerdings brauchen wir ja für die Annahmekennzahl und damit für die Testentscheidung und damit für die komplette Aufgabe, brauchen wir Aussagen über die Verteilung, die wir annehmen können. Nun, und dafür brauchen wir die transformierte Stichprobenfunktion und wir wissen ja, wenn wir - also die Stichprobenvarianz ergibt sich ja aus der Summe der standardnormal verteilten Zufallsvariablen und damit wissen wir, dass diese Testgröße U×, die wie gesagt im Video "Stichprobenfunktionen" erläutert wird, auf eine Herleitung ist aber auch dort verzichtet, dass diese Stichprobenfunktion, damit diese Testgröße χ2-verteilt ist, mit den Freiheitsgraden n-1. Und genau diese Information brauchen wir, für die Annahmekennzahlen. Das heißt, hier sind erst mal Annahmekennzahlen für die 2-seitige 0-Hypothese, für die 1-seitige kommt das dann gleich, das heißt, für die 2-seitige 0-Hypothese haben wir eine untere Grenze, die sich aus dem Quotienten ergibt, mit dem Zähler σ2× und jetzt × die Zahl, die wir aus dem Tabellenwerk entnehmen, nämlich aus der χ2-Verteilung, mit den Parametern α/2, unsere Irrtumswahrscheinlichkeit, und dem anderen Parameter n-1. Das heißt, σ2× diese Zahl aus der Tabelle, dividiert durch den Stichprobenumfang. Bei der oberen Grenze schaut das Ganze ganz ähnlich aus. Wir haben auch wieder σ2× die Kennzahl, die wir der χ2-Verteilung entnehmen, mit den Parametern 1-(α/2) und n-1, dividiert durch den Stichprobenumfang n. Alles hier noch ein bisschen theoretisch, nicht verzagen, das Übungsvideo findet ihr auch online. Das war es hier für den 2-seitigen Test und gleich kommen die Annahmekennzahlen für den 1-seitigen Test. So, fahren wir fort mit den Annahmekennzahlen, und zwar für die 1-seitige Betrachtung, für den 1-seitigen Hypothesentest. Nun, dem einen oder anderen aufmerksamen Zuschauer wird bereits aufgefallen sein, dass ein kleiner Fehler in der 2-seitigen Betrachtung drin war. Die Struktur der Annahmekennzahl der unteren und oberen Grenze ist ja recht ähnlich wie beim 2-seitigen Fall, was ich vorher vergessen habe, war natürlich, dass es nicht σ2 ist, sondern σ02. Der Unterschied liegt worin? Genau, σ2 ist ja die tatsächliche Varianz der Grundgesamtheit, die ist uns nicht bekannt, und σ02 ist ja die Varianz, die wir überprüfen wollen. Also das ist der Benchmark, wenn wir sagen, die Varianz aus der Produktion ist > oder < 10, dann ist 10 unser σ02. Also bitte ergänzt noch bei der 2-seitigen Betrachtung von gerade eben, dass es σ02 heißen muss und nicht σ2. Ja, ansonsten gibt es hier wenig Unterschied zwischen der 2-seitigen und der 1-seitigen Betrachtung, denn auch hier ergibt sich die untere Grenze wieder aus dem Produkt, also erst mal aus dem Quotienten, aber im Zähler aus dem Produkt σ02× die χ2-verteilte Größe, die wir aus der entsprechenden Tabelle entnehmen können, mit den Parametern α und n-1. Hier α anstatt α/2 wie gerade bei der 2-seitigen Betrachtung, aus dem gleichen Grund wie immer, wir haben den Ablehnungsbereich eben nicht gesplittet in 2 Bereiche, sondern nur einen, in dem die Irrtumswahrscheinlichkeit, wenn man das etwas pauschalisiert so sagen kann, zuhause ist. Nun, co ist das Gleiche, wieder der Quotient, σ02 und diesmal χ2 aus den Parametern 1-α, und zwar 1-, weil wir uns ja von oben nähern, von 1, und der 2. Parameter bleibt wie gehabt n-1 - und das Ganze noch dividiert durch den Stichprobenumfang n. So, das heißt, wenn diese Annahmekennzahlen bekannt sind - also, hier denken wir wieder daran, das ist ein 1-seitiger Test, das heißt, entweder haben wir eine untere Grenze oder wir haben eine obere Grenze. Je nachdem, was wir untersuchen wollen. So, dann kommen wir zur Testentscheidung. Die Testentscheidung fällt wenig überraschend. Ablehnung von H0, von unserer aufgestellten 0-Hypothese, wenn folgender Sachverhalt gegeben ist. Bei 2-seitiger Betrachtung haben wir tatsächlich eine untere und eine obere Grenze gegeben, die müssen wir berechnen, weil wir von 2 Seiten den Test betrachten. Und da ist es so, sobald S2 Und wenig erstaunlich auch die 1-seitige Betrachtung, da gilt wieder das Gleiche, entweder haben wir eine untere Grenze oder eine obere Grenze, und sobald S2 unter der unteren Grenze liegt oder, bei anderer Aufgabenstellung, über der oberen Grenze, ist die 0-Hypothese abzulehnen. Das soll es auch schon wieder gewesen sein für heute. Wir haben uns heute angeschaut, Tests einer 0-Hypothese über eine bestimmte Varianz. Wir haben den entsprechenden Weg kennengelernt, also die Aufgabenstellungen, die Voraussetzungen, und das Ganze ähnelt sehr den bisherigen Tests, die wir uns angeschaut haben. Die kleine Ausnahme, die es bei dem Test einer 0-Hypothese über die Varianz zu beachten gibt, ist die Tatsache, dass wir über die Verteilung der Stichprobenvarianz keine Aussage treffen können, und deswegen müssen wir uns einer entsprechenden Stichprobenfunktion bedienen, die wir im Kapitel "Stichprobenfunktionen" schon kennengelernt haben, also auch in dem Video, und uns heute hier deswegen zunutze machen können. Anwendungsgebiete praktischer Natur werdet ihr im Übungsvideo zu diesem theoretischen Video finden und ich kann euch natürlich nur raten, da mal reinzuschauen und die gerade auf den Weg mitbekommene Theorie da erfreulich und erfolgreich einzusetzen. Von daher viel Spaß und viel Erfolg mit dem Gelernten und bis zum nächsten Mal!

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