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Transkript Satz von Stokes – Theorie

In diesem Video bespreche ich ganz allgemein den klassischen Integralsatz von Stokes. Der Satz steht eigentlich schon auf der Tafel und nun kommt jede Menge Einzelheiten dazu. Also was haben wir da? Wir haben ein Flächenstück, meinetwegen S. Flächenstück ist berandet mit einer Kurve - einer Randkurve, die nenne ich dS und um sie herum fließt ein Vektorfeld R. Und Integralsatz von Stokes macht Aussage, dass bestimmte zwei Integrale von beteiligten Objekten gleich sind. In diesem Video möchte ich hinter diese Integrale klare Anschauungen bringen. Ich möchte ein Gefühl verschaffen, ja warum denn dieses Integral tatsächlich gleich sein soll. Ich möchte diese Aussage erstens veranschaulichen. Dann gibt es einen wichtigen Aspekt, was die Orientierung der beteiligten Fläche und Randkurve angeht. Worum geht es denn? Hier stehen zwei vektorielle Integrale und wir wissen, dass Vorzeichen von einem vektoriellen Integral von der Orientierung der Kurve oder der Fläche abhängig ist. Und das bedeutet insbesondere, dass die Wahl von Orientierungen auf der Randkurve und auf der Fläche selbst nicht ganz frei ist. Genauer ist es so, dass die Orientierung auf der Randkurve von der Orientierung der Fläche abhängig ist. Inwiefern abhängig, nach welcher Regel diese Abhängigkeit hergestellt wird, möchte ich in Folgendem besprechen. Das ist zweitens. Und drittens möchte ich eine interessante Konsequenz aus dem Satz von Stokes besprechen. Nämlich die, das Flussintegral der Rotation eines Teiles über ein Flächenstück Stück vom Verlauf des Flächenstücks unabhängig ist. Vom Verlauf des Flächenstücks unabhängig, aber abhängig nur vom Verlauf der Randkurve. Das ist bisschen verwickelt, gegen Ende von diesem Beitrag möchte ich es dann genauer ausführen. Nun fangen wir an, erstens mit der Orientierungskonvention. Dass die eine Wahl der Orientierung auf der Fläche S zwangsläufig eine Orientierung auf der Randkurve festlegt, diesen Umstand benennt man in den folgenden 10 Minuten. Man sagt, dass die Randkurve dS, die von der Fläche S, die induzierte Orientierung trägt oder in anderen Worten, die Orientierung von der Fläche S und der Randkurve dS miteinander verträglich sind. Nun wollen wir besprechen, was das bedeutet, nach welcher Regel sind die miteinander verträglich und nach welcher Regel wird die Orientierung auf der Kurve induziert. Die erste Überschrift lautet: Induzierte Orientierung. Am besten betrachten wir eine Modellsituation, nämlich eine Kreisscheibe, eine ganz einfache Fläche. Wir nehmen mal an, dass die obere Seite der Kreisscheibe positiv ist. Also wir orientieren diese Kreisscheibe derart, dass die obere Seite positiv ist. Das ist eine willkürliche Wahl der Orientierung. Die Orientierung wird dadurch gekennzeichnet, dass man dadurch veranschaulicht, dass man einen Normalvektor aufträgt. Der Normalvektor soll aus der positiven Seite hier raus sein. Also das ist der Normalvektor das ist die Fläche S. Also das ist der Normalvektor das ist die Fläche S. Sei n ein Normalvektor, ein Vektor heißt Normalvektor, falls er senkrecht auf der Fläche steht, der aus positiven Seite von S heraus zeigt. Nur kann die Randkurve, hier ist die Randkurve der Fläche S, die bezeichne ich mit dS, kann sie entweder so rum durchlaufen werden oder anders rum. Es gibt ja zwei mögliche Orientierungen auf der Randkurve. Und nur eine von ihnen heißt induzierte Orientierung und dieses ist dann als die gezielte Orientierung definiert. Also man sagt, dass die Randkurve, die induzierte Orientierung trägt, wenn man auf die Spitze des Normalvektors klettert und die Randkurve von der Spitze aus beobachtet, dann wird diese Randkurve gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. Wenn das der Fall ist, dann sagt man, dass die Randkurve die induzierte Orientierung trägt. Nocheimal, man sagt, dass die Randkurve induzierte Orientierung trägt, wenn man sie von der Spitze des Normalvektors beobachtet, gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Dann bleibt nur ein Pfeil übrig und der rote Pfeil, der stehen geblieben ist, der definiert die induzierte Orientierung der Randkurve dS. Nun wollen wir dieses Beispiel ergänzen. Wir betrachten dieselbe Kreisscheibe. Die soll aber so orientiert werden, die werden wir aber anders herum orientieren, wir können die Orientierung umklappen. Wir orientieren die Kreisscheibe S so, dass die obere Seite negativ ist und die untere Seite positiv. Ja, das darf man machen. Die Orientierung einer Kurve oder Fläche ist willkürlich. Zu jeder orientierbaren Fläche gibt es zwei Orientierungen. Die eine Möglichkeit haben wir betrachtet nun betrachten wir die zweite Möglichkeit. So, der Normalvektor soll aus der positiven Seite rauszeichen und im zweiten Beispiel wählen wir die untere Seite als positiv. Nun, dann versuchen wir uns etwas anzustrengen. Stellt euch vor, man beobachtet die Randkurve von der Spitze des Normalvektors, dann gegen den Uhrzeigersinn, in diese Richtung hier. Und wenn die Fläche S andersrum orientiert ist, wenn man die Orientierung der Fläche S umklappt, dann wird auch die induzierte Orientierung der Randkurve ebenfalls umgeklappt. Das kann man vielleicht noch anschaulicher verdeutlichen. So, hier ist unser Modell, hier ist die Kreisscheibe. Hier ist der Normalvektor, der aus der positiven Seite herauszeigt und die Pfeile hier am Rande, sie deuten die positiv induzierte Orientierung an. Das ist die Situation im ersten Beispiel. So sieht es aus. Und wenn wir die Kreisscheibe umklappen, sodass die untere Seite als positiv orientiert wird, dann die Pfeile, die ihr jetzt seht, die zeigen in diesem Fall dann die induzierte Orientierung an, bloß in diesem Fall hat man die Bewegung gegen Uhrzeigersinn und in diesem Fall hat man die Bewegung im Uhrzeigersinn. Gut. Aber man muss sich hier Folgendes merken. Von dem Normalvektor heraus beobachtet, hat man die Bewegung gegen den Uhrzeigersinn. Und der Normalvektor zeigt immer aus der positiven Seite der Fläche S. Gut, das ist die Definition der induzierten Orientierung und zwei Modellfälle. Wir wollen das genauer festhalten, als Definition und das, was ich gerade erläutert habe, will ich an der Tafel festhalten. Folgende Definition: Man sagt, dass die Randkurve dS, von der Orientierung der Fläche S, die induzierte Orientierung trägt. Dazu gibt es zwei alternative Formulierungen und die eine Formulierung  habe ich gerade erläutert. Heißt, die Randkurve dS wird von n aus gesehen und gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. Das ist die eine Formulierung. Es gibt auch eine alternative Formulierung. Stellt euch ein kleines Männchen vor, das auf der Fläche spazieren geht, und zwar auf der positiven Seite der Fläche spazieren geht und entlang der Randkurve läuft. Wenn er in der induzierten Orientierung, entlang der Randkurve läuft, in der induzierten Richtung entlang der Randkurve läuft, dann bleibt die Fläche links von ihm liegen. Also in einem Fall bleibt die Fläche links von ihm liegen und auch in anderem Fall bleibt die Fläche links von ihm liegen. Und das ist eine zweite Formulierung. Wenn man auf der Fläche spazieren geht und in der induzierten Richtung entlang der Randkurve läuft, so bleibt die Fläche  links liegen bei dieser Bewegung. Und das ist die zweite, völlig gleich bedeutende Definition. Und die halte ich auch an der Tafel fest und ihr merkt euch das, was euch besser gefällt oder auch beides. Das ist euch überlassen. Also diese Formulierungen sind gleichbedeutend. Also man sagt, dass die Randkurve dS, die induzierte Orientierung trägt, falls ... wenn man auf der positiven Seite von S spazieren geht, sozusagen und in der induzierten Richtung entlang der Randkurve läuft, so bleibt die Fläche bei dieser Bewegung links liegen. Stellt euch vor, ihr fahrt in einem Auto um einen See herum, wenn der See links von euch liegen bleibt, dann fahrt ihr in der induzierten Richtung. Dabei setzt man voraus, dass die Seite von dem See zum Himmel zeigt, die positive Seite ist. Ein Auto fährt um einen See herum, wenn es links liegen bleibt, dann fährt man richtig rum. Und das ist wieder gegen den Uhrzeigersinn. Diese Formulierungen sind gleichbedeutend. Das sind die Definitionen und bei solchen Kreisscheiben ist es alles klar, gegen den Uhrzeigersinn oder die Fläche bleibt links liegen. Eine von beiden Formulierungen. Interessant wird es, wenn die Fläche Löcher bekommt. Dann wollen wir uns die Orientierungsfrage auch in diesem Fall anschauen, und zwar an zwei Beispielen. Nun wollen wir schauen, wie diese Definition an zwei Beispielen funktioniert. Ich betrachte nach wie vor eine Kreisscheibe, bloß, sie kriegt da ein Loch mittendrin. So, das ist meine Fläche S. Es gibt nicht nur eine Randkurve sonder zwei Randkurven. Vorher bei einer Kreisscheibe hatte nur eine Randkurve. Dieses Ringgebiet hat zwei Randkurven oder man kann sagen, die Randkurve von solchem Ringgebiet zerfällt in zwei Zusammenhangskomponenten. Die äußere und die innere Kreislinie. Nun unterstelle ich mal, dass die obere Seite von Ringgebiet positiv ist. Der Normalvektor zeigt nach oben. Wir betrachten die Fläche mit dieser Orientierung hier und nun wollen wir uns mal anschauen, wie die induzierte Orientierung der Randkurve aussieht. Bei der äußeren Randkurve, da haben wir es schon geklärt, das ist ja gegen den Uhrzeigersinn. Und man ist geneigt zu meinen, dass auch die innere Randkurve in dieselbe Richtung orientiert werden soll, wenn die Orientierung mit der Fläche verfängt, werden soll. Das ist aber hier falsch. Wenn man hier konsequent die Definition anwendet, die ich hier vorhin auf die Tafel geschrieben habe, dann muss die innere Randkurve in die entgegengesetzte Richtung durchlaufen werden. Wir machen uns das noch einmal klar, also hier ist der Normalvektor und wir klettern auf die Spitze des Normalvektors und schauen mal, wie die Uhr geht. Und das hier, ist geht gegen den Uhrzeiger. Also das hier ist gegen den Uhrzeiger und deswegen muss die innere Kurve so durchlaufen werden. Oder auch mit anderen Kriterien, wir drehen den um, mit der anderen Definition, die ich gegeben habe. Jetzt spaziere ich entlang des Randes der inneren Randkurve, in diese Richtung, die mit dem roten Pfeil angezeigt wird, bleibt die Fläche links liegen. Das ist die interessante Tatsache, wenn die Randkurve der Fläche mehrere Zusammenhangskomponenten hat, in diesem Fall hat die Randgruppe zwei Zusammenhangskomponenten, dann sind die Zusammenhangskomponenten gegenorientiert. So sieht die induzierte Orientierung bei Flächen, deren Randkurve mehr als eine Zusammenhangskomponente hat. Und wir wollen noch mal ein Beispiel anschauen. Beispiel, wenn ich ein Stück Papier nehme und das dann so an einer Seite schließe, dann bekomme ich einen Zylindermantel. Nun betrachten wir solch einen Zylindermantel. Und ich unterstelle mal, dass die äußere Seite des Zylindermantels die positive Seite ist. Ich orientiere diesen Zylindermantel derart, dass die äußere Seite als positiv gilt. Nun wollen wir uns klar machen, wie die induzierte Orientierung der Randkurven aussieht. Man hat hier zwei Kreislinien, das sind Randkurven des Zylinders. Immer wieder dasselbe Kriterium, wir klettern auf die Spitze des Normalvektors und beobachten die Randkurve. Also gegen den Uhrzeiger, das heißt, so rum. Von uns aus betrachtet ist es im Uhrzeigersinn. Von der Spitze des Normalvektors, was ihr betrachtet und das ist gegen den Uhrzeiger. Und es zählt die Betrachtungsweise von dem Normalvektor aus. Das heißt, diese Richtung ist die richtige Richtung, die induzierte Richtung. Und dann nach demselben Prinzip, die andere Randkurve muss dann die gegenrichtige Orientierung haben. Und tatsächlich, wenn wir von der Spitze des Normalvektors die andere Randkurve beobachten, dann gegen den Uhrzeigersinn. Und die Randkurve des Zylindermantels da tragen gegenläufige Orientierungen, wenn diese Orientierungen mit der Orientierung des Zylindermantels verträglich sein sollen. Das sollte man sich merken. Also, wenn die Randkurve in mehrere Zusammenhangskomponenten zerfällt, dann tragen die verschiedenen Zusammenhangskomponenten gegenläufige Orientierung. Und wenn man hier im Ringgebiet noch ein zweites Loch hat, dann klarerweise trägt dieses Loch diese Orientierung. Nach derselben Regel! Und im Integralsatz von Stokes hat man folgende Aussage: Kurvenintegral entlang der Randkurve eines Vektorfeldes ist gleich Fluss Integral der Rotation des Feldes durch die Fläche S. Und die Orientierungen der Randkurve und der Fläche S müssen erst in dieser Weise miteinander abgestimmt werden. Sonst kriegt man Vorzeichenfehler. Man legt irgendwie Orientierung auf der Fläche S und dadurch wird die Orientierung auf der Randkurve automatisch festgelegt. Soweit zum Thema induzierte Orientierung. Nun wollen wir die Gleichheit der Integrale veranschaulichen. Wir wollen sie fühlen, ja, wir wollen sie verstehen. Und das ist die nächste Überschrift. Veranschaulichung zum Satz von Stokes: Und einfachheitshalber betrachten wir unser Model, die Kreisscheibe. Hier ist die Kreisscheibe, Kreisscheibe S und wir betrachten ein Vektorfeld um die Kreisscheibe S herum. Und das Vektorfeld soll um die Randkurve von S zirkulieren, also soll fast tangentiell sein um die Randkurve. So ungefähr wird das Vektorfeld F aussehen. Und im Video zur Veranschaulichung von der Divergenz und Rotation habe ich euch Folgendes erzählt: Wenn F Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit ist, dann ist Rotation des Feldes F ein Maß dafür, wie stark das Feld sich um einen Punkt herumdreht. Und die Rotation gehorcht der Regel der rechten Hand. Das heißt, Rotationsvektor steht senkrecht auf der Rotationsebene und seine Richtung gehorcht der Regel der rechten Hand. Das Vektorfeld wird zirkulieren um das Vektorfeld, aber in eine andere Richtung. Also in Übereinstimmung mit der Regel der rechten Hand, so soll das Feld zirkulieren. Pardon, sonst ist es ja alles richtig. So, Regel der rechten Hand, wenn ich die Finger krümme, sodass die Finger in die Zirkulationsrichtung des Feldes zeigen, dann wird der Rotationsvektor in die Richtung des Daumens zeigen, das ist der Rotationsvektor. Das wissen wir aus dem Thema Veranschaulichung von Rotation. Nun, was bedeutet das für den Satz von Stokes? Also ich betrachte erst mal das Integral des Feldes F über die Randkurve! Wenn das Feld stark um die Kurve zirkuliert, dann ist dieses Integral Maß für die Stärke der Zirkulation. Einerseits. Andererseits, wenn das Feld um die Randkurve zirkuliert, dann entsteht auf der Fläche ein Rotationsvektor. Und ein Rotationsvektor steht senkrecht auf der Fläche. Diese 3 Vektoren nenne ich Rotationsfeld, natürlich gibt es mehr Vektoren, nicht nur 3. Und wenn ein Vektorfeld, in diesem Fall ein Rotationsfeld, senkrecht auf einem Rotationsfeld steht, dann bedeutet das, dass der Fluss von diesem Vektorfeld, also in diesem Fall Rotationsfeld durch die Fläche von null verschieden ist. Das heißt, der Fluss ist vorhanden, das ist eine große Zahl. So, und wir haben diese gegenseitige Entsprechung. Wenn das Vektorfeld um die Randkurve u m die Fläche S herum zirkuliert, dann muss das Kurvenintegral des Feldes groß sein andererseits. Über diesen Mechanismus soll gleichzeitig Rotationsfeld durch die Fläche hindurchfließen. Sehr stark hindurchfließen. Diese Integrale haben gleichzeitig großen Wert. Und sofern ist es plausibel, wenn sie gleich sein sollen. Damit sie natürlich nicht gleich bewiesen, dass sie gleich sein sollen, zumindest ist damit der Plan gemacht, wenn sie gleichzeitig große Werte haben. Und was war das für eine Situation? Also F war tangential an die Randkurve und Rotationsfeld senkrecht zu S. Wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind, dann haben die beiden Integrale einen großen Wert. Also die beiden Integrale haben einen großen Wert zugleich. Nun betrachten wir eine andere Situation. Wieder dasselbe Modell, eine Kreisscheibe. Und in diesem Fall betrachte ich ein Feld, das nicht um die Randkurve zirkuliert, sondern senkrecht durch die Randkurve hindurchgeht, also senkrecht auf der Randkurve steht. So, das ist Feld F. Was wissen wir über die Rotation. Das Feld dreht sich überhaupt nicht um die Fläche, das heißt, auf der Fläche entsteht keine Rotation. Ich sage mal, Rotation ist 0. Das deute ich mit diesen Punkten an. Rotation von F ist 0, es ist nichts vorhanden. Wenn das Feld nicht rotiert um die Fläche herum, ist Rotation 0. Und wir schauen mal, was mit den Integralen passiert. Das Feld F ist in diesem Fall nicht tangential, sondern senkrecht zu der Randkurve dS einerseits. Und das bedeutet, dass die Rotation des Feldes auf 0 ist, diese Punkte. Was bedeutet das für die Integrale? Wir haben gelernt, beim Thema Kurvenintegral, das wenn ein Feld senkrecht auf einer Kurve steht, dann bedeutet das, dass das Kurvenintegral von diesem Feld gleich 0 ist, einerseits. Und andererseits, wenn die Rotation gleich 0 ist, dann ist der Fluss der Rotation gleich 0, es fließt nichts. Also Fluss der Rotation durch die Fläche S ist auch gleich 0. In einer solchen Situation, wie im Bild, sollen die beiden Integrale den Wert gleich 0 haben. Also die beiden Integrale sind null zugleich. Wir sehen, aufgrund der Natur der Rotation, sind beide Integrale in Integralsatz von Stokes entweder sehr stark zugleich oder gleich 0 auch zugleich. Damit ist natürlich nicht bewiesen, dass sie nicht gleich sein sollen, aber sie haben ja dieselbe Tendenz. Ist der eine Integral in einem großen Wert, also hat er eine starke Zirkulation, da muss eine Rotation vorhanden sein, sie durch die Fläche fließen. Das andere Integral soll einen großen Wert haben. Wenn das eine Integral einen Wert von 0 hat, das Feld zirkuliert nicht um die Randkurve herum, sondern geht durch sie senkrecht hindurch, dann ist das Kurvenintegral gleich 0. Wenn das der Fall ist, dann entsteht keine Rotation. Und sofern ist der Rotationsintegral gleich 0. Ich hoffe, damit ist eine mehr oder weniger klare Anschauung gegeben zum Satz von Stokes. Und noch zum Schluss möchte ich euch sagen, inwiefern so ein Integral, Integral des Rotationsfeldes über ein Flächenstück von dem Verlauf einer Fläche unabhängig ist. Das ist so ein Aspekt, der in Übungsaufgaben sehr oft benutzt wird. Und das ist die abschließende Betrachtung in diesem Video. Und wenn diese Veranschaulichung nicht klar genug geworden ist, dann schaut euch bitte die Veranschaulichung von Divergenz und Rotation an und schaut euch die beiden Beiträge zu vektoriellen Kugelintegralen und Vektorellen Flächenintegralen an . Da sage ich was zur Veranschaulichung, und wenn man diese Informationen zusammenstückelt, bekommt man das, was gerade an der Tafel gestanden hat. Abschließend eine Folgerung über Unabhängigkeit des Flusses der Rotation von der Fläche. Unabhängigkeit des Integrals, also Fluss der Rotation über ein Flächenstück von der Fläche. So ganz ist das Integral von der Fläche nicht unabhängig, aber im Wesentlichen unabhängig. Jetzt wollen wir das präzisieren. Ich erinnere euch, was haben wir bei Kugelintegralen, sektoral ist das alles verwandt. Also, was hatten wir bei Kugelintegralen. Wenn F ein Potenzialfeld ist, das heißt durch die Gleichung -1 gradierend u gegeben ist. U ist Potenzialfunktion. Und dann haben wir eine Kurve Gamma mit dem Anfangspunkt Pa und dem Endpunkt Pe. So, dann haben wir folgende Formel, Integral des Feldes der Kurve Gamma, Arbeitsintegral. Der kann so geschrieben werden, kann durch Potenzial ausgedrückt werden. Das ist bereits das Potenzial, Potenzial auf den Anfangspunkt minus Potenzial am Endpunkt. Wir haben solche Formel und das bedeutet, dass Kugelintegral eine konservativen Feldes ist unabhängig vom Weg. Abhängig nur von den Randpunkten. Wir können den Weg ruhig verändern. Ein anderer Weg mit den gleichen Anfangspunkten betrachten, das wird dieses Integral nicht ändern. Es ist egal, welchen Weg wir integrieren, der Weg Gamma durch den Weg Eta, die beiden Integrale sind gleich. Das heißt, der Kugelintegral eines Potenzialfeldes ist vom Weg unabhängig. Und etwas ähnliches haben wir mit Oberfächerintegralen. Also bei Kugelintegralen haben wir Gradient von u integriert minus Gradient (hier in diesem Fall integrieren wir Rotationen des Feldes). Und nicht nur längst in eine Kurve, sondern durch eine Fläche. Nun betrachten wir wieder so eine Kreisscheibe. Das ist hier die untere Seite der Kreisscheibe und die nenne ich S1. Und diese Kreisscheibe überdecke ich mit einer Schale. So wird die Schale aussehen, so ungefähr. Das ist eine Schale und diese Schale nenne ich S2. Was ist hier gemeinsam für die Kreisscheibe S1 und die Schale S2? Die beiden Flächenstücke haben die gleiche Randkurve. Also kriegt sie dann vielleicht eine andere Farbe. Das ist die Randkurve - blau. Also die Randkurve von S2 ist dasselbe wie die Randkurve von S1. Also seien S1 und S2 zwei Flächenstücke mit der selben Randkurve. Das heißt die Randkurve von S1 ist die gleich wie die Randkurve von S2 und diese gemeinsame Randkurve nenne ich kurzerhand Gamma. Das blaue hier ist Gamma. Dann gilt für beliebiges F Vektorfeld folgendes: Fluss der Rotation des Feldes F durch die Fläche S1 ist gleich dem Fluss der Rotation des Feldes F durch die Fläche S2. Der Oberflächenintegral des Rotationsfeldes ist von der Fläche in diesem Sinne unabhängig. Solange die Randkurve fest ist, dann kann ich die Fläche variieren. Ich kann S1 zu S2 deformieren, das Flussintegral wird sich nicht ändern, das Flussintegral wird den gleichen Wert haben. Und wir wollen uns klar machen, warum das so ist. Also nach dem Satz von Stokes, ist der Fluss der Rotation durch die Feldfläche S1 ist gleich der Oberflächenintegral der Fläche F durch die Randfläche. Das ist der Satz von Stokes. Nach unserer Voraussetzung, die Randkurve von S1 ist gleich die der Randkurve S2. Nun wenden wir wieder den Satz von Stokes an und nach dem Satz von Stokes ist der Fluss der Rotation des Feldes durch die Fläche S2. Fazit: Das Integral eines Feldes, also Oberflächenintegral der Rotation eines Feldes durch ein Flächenstück S ist nur von der Randkurve dS abhängig und nicht vom besonderen Verlauf der Fläche S außerhalb der Randkurve. Das ist eine einfache Konsequenz aus dem Satz von Stokes. Und das bringt den Vorteil, dass wir flexibel bei der Wahl der Fläche sind. Wenn wir Fluss eines Vektorfeldes durch ein Flächenstück rechnen sollen und wir wissen, dass das Feld ein Rotationsfeld ist, dann können wir die Fläche zu einem gewissen Grad beliebig frei wählen. Wir dürfen die Fläche ganz bequem wählen, solange die Randkurve feststeht. Wenn wir das Integral rechnen sollen, dann nehmen wir möglichst einfache Flächen mit derselben Randkurve. Und diesen Umstand werde ich in noch einer Aufgabe illustrieren, am konkreten Beispiel ausrechnen, sodass das Integral von der Fläche S unabhängig ist. Gut also schaut euch die Übungsaufgaben an.

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    @Angelus:
    Das geht aber auch nur bei einer einfachen Scheibe ohne Loch. Oder wie kommst du mit dieser Regel darauf, das bei einer Scheibe mit Loch die innere Kurve entgegengesetzt orientiert ist? Bei dem Beispiel mit dem Zylindermantel kann macht man sich das auch besser mit der "Spaziergängermethode" klar finde ich.

    Von Estner, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Zum Theme induzierte Orientierung: Rechte Hand, Daumen zeigt in Richtung des Normalvektors, dann zeigen die anderen Finger in Richtung der Orientierung. Nicht verwechseln mit der Rechten hand Regel

    Von Angelus85, vor fast 7 Jahren