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Transkript Statistik II - Video 2: Normalverteilung - Teil II - Standardnormalverteilung

Herzlich willkommen werte Zuschauer zur 2. Ausgabe von Statistik II, die auch gleichzeitig die zweite Ausgabe zum Thema Normalverteilung ist.  Wir haben das letzte Mal die Normalverteilung kennengelernt als wichtigste Wahrscheinlichkeitsverteilung der speziellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Heute kommen wir noch zusätzlich zu einer besonderen Form der Normalverteilung, nämlich der  Standardnormalverteilung. Gut. Wie gehen wir heute vor? Zunächst werden wir uns wieder fragen, was für einen Sinn macht die Standardnormalverteilung überhaupt und wozu brauchen wir diese? Dann wie ist sie spezifiziert? Und zum Ende hin werden wir uns noch einige Anwendungsbeispiele in Form von Rechnungen anschauen. Gut. Los geht es. Also, die Standardnormalverteilung, wie hier der Verlauf dargestellt ist, ist wichtig, da sie die Standardisierung der Normalverteilung ist. Wir erinnern uns, eine Normalverteilung ist spezifiziert durch die Parameter µ und σ2, Erwartungswert und Varianz, und das führt dazu, dass es eine ganze Fülle von Normalverteilungen gibt, für die es schwierig wird, die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen. Die Standardnormalverteilung ist nun dazu gut, dass den verschiedenen Normalverteilungen in Form einer linearen Transformation, die lernen wir gleich noch, in Form dieser linearen Transformation können wir die Normalverteilungen in die Standardverteilungen überführen. Für diese Standardnormalverteilung haben wir eine entsprechende Tabelle mit den spezifischen Wahrscheinlichkeiten, die wir brauchen, sodass wir dann die Wahrscheinlichkeiten für, im übertragenen Sinne, auch die ursprüngliche Normalverteilung bekommen. So, wem das noch ein bisschen schleierhaft ist, bitte jetzt nicht wundern, das wird in Form der Rechnung später ein wenig deutlicher, was ich damit meine. Gut, wie gesagt, wir haben X letztes Mal kennengelernt als normal verteilte Zufallsvariable. Normal verteilt, N, wie normal verteilt, mit den entsprechenden Parametern µ und σ2, Erwartungswert und Varianz. Die standardnormalverteilte Zufallsvariable Z ist entsprechend auch normal verteilt, aber mit den entsprechenden Werten 0 und 1 für Erwartungswert und Varianz. Wir merken uns auch für später ganz allgemein, X steht für eine beliebig normal verteilte Zufallsvariable und Z für eine standartnormalverteilte Zufallsvariable. Ja, wie die Normalverteilung an sich ist die Standardnormalverteilung ebenso symmetrisch, glockenförmig. Nur, da wir sagen, mit dem Parameter µ=0, wie auch hier da steht E(Z)=0, also sprich hier am Nullpunkt und der Varianz 1 entsprechend, ist die Glocke auch gestaucht oder gedehnt. Ja, das sind die entsprechenden Parameter, die wir brauchen für die Standardnormalverteilung, wie wir das Ganze jetzt anwenden, werden wir in den nächsten zwei Abschnitten kennenlernen. Wie bereits angedroht, kommen wir jetzt zur linearen Transformation normalverteilter Zufallsvariablen, um uns im Anschluss daran mit der Bestimmung der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zu beschäftigen. Nun, was bedeutet jetzt hier eine linearen Transformation? Ausgangspunkt ist wie gehabt unser X, eine normal verteilte Zufallsvariablen, mit den entsprechenden Parametern µ und σ2, wie wir sie kennen. Was passiert nun damit? Wir formen X linear um, in hin zu Y, was heißt, lineare Transformation, es kommt ein Parameter, also potenziell, kommt ein Parameter a hinzu und eine Konstante hinten dran mit b. Das ist die typische Form bei linearen Transformationen, wie sie aussehen kann. Wir sehen also X wird durch a und b verändert hin zu Y und daraus ergibt sich dann folgend normal verteilte Zufallsvariable. Warum ist das so? Nun ja, die Normalverteilung hat eine bestimmte Eigenschaft, nämlich, dass sie auch trotz der linearen Transformation, auch weiterhin normal verteilt bleibt. Dementsprechend wissen wir, wenn eine Zufallsvariable X auf diesem Wege verändert wird, sprich linear, ändern sich die Parameter entsprechend, aber weiterhin ist sie normal verteilt, weiterhin können wir mit ihr arbeiten und mit der Normalverteilung. Die Parameter ändern sich wie folgt, aus unserem µ wird a×µ+b, das ist die Rechnung, die getan werden muss und aus unserem σ2, unserer Varianz, ergibt sich nach a2σ2 die lineare Transformation. Ja, was bedeutet das für unseren Erwartungswert und unsere Varianz an sich? Das entspricht ja einfach nur der Normalverteilung in Abhängigkeit der entsprechenden Parameter und hier haben wir dann direkt herauskristallisiert, dass unser Erwartungswert wie folgt aussieht, nach der Transformation von X auf Y, und unsere Varianz dementsprechend auch von X nach Y a2×σ2. Das ist die lineare Transformation. Wenn wir nun die Parameter a und b geschickt auswählen, können wir uns vorstellen, dass wir hier auch die Werte 0 und 1 herausbekommen. Dazu kommen wir gleich, denn mithilfe der linearen Transformation kann man eine Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung überführen. Wir kommen nun zu einem wesentlichen Prozess, nämlich der Standardisierung. Der Standardisierung wovon? Der Standardisierung einer normal verteilten Zufallsvariable X in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z. Was geschieht? Nichts anderes, als das wir die uns bekannten Parameter µ und σ2 anpassen an die Parameterwerte eine Standardnormalverteilung, nämlich 0 und 1. Wie geschieht das? Anhand der uns gerade kennengelernten linearen Transformation, die hier in Form der Formel bereits dargestellt ist. Das heißt, was haben wir hier? Wir haben hier den Parameter a und den Parameter b, die wir gerade kennengelernt haben. Wie wir auf diese kommen, lassen Sie uns das Mal gemeinsam erörtern.  Für diesen Schritt müssen wir uns einige Vorkenntnisse in Erinnerung rufen, nämlich einerseits den Erwartungswert  einer Standardnormalverteilung-Zufallsvariablen Z. Dieser lautet per Definition =0. Zugleich gehen wir zurück zur linearen Transformation und wissen, wie wir den Erwartungswert anzupassen haben in Form einer linearen Transformation. Und zwar geschieht dies per a×µ+b. Wir haben hier die 2 Unbekannten a und b, 2 Unbekannte, brauchen wir 2 Gleichungen. 2. Gleichung, da ist die Auswahl noch recht gering, die wir hier haben, wir haben dann nämlich die Varianz einer Standardnormalverteilung und die ist per Definition 1. Das können wir auch hier noch einmal sehen und in Form der linearen Transformation lautet die wie folgt: a2σ2. Nun, wir haben jetzt 2 Gleichungen gegeben, wir wollen die einfach lösen. Wo fangen wir an? Hier ist es ein wenig einfacher, sprich daraus ergibt sich zunächst, das unser a=1/σ ist. Wenn wir es einfach umstellen und die Wurzel ziehen, wenn a=1/σ ist, bekommen wir aus dem Erwartungswert Folgendes. Wir können nun einfach nach b umstellen. b ergibt sich dann einfach durch -a×µ, und wenn wir unser a jetzt einsetzen, haben wir -µ/σ. Nun, die Werte, die wir hier für a und b herausbekamen, sollten uns ein wenig bekannt sein. Wir sehen sie oben wieder, sprich X wird um den Faktor a erweitert, das entspricht genau dem, was wir hier heraus bekommen haben, und +b steht hier normalerweise, das Vorzeichen ändert sich entsprechend dieser Umformung, also setzen wir das oben ein. Da wir diesen Prozess sehr oft anwenden, ist das die übliche Schreibweise, die wir in Zukunft verwenden werden. Soviel dazu.  Nachdem wir nun die Standardisierung als Prozess kennengelernt haben, wollen wir uns nun fragen, was steckt denn dahinter? Sprich, wie sieht das Ganze bildlich aus? Bildlich kann man sich das so vorstellen, wir erinnern uns ja, die Normalverteilung ist, rein bildlich gesehen, eine symmetrische Funktion, eine symmetrische Glockenfunktion um den Erwartungswert µ. Dieses µ kann, weil wir haben ja verschiedene Normalverteilungen, eine ganze Familie davon, kann irgendwo auf der x-Achse verteilt liegen, weil die Standardisierung, erinnern wir uns nun, ist einerseits eine Zentrierung der Glocke, sprich hier der Prozess hin von µ=-X bis hin zu µ=0, per Definition ist das 0 und gleichzeitig ist es eine Stauchung oder Dehnung der Glockenfunktion auf diese Standardglocke um den Nullpunkt. Das ist das, was bildlich dahinter steckt. In Form der Definition kommt jetzt ein Beispiel. Das heißt, wir haben kennengelernt X-µ/σ  entspricht unserer Standardisierung, sodass wir von X1, so gesehen, in die Standardnormalverteilung hinein kommen. Dazu werden wir uns jetzt einfach einmal mit einem Beispiel auseinandersetzen. Was brauchen wir, wie kann ein typisches Beispiel aussehen? Wir haben unsere Normalverteilung gegeben mit den entsprechenden Parametern µ und σ2, sprich unser µ ist hier 3 und gleichzeitig ist unser σ2=16.   Das sind zunächst die Informationen, die wir aus der Angabe herausziehen. So, das sind die Aufgabenstellungen, die wir zu bewältigen haben, sprich wir haben eine normal verteilte Zufallsvariable, erkennen wir einerseits hieran, N mit den entsprechenden Parametern und die weitere Angabe, die wir haben, sind die Intervallgrenzen, die wir betrachten, die bei 3 und bei 7 liegen. Das heißt, was ist hier gesucht mit diesem Ausdruck? Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass X innerhalb dieser Grenze 3 und 7 liegt, innerhalb dieses Intervalls. Was müssen wir machen? Wir müssen jetzt den Standardisierungsprozess durchziehen, sprich, wir wenden diese Formeln an. Zunächst sehen wir aber, wir haben σ2 gegeben und in der Formel ist σ. Das heißt, was müssen wir machen? Wir formen das um, unser σ entspricht dann 4. Gut, dann wenden wir die Formeln an, sprich, wir formen das hier um in dem Sinne, wie es da steht. Unser X1 ist das 3, was hier gegeben ist, die Grenze. -µ=3 und durch σ, gut, das ist im Endeffekt egal, weil der Zähler bereits 0 ergibt, aber der Form halber werden wir das noch hinzu fügen. /σ, σ haben wir gerade hergeleitet, ist 4. Das soll ≤ unserer Standardnormalverteilung-Zufallsvariablen Z sein und das wiederum ≤ der oberen Grenze, wo wir unser X2 als 7 definiert haben, -µ, ist weiterhin 3, /σ=4. Das ist das neue Intervall, das wir nun haben für die Aufgabe. Letztendlich ist die Standardisierung hiermit abgeschlossen. Nun können wir noch die Werte berechnen, sprich, sicher ist, dass die zwischen 0≤Z≤1 liegen. Das heißt, was haben wir jetzt gemacht? Wir haben diese Intervallgrenzen der normal verteilten Zufallsvariablen X in die Standardnormalverteilung mit der Zufallsvariablen Z umgeformt. Das war es. Das Gleiche machen wir noch für ein 2. Beispiel. Sprich, wir setzten die Grenzen wieder ein. Unser X1 ist hier durch die untere Grenze -2 gegeben, minus, was haben wir jetzt, unseren Erwartungswert -3/σ=4, ≤Z≤, dann berechnen wir die obere Grenze des Intervalls. Da haben wir (11-3)/ unsere Standardabweichung, unser σ=4. Und diese Grenzen kann man nun wiederum einfach berechnen. Das heißt, Schritt für Schritt kommen wir von der Normalverteilung in die Standardnormalverteilung, was offiziell hier schon abgeschlossen ist, um letztendlich aber diese Werte aus der Tabelle ablesen zu können, müssen wir entsprechend diese Rechnung noch vollziehen. Dann haben wir hier -5/4≤Z≤8/4. Das wäre jetzt die Lösung für die Standardisierung. Diese Werte können wir dann aus der Tabelle ablesen, deren Aufbau wir uns zu gegebener Zeit genauer ansehen werden. So, werte Zuschauer, das soll es für heute gewesen sein von mir und der Normalverteilung und der Standardnormalverteilung. Noch kurz zur Revue, was haben wir kennengelernt heute? Den Spezialfall der Normalverteilung, die Standardnormalverteilung, wir wissen auch, wozu wir sie brauchen, wir erinnern uns, dass es eine große Familie von Normalverteilungen gibt, mit den Parametern µ und σ2. Diese große Familie können wir standardisieren in die Standardnormalverteilung, das ist eben ein Spezialfall und dieser Spezialfall ist in Form von Tabellen für uns zugänglich. Wozu brauchen wir diese Tabellen?Aus der Tabelle von der Standardnormalverteilung bekommen wir letztlich die Wahrscheinlichkeiten, die wir suchen. Diese entsprechenden Wahrscheinlichkeiten können wir sodann direkt wieder auf die entsprechende Normalverteilung zurücktransformieren. Das haben wir heute auch gelernt, wie das funktioniert, per linearer Transformation. So, dann haben wir also die lineare Transformation besprochen, die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten und in Form dieser Aufgaben direkt einige Anwendungsbeispiele durchgenommen. So gesehen seid ihr bestens gewappnet, um zu standardisieren und die entsprechenden Verteilungen für die Normalverteilung bestimmen zu können. Von daher, viel Spaß mit dem Gelernten und bis zum nächsten Mal.

1 Kommentar
  1. Default

    Nachdem ich jetzt viele mäßig bis schlecht erklärte Sachverhalte in Statistik 1 gesehen habe (durch andere Tutoren), bin ich wirklich von Konrad's Art der Erklärung angetan. Etwas erklären zu können ist ganz offensichtlich eine Kunst die nicht jeder gleich gut beherrscht. Bitte mehr davon.

    Von Wstockhausen, vor etwa 5 Jahren