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Transkript Statistik II - Video 4: Zentraler Grenzwertsatz

Herzlich willkommen zusammen, schön, dass ihr wieder dabei seid. Wir beschäftigen uns heute mit dem zentralen Grenzwertsatz, der ein Vertreter verschiedener Grenzwertsätze ist. Warum beschäftigen wir uns damit? Wir haben die letzten Videos spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung kennengelernt in Form von den Vertretern Normalverteilung und dem speziellen Vertreter der Normalverteilung der Standardnormalverteilung. Damals habe ich euch erzählt, dass dies die wichtigsten Vertreter der stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen seien, und der zentrale Grenzwertsatz ist in entfernter Form ein Beleg dafür, denn im Grunde genommen geht es bei den Grenzwertsätzen an sich darum, dass wir sagen, wir haben Zufallsvariablen einer bestimmten Verteilung vorliegen, einer beliebigen Verteilung können wir hier sagen. Und diese konvergieren für eine große Stichprobe gegen eine bestimmte Verteilung und der zentrale Grenzwertsatz lässt es eben zu, dass wir die Verteilung gegen eine Standardnormalverteilung oder, im allgemeineren Sinne, gegen die Normalverteilung konvergieren lassen können. Soviel zur Theorie, ich werde euch jetzt noch mal vorab einen kurzen Überblick geben, was es damit auf sich hat, wo wir diesen zentralen Grenzwertsatz überhaupt benutzen können. Dann werde ich euch ein bisschen mit Formeln und formalen Definitionen überschütten müssen. Zum Ende hin werden wir das Ganze visuell noch etwas belegen. Also wie gesagt, wir stellen uns folgendes Szenario vor: Wir haben eine Grundgesamtheit, die beliebig verteilt ist. Wir wissen nicht, wie sie verteilt ist. Wenn wir aus dieser Grundgesamtheit nun eine hohe Stichprobe mit dem Faktor n entnehmen, also beispielsweise 100 Exemplare, also n=100, und diese beispielsweise auf ein arithmetisches Mittel hin testen. Dieses arithmetische Mittel der Stichprobe haben wir dann als Anhaltspunkt und wie gesagt, wenn n groß genug ist, können wir dieses arithmetische Mittel den bestimmten Parametern Erwartungswert und Varianz zuordnen, nämlich der Normalverteilung. Oder wenn wir die entsprechenden Zufallsvariablen, die wir ziehen, standardisieren, können wir sie direkt der Standardnormalverteilung zuordnen. Also unbekannte Grundgesamtheit, da hilft uns der zentrale Grenzwertsatz dabei, Aussagen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu treffen, wo wir dann letztendlich bei der Normalverteilung oder Standardnormalverteilung landen. An dieser Stelle wie versprochen die formale Grundlage zum zentralen Grenzwertsatz. Schauen wir uns die Formel und die Definition mal gemeinsam an. Zunächst hier, abermals in Rot markiert, die Formel, die Anleitung, wie der zentrale Grenzwertsatz anzuwenden ist. Und vorab die Erklärung zu den entsprechenden Parametern. Was haben wir hier gegeben? Wie bekannt x1,x2 und so weiter seien einfach Zufallsvariablen. In diesem speziellen Fall sind es paarweise stochastisch unabhängige Zufallsvariablen, die die gleiche Verteilung besitzen. Die gleiche Verteilung besitzen, was bedeutet das? Dementsprechend haben sie den gleichen Erwartungswert und die gleiche Varianz. Wenn das der Fall ist, wenn das gegeben ist, haben wir hier jetzt die formale Anleitung, was wir mit den entsprechenden Parametern zu machen haben. Das heißt, wir transformieren unsere Zufallsvariable Xi, an sich hier so, das heißt hier bilden wir zunächst die Summe aller gegebenen Zufallsvariablen und ziehen von dieser Summe das entsprechende Produkt von n×? ab und teilen das dann noch mal durch den entsprechenden Teil. Das heißt, das ist die Anleitung, was bekommen wir letztendlich raus? Noch kurz, das ist ja gleich dem, auf diese Umformung werde ich jetzt nicht en détail eingehen, das kriegt ihr bestimmt auch ohne mich hin. Was ist das Ergebnis daraus? Zn, die neue Zufallsvariable, die wir hier herausbekommen, ist dank dieser Umformung standardnormalverteilt. Standardnormalverteilt bedeutet, wir erinnern uns, dass der Parameter ?, der Erwartungswert, gleich 0 ist und unsere Varianz, die Abweichung vom Erwartungswert gleich 1. Unter der entsprechenden Voraussetzung für n gegen ?. Hier für n gegen ?, im Allgemeinen können wir schon gegen die Normalverteilung und die Standardnormalverteilung konvergieren für große n, sage ich mal. Was das genau bedeutet, werden wir bei den entsprechenden Verteilungen lernen, wenn wir diese explizit durchnehmen, weil es für jede Verteilung entsprechende andere Regeln gibt, wie sie dann gegen die Normalverteilung konvergieren. Also wie der entsprechende Grenzwertsatz anzugehen ist. Was gibt es hier noch zu sagen? Das ist ein spezieller Fall, da der zentrale Grenzwertsatz bestimmte Zufallsvariablen gegen die Standardnormalverteilung konvergieren lässt. Wir müssen uns wieder bewusst sein, der zentrale Grenzwertsatz ist nur ein Vertreter, und es gibt auch allgemeinere Formen, die den gesamten Wert, die Zufallsvariablen, nicht unbedingt gegen die Standardnormalverteilung konvergieren lassen, sondern beispielsweise auch nur gegen die Normalverteilung. Das ist wiederum abhängig davon, ob wir die Zufallsvariable zunächst standardisiert haben oder nicht. Dementsprechend Normalverteilung oder eben Standardnormalverteilung. Und wovon ist es noch abhängig? Etwas allgemeiner geht es auch, wenn die entsprechenden Zufallsvariablen, die wir zunächst gegeben haben, x1,x2 und so weiter, nicht gleich verteilt sind, also nicht die gleichen Parameter ? und ?² besitzen, sondern andere. Auch dann lässt sich der zentrale Grenzwertsatz anwenden, allerdings in einer etwas komplizierteren Form. Wir lernen jetzt die einfachste Form kennen, das heißt, wir gehen davon aus, dass die gleich verteilt sind. In dem Fall können wir diese Anleitung anwenden, den Grenzwertsatz, um unsere Angelegenheit hier gegen die Standardnormalverteilung konvergieren zu lassen. Diesem Tafelbild lässt sich zunächst entnehmen, dass meine künstlerischen Fähigkeiten sich doch stark in Grenzen halten. Ich hoffe trotzdem, euch das Ganze verbal ein wenig näher bringen zu können. Und dass ihr die wichtigste Botschaft trotzdem hier verstehen könnt. Was haben wir hier zunächst gegeben? Wir haben hier 4 komplett unterschiedliche Grundgesamtheiten gegeben und explizit hier ausgewiesen sind die einzelnen Verteilungen der Grundgesamtheiten. Darüber hinaus haben wir hier die Ergebnisse gewisser Stichproben, sprich den Stichproben entnehmen wir dann die Verteilung des Stichprobenmittelwertes. Was wollen wir hier im Allgemeinen zeigen mit diesem Tafelbild? Im Grunde genommen geht es hier darum, dass wir uns jetzt auf die Entwicklung und Verteilung des Stichprobenmittelwertes konzentrieren bei einer bestimmten Grundgesamtheit. Was werden wir hier zeigen? Dass unabhängig von der Grundgesamtheit ab einem bestimmten Stichprobenumfang sich die Verteilung des Stichprobenmittelwertes der Normalverteilung annähert. Das werden wir jetzt anhand der einzelnen Fälle noch einmal genauer betrachten. Also was haben wir zunächst gegeben? Gehen wir von der Normalverteilung aus, von der ersten Spalte hier, das ist unsere Dichtefunktion, wie sie bekannt ist. Und jetzt in Abhängigkeit des Stichprobenumfangs, das heißt wir haben hier Stichprobenumfang 2, 5 und 30 und merken, dass sich die Verteilung des Stichprobenmittelwertes der typischen Glockenkurve annähert. Das war bisher nichts Besonderes, das sind wir so gewohnt, aber was haben wir hier? Hier haben wir eine andere Verteilung der Grundgesamtheit, wir haben eine Gleichverteilung, sprich alle Ereignisse sind gleich wahrscheinlich. Was entwickelt sich jetzt hier bei einer gewissen Stichprobe? Wir sehen, dass sich schon bei einer Stichprobe im Umfang von n=2 eine gewisse Hebung hier ergibt. Die wird dann noch deutlicher, wenn wir den Stichprobenumfang vergrößern. Hier haben wir eine Exponentialverteilung, einen stark sinkenden Verlauf. Dieser hat dann zunächst weiterhin eine asymmetrische Verteilung des Stichprobenmittelwertes, hier in die Richtung ergibt sich hier ein Buckel, aber nach und nach sehen wir, dass sich die Verteilung des Stichprobenmittelwertes um den Erwartungswert stärker konzentriert. Hier haben wir eine weitere symmetrische Verteilung. Sehr bewundernswert ist dann auch, dass sich diese Verteilung mit größerem wachsenden Stichprobenumfang der Normalverteilung annähert. Das soll es auch schon gewesen sein hier und heute vom zentralen Grenzwertsatz. Was haben wir gelernt? Der zentrale Grenzwertsatz erlaubt es, Aussagen über die Summenvariable verschiedener unabhängiger Zufallsvariablen zu machen, nämlich dass diese sich einer bestimmten Verteilung annähern. Das kannten wir zuvor so bisher nicht. Wir wissen nun, dass sich der zentrale Grenzwertsatz einsetzen lässt, um unbekannte Verteilungen der Normalverteilung annähern zu können, woraus wir dann wieder Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit ziehen können. Was da besonders wichtig ist? Dass wir die Schritte an sich kennengelernt haben und wie diese Parameter umzuformen sind. Hier und heute habt ihr die Formel mit auf den Weg bekommen, wie eine bereits standardisierte Zufallsvariable umzuformen ist, um diese Zufallsvariable, diese Summe verschiedener Zufallsvariablen gegen eine standardisierte Zufallsvariable für n gegen ? zu bekommen, also für eine Verteilung, die dann n, 0 und 1 entspricht für die Parameter Erwartungswert und Varianz. Dann viel Spaß mit dem Gelernten und bis gleich.  

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4 Kommentare
  1. Default

    Wo sind die Übungen, die sich in der Produktion befanden?

    Von Dennis Schweitzer, vor fast 3 Jahren
  2. Img 5225 web

    danke für eure Kommentare
    @Kbehm: Die Kombi machts und evt. helfen dir die Übungen zu den speziellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Zwei von denen sind noch in der Produktion.
    @Eisernberlin: Probiers doch bitte noch mal. Wir haben keine Probleme und das Video geht bis 10:31.

    VG
    Konrad

    Von Dr. Konrad Hnatow, vor fast 4 Jahren
  3. Default

    Video geht nur bis 8:07

    Von Eisernberlin, vor fast 4 Jahren
  4. Default

    gerechnete Aufgaben mit ausführlichen Lösungen würden viel mehr bringen als die trockene Theorie, dia man sich auch ausführlich genug aus den Büchern herausarbeiten kann

    Von Kbehm, vor fast 4 Jahren