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Transkript Statistik II - Video 3: Normalverteilung - Teil III - Beispiele zur Standardnormalverteilung

Herzlich willkommen, zusammen. Wir werden uns heute in diesem Video ein wenig näher noch mit der Standardnormalverteilung und einigen Beispielen auseinandersetzen. D. h. wir haben im letzten Video schon einige Beispiele dazu kennengelernt und daran werden wir anknüpfen, um einige Aufgabentypen einfach noch zu behandeln, damit ihr die nötige Sicherheit auf diesem Themengebiet einfach bekommt. Ich hoffe, euch dies hiermit vermitteln zu können. Mit der Standardisierung alleine sind wir noch nicht am Ziel unseres Weges angelangt, denn häufig benötigen wir noch die Rücktransformation aus der Standardnormalverteilung zurück in die Normalverteilung. Dafür habe ich euch die Formel, die ihr hierfür braucht, schon angeschrieben. Wir haben das Pendant zur vorigen Formel, die ist ebenso lohnenswert zu notieren. Z1 und Z2 als Grenzen der Standardnormalverteilung, weil wir ja die Standardverteilung Zufallsvariable Z zunächst gegeben haben, und diese soll überführt werden in die normalverteilte Zufallsvariable  X mit den entsprechend neuen Grenzen. Also die Wahrscheinlichkeit hierfür, für die standardnormalverteilte Zufallsvariable entspricht der Wahrscheinlichkeit hierfür für die normalverteilte Zufallsvariable. Lassen wir uns das anhand eines Beispiels etwas näher erläutern, diese Umformungen habe ich mir hier jetzt erspart, das Äquivalent zu dem, was ich euch zuvor gezeigt habe, könnt ihr zuhause bestimmt selber nachvollziehen. Die Rückschlüsse, die wir aus dieser Normalverteilung gegeben haben aus der Gleichung, die wir zuvor benutzt haben, wir sehen, dass wir hier die Variable =16 haben, daraus folgt Standardabweichung 4. Unser Erwartungswert von 3 bleibt ebenso erhalten. Was haben wir jetzt mit dieser Angabe hier gegeben? Es ist eine etwas neue Form. Wir haben hier die Wahrscheinlichkeit, dass unsere standardnormalverteilte Zufallsvariable Z sich innerhalb dieser Intervallgrenzen befindet: -2, +2. Diese Wahrscheinlichkeit entspricht =0,9545. Den Wert haben wir aus einer Tabelle entnommen, mit der wir uns später noch befassen werden. Gut, wie fahren wir jetzt fort? Wir wollen jetzt diese Standardnormalverteilung in eine Normalverteilung umformen. Was tut sich also? Die Wahrscheinlichkeit bleibt ja erhalten. Wir haben ja gesagt: Die Wahrscheinlichkeit hierfür entspricht der Wahrscheinlichkeit hierfür. Das, was sich jetzt verändert, sind die Intervallgrenzen. Dafür wenden wir jetzt die Formel an. D. h. wir haben P(µ+z1×Sigma), also P(3+(-2)×4 kleiner gleich, jetzt haben wir schon unser X gegeben, kleiner gleich, wie schaut nun die rechte Intervallgrenze aus? (µ+z2×Sigma) das entspricht dem hier: 3+2×4), und das war´s schon. Was ergibt das? Das ergibt weiterhin die Wahrscheinlichkeit von 0,9545. Nun lasst uns die Grenzen noch einmal bestimmen. (2×4=8), (3-8), haben wir P(-5 gegeben kleiner gleich X kleiner gleich, hier haben wir 8 in dem Fall +3, also 11). Und das entspricht weiterhin der Wahrscheinlichkeit 0,9545. So, anhand dieses Beispiels ist euch hoffentlich ein bisschen klarer geworden, was wir mit diesen Transformationen an sich bewirken können. So gesehen, wir haben ein Intervall in der Glocke und die Wahrscheinlichkeit, die dieses Intervall beinhaltet, ist eben 95,45 % der kompletten Glockenfunktion. Das entspricht bei der Standardnormalverteilung den Grenzwerten -2 und +2, wenn wir dies in die Normalverteilung umformen, für diese Normalverteilung wohlgemerkt, für diese Parameter, entspricht das den Grenzwerten -5 und 11. Um mit der Normalverteilung noch weiterhin sicher arbeiten zu können, habe ich euch hier noch einen kleinen Überblick erstellt über die wichtigsten Eigenschaften der Normalverteilung. Aufgrund der Symmetrie  ergibt sich die 1. Eigenschaft: Was steht hier? Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Z zwischen einer unteren Grenze z1 und 0 liegt, ist die gleiche, dass er zwischen 0 und der oberen Grenze liegt. Also, -z1 als linke Grenze, dann kommt 0 der Ursprung, hier 0 der Ursprung und die obere Grenze. Diese Wahrscheinlichkeit ist einfach gleich. Welche Wahrscheinlichkeit ist natürlich aufgrund der Symmetrie noch gleich? Wenn wir allgemein sagen, dass Z links vom Ursprung liegt und rechts vom Ursprung ist gleich und da es symmetrisch um den Ursprung verteilt ist, haben wir hierfür die Wahrscheinlichkeit 0,5 gegeben. Was ist noch wichtig: Die Wahrscheinlichkeiten für Intervalle lassen sich ggf. durch Differenzenbildung berechnen. Ja, was heißt das? D. h. beispielsweise, wenn wir einfach nicht überall 0 als Grenze haben, sondern auch andere Werte, können wir beispielsweise den Verteilungsfunktionswert des einen Wertes nehmen, abzüglich des anderen, und dann bekommen wir die Intervallgrenzen. Sprich, es kommt häufig vor, dass wir die Wahrscheinlichkeiten für 2 Werte nehmen, diese voneinander abziehen und so erhalten wir die Wahrscheinlichkeit für das Intervall selber. Wichtig sind dafür, wie gesagt, die Werte der Verteilungsfunktion. Was ist noch wichtig? Ist schon zur Sprache gekommen, dass die Normalverteilung die Eigenschaft besitzt, dass sie trotz linearer Transformation die Eigenschaft der Normalverteilung beibehält. Sprich, eine Zufallsvariable X, die normal verteilt ist, gibt diese Eigenschaft der Normalverteilung an die Zufallsvariable Y weiter, sofern diese in Form einer linearen Transformation geändert wurde. Wir kommen nun zu einigen typischen Anwendungsbeispielen der Standardnormalverteilung. Beispielsweise geht es hier darum, dass wir die Wahrscheinlichkeitsdichte bestimmen, die Wahrscheinlichkeit für diesen Bereich zwischen 0,3 und 2,7. Ganz typische Aufgabe: Wir haben hier etwas gegeben, unsere ganz normale Glockenfunktion, die Dichteverteilung der Zufallsvariable Z, die standardnormalverteilt ist. Das ist der Aufbau der Aufgabe, so gesehen, das ist gegeben als Aufgabenstellung. Wie kommen wir jetzt weiter in dieser Aufgabe? Wir brauchen den Wert für 2,7 und den Wert für 0,3. Welche Werte? Wir beachten den Unterschied: Wir haben hier die Dichtefunktion und hier die Verteilungsfunktion. Groß F = Verteilungsfunktion. Warum die Verteilungsfunktion? Die Verteilungsfunktion für den Wert 2,7 beinhaltet die komplette Wahrscheinlichkeit von -Unendlich bis zu unserem Wert 2,7. Wenn wir diesen kompletten Bereich nehmen und davon den Wert für 0,3 abziehen, der Wert für 0,3 der Verteilungsfunktion ist wiederum der Wert von -Unendlich bis 0,3. Sprich, wir subtrahieren einmal diese komplette Spanne und von dieser kompletten Spanne subtrahieren wir diesen Teil. Was übrig bleibt, ist die Dichte für dieses Intervall. Soweit zum strategischen Vorgehen. Die Werte findet ihr in der Standardnormalverteilung. Die Standardnormalverteilung ist aufgebaut, wie gesagt, wie eine Tabelle. Es gibt dort Zeilen und Spalten. In der Regel ist es so, dass die Zeile und die Spalte ganz normal ein und dieselbe Zufallsvariable darstellen Z, den gleiche Wert. Es ist so, in der Senkrechten findet man die große Unterteilung, wie 1,5 ... 1,6 und in der Spalte findet man dann weitere Nachkommastellen, um den Wert genau zu spezifizieren. Diese beiden Koordinaten geben einen Treffer, nämlich eine bestimmte Wahrscheinlichkeit an. Diese sind dann für den Fall 2,7=0,99653 und für 0,3 diesen entsprechenden Wert, woraus sich die Differenz hiervon ergibt. Als zweites Beispiel noch ein bisschen einfacher: Wenn wir einfach nur sagen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von -Unendlich bis Z, sprich für Z<1,6, hierfür nehmen wir einfach den Wert für 1,6 aus der Tabelle für die Standardnormalverteilung und haben auch somit diese Aufgabe gelöst. Das war´s nun auch zu den Übungsaufgaben zur Standardnormalverteilung, Schnittstelle zur Normalverteilung. Ja, ich hoffe, ich konnte euch einen guten Eindruck vermitteln, was für Aufgabentypen da auf euch zukommen können, was für Fragestellungen, den Übungsaufgaben, Abgaben, Klausuraufgaben. Ich weiß nicht so recht, was das Spektrum eurer Professoren da für euch bereit hält. Auf jeden Fall hoffe ich, euch das Wichtigste vermittelt zu haben und die nächsten Videos werden euch dann weiterhin in die Spezifik Statistik hineinbringen, also von daher, alles Gute und ich hoffe, ihr seid das nächste Mal auch wieder dabei.  

3 Kommentare
  1. Img 5225 web

    Hallo Stefania,

    freut mich, dass dir die Video helfen können.
    Wie es aussieht haben wir beide recht. Der Wert für 2,7 lautet tatsächlich 0,9965. In dem Beispiel habe ich nur nicht gerundet und daher den Wert 0,99653 verwendet, aber nicht 0,9953.
    Somit machst du anscheinend alles richtig und hast nur die 6 auf der Tafel verschluckt. Alles Gute weiterhin!
    VG
    Konrad

    Von Dr. Konrad Hnatow, vor mehr als 4 Jahren
  2. Foto

    Ich finde die Videos wirklich super und sehr leicht verständlich. Ich habe nur eine kleine Frage bzgl der Aufgabe am Ende. Wenn ich den Z-Wert für 2,7 in der Tabelle für die Standardnormalverteilung nachgucke, dann ist das 0, 9965 und nich 0,9953. Ist das ein Schreibfehler gewesen oder mache ich da was falsch?

    Von Stefanie V., vor fast 5 Jahren
  3. Default

    Super Videos! Das ist die klarste und gleichzeitig kompakteste Erklärung der Normal- und Standardverteilung, die ich bisher gesehen habe.

    Von Bralwand, vor etwa 5 Jahren