Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Satz von Stokes – Aufgabe 2

Das ist eine Aufgabe zur Anwendung des Satzes von Stokes. Hier ist ein Vektorfeld B gegeben durch irgendwelche Bedingungen und durch andere Bedingungen ist eine Fläche S gegeben. Und wir wollen den Fluss des Vektorfeldes B durch die Fläche S berechnen. Das Gemeine an dieser Aufgabenstellung ist, wenn wir das Vektorfeld B explizit ausrechnen und uns die Fläche S anschauen, dann wird die direkte Rechnung ungemein kompliziert und aufwendig. Wir wollen geschickt den Satz von Stokes anwenden, mit dem wir alles einfach machen können. Das ist die Aufgabenstellung. Vordergründig müssen wir einfach nur ein Flussintegral ausrechnen. Wenn man es direkt macht, ist es schwer, wenn man es mit dem Satz von Stokes macht, dann ist es einfach. Wir wollen uns die Einzelheiten anschauen. Als 1. wollen wir die Fläche S veranschaulichen. Sie ist durch eine Gleichung und eine Ungleichungskette gegeben. Nun wollen wir uns klarmachen, wie die Fläche S aussieht. Hier ist noch mal die Aufgabenstellung, bevor sie weggewischt wird. Der 1. Teil unserer Aufgabe ist die Veranschaulichung, Veranschaulichung von S. Wie machen wir das? Wir machen das Übliche. Und das Übliche ist, wenn wir nicht wissen, welche Fläche im dreidimensionalen Raum durch die bestimmte Gleichung gegeben ist, dann schneiden wir den dreidimensionalen Raum mit geeigneten Ebenen, machen uns klar, wie die Schnitte mit der Fläche S aussehen und aus der Gestalt dieser Schnitte stellen wir die dreidimensionale Gestalt der Fläche S wieder her. Also das klingt vielleicht ein bisschen kompliziert, ist aber im Grunde einfach. Also als 1. schneiden wir unser Koordinatensystem, den Raum, mit einer Ebene parallel zur xy-Ebene. So, hier ist diese Ebene, die die z-Achse auf der Höhe, meinetwegen z0, schneidet. Und z0 ist irgendeine Konstante. Meinetwegen ist z0 1,2 oder 3, also denkt euch irgendwelche festen Zahlen aus. So, also als 1.: Der Schnitt von S mit der Ebene, die Ebene hat eben die Form x,y,z von R3, wobei x,y beliebig sind und z bei z0 fixiert ist. Das ist diese Ebene hier. Der Schnitt von S mit dieser Ebene hat die Gleichung, nun schauen wir uns die Gleichung, durch die die Fläche S definiert ist, an, und dort müssen wir die Koordinate z bei z0 festhalten. Also x²+y²-z0, also z fixiere ich bei z0=1. Damit wir das besser analysieren können, schiebe ich z0² auf die rechte Seite und ich bekomme x²+y²=1+z0². 1+z0² ist eine positive Konstante, x und y sind Laufvariablen. Also, wir haben x² und y², das ist eine feste Zahl. Das ist natürlich die Gleichung der Kreislinie. Das ist eine Kreislinie und der Mittelpunkt ist im Ursprung und der Radius, der ist momentan nicht wichtig. Der Radius ist natürlich \sqrt(1+z0²). Aber der Radius ist nicht wichtig. Wichtig ist, dass es eine Kreislinie ist. Also, wenn ich die Fläche S mit einer solchen Ebene schneide, dann kriege ich eine Kreislinie. Und mehr will ich von diesem Schnitt nicht wissen. Also egal, auf welcher Höhe ich die Fläche S schneide, bekomme ich immer einen Kreis. Das bedeutet, dass die Fläche S bezüglich der z-Achse symmetrisch ist. Und das ist schon eine sehr wichtige Information. Also diese Ausdrücke x²+y² sind unsere Freunde. Sie verraten, dass die Fläche bezüglich der z-Achse symmetrisch ist. So, das ist eine Kreislinie um die z-Achse. Und daraus folgt: Die Fläche S ist symmetrisch bezüglich der z-Achse. Wunderbar, das ist schon eine wertvolle Information. Als nächstes schneide ich die Fläche S mit der, meinetwegen, xz-Ebene und schaue mal, was dort passiert. Also der Schnitt von S mit der xz-Ebene, also das heißt, was wissen wir von der xz-Ebene? In der xz-Ebene ist die y-Koordinate immer gleich 0. Das heißt y=0 hat die Gleichung, da nehmen wir wieder die Gleichung, die die Fläche definiert, x²+y²-z² und schränken diese Gleichung eben auf die xz-Ebene ein. Dort ist y=0. Also ersetzen wir y durch 0 und bekommen die Gleichung x²-z²=1. Das soll uns bekannt vorkommen, denn das ist eine Hyperbel. Ich erinnere euch daran, wie die Hyperbel aussieht. Also in der xz-Ebene, hier ist die xz-Ebene, x-Achse, z-Achse, haben wir die Hyperbel. x²+z²=1 wäre eine Kreislinie, x²-z², minus, das wird eine Hyperbel sein. Diese Hyperbel hat die Winkelhalbierenden als Asymptoten und, dann nehme ich mal eine andere Farbe, und sie verläuft so rum. Ja, das ist die Hyperbel. Es gibt Videos zum Thema Niveaulinien und da habe ich eine gründliche Einführung in die Hyperbeln gemacht. Wenn jemand das nötig braucht, dann kann man da noch mal nachschlagen. Aufgabe 1 zum Thema Niveaulinien, da erzähle ich alles über Hyperbeln, was man wissen soll. Gut. Und ich nutze diese Information, dass es eine Hyperbel in der xz-Ebene ist und die Hyperbel schneidet die x-Achse offensichtlich bei 1 und -1. Wenn man die Punkte x+-1 und z=0 in diese Gleichung einsetzt, dann geht die Gleichung auf, dann haben wir solche Hyperbeln. So, nun haben wir 2 Informationen. 1. die Fläche S ist symmetrisch bezüglich der z-Achse und 2., wenn wir die Fläche S mit der xz-Ebene schneiden, dann kriegen wir diese grüne Hyperbel. Daraus folgt, dass sich die Fläche S aus der Rotation dieser Hyperbel um die z-Achse ergibt. Wenn wir die Hyperbel um die z-Achse rotieren, dann kriegen wir die Fläche S. Und so ist die Fläche S erfolgreich veranschaulicht. Und ich verrate euch, na gut, ich zeichne zuerst skizzenhaft die Fläche, und dann reden wir weiter. Also die Fläche ist eine rotierende Hyperbel und die Rotation erfolgt um die z-Achse. So sieht es aus. Das soll symmetrisch bezüglich der z-Achse sein, tatsächlich symmetrisch. So mehr oder weniger. Habe ich das hingekriegt? Also so ungefähr wird diese Fläche aussehen. Ich will sie nicht ewig lange zeichnen. Uns interessiert nicht die ganze Rotationsfläche, die sich aus der rotierenden Hyperbel ergibt, sondern nur bestimmte Teile. Nur die Teile, die zwischen den Werten von z -\sqrt3 und 2\sqrt2 liegen. Das heißt, es geht maximal bis zur Höhe 2\sqrt2 und fängt an bei der Höhe -\sqrt3. Das ist unsere Fläche S. Was uns noch fehlt, sind noch ein paar Angaben. Hier irgendwo haben wir die xy-Ebene, hier sind die Achsen, x-Achse und y-Achse. Und für die Zukunft werden 2 Informationen wichtig sein. Also wir sehen, die Randkurven dieser Fläche sind 2 Kreise und wir wollen jetzt auf die Schnelle die Radien dieser Kreislinien ausrechnen. Das ist nicht schwer. Ganz oben, hier ist übrigens die z-Achse, ganz oben haben wir die Höhe z=2\sqrt2. Das setze ich in die Gleichung hier ein. x²+y², und dann setze ich (2\sqrt2)², nicht + sondern -, und das ist gleich 1. Und dann bekomme ich dadurch die Gleichung der Kreislinie da oben. Also, das ist x²+y², (2\sqrt2)² ist 8, 1+8=9 und insgesamt habe ich x²+y²=9, und 9 ist 3². Also so, auf die Schnelle, haben wir berechnet, dass der Radius der oberen Kreislinie =3 ist. Und dann mache ich das ganz schnell für die untere Kreislinie. Die Rechnung erfolgt genauso. Also ich nehme erst mal die Definierung der Gleichung der Fläche, das ist x²+y²-z², das ist gleich 1. Und da ganz unten ist z=-\sqrt3. Also (-\sqrt3)². (-\sqrt3)² macht 3, 1+3 macht 4 und x²+y²=2², 2² ist 4. Und so haben wir festgestellt, dass die Kreislinie hier unten den Radius 2 hat. Radius 2 und die Höhe -\sqrt3. Diese Daten werden wir noch benötigen in der Zukunft. Nun wissen wir erst mal genug über die Fläche S. Die analytische Beschreibung der Fläche S brauchen wir nicht mehr, wir haben daraus ein Bild gebastelt und das reicht uns für unsere Zwecke. Jetzt wenden wir uns unserer unmittelbaren Aufgabe zu. Wir wollten da den Fluss eines bestimmten Vektorfeldes durch diese Fläche ausrechnen. Ach ja, übrigens, diese Fläche hat auch einen Namen, einen schrecklichen Namen. Sie heißt einschaliges Hyperbolid. Hyperboloid, weil sie aus der Rotation von Hyperbeln entsteht. Und einschalig, das kann ich jetzt schlecht vermitteln. Es gibt auch zweischalige Hyperboloide,. Zweischalige Hyperboloide sehen so aus. Hier ist die z-Achse. Also solche Sachen heißen zweischalige Hyperboloide, entstehen auch aus der Rotation von Hyperbeln. Solche Sachen heißen einschalige Hyperboloide. Also Hyperboloid ist verständlich, weil es aus Hyperbeln entsteht und einschalig, weil es eben nicht zweischalig ist. Gut, das ist, die Fläche S, ist ein einschaliges Hyperboloid. Jetzt haben wir auch diesen schrecklichen Namen an der Tafel. Nun wirklich zum Integral. Also wir wollen das Integral berechnen. Berechnung von Flussintegralen. Das Vektorfeld B fließt langsam aber sicher durch die Fläche S und wir wollen die Intensität von diesem Fluss berechnen. Ich schlage euch vor, berechnet das Vektorfeld B explizit. Also rechne nach. Das Vektorfeld B war dort definiert durch die folgende Gleichung: Vektorfeld B war die Rotation von Vektorfeld A und Vektorfeld A war explizit gegeben durch folgende Formeln: -yz², xz², xy². Und jetzt drückt bitte auf die Pausetaste und rechnet diese Rotation aus. Ihr werdet feststellen, das will ich jetzt nicht vorrechnen, das ist langweilig, es ist 2xy-2xz, dann -2yz-y² und 2z². Übrigens sind solche Situationen in der Physik üblich. Also wenn B gleich der Rotation von A ist, dann nennt man A das Vektorpotenzial von B. Das macht man tatsächlich in der Elektrodynamik für das Feld der magnetischen Induktion. A nennt man tatsächlich Vektorpozential und es spielt eine herausragende Rolle in der Elektrodynamik und allem, was sich daraus ergibt. Also die Situation ist nicht ausgedacht, das ist eine realistische Situation, aber wir interessieren uns erst mal nicht für die Physik, wir machen es formal, wir sind in der Mathematik. So, was wollte ich denn damit sagen? Das Vektorfeld B sieht nicht ganz einfach aus und die Fläche S sieht auch nicht ganz einfach aus. Die Fläche S ist eine Rotationsfläche, die können wir auch parametrisieren mit den Methoden, die ich auf dieser Seite präsentiert habe, bloß die Schwierigkeit ist die, dass wir die Fläche S zerlegen sollen in den Teil oberhalb der xy-Ebene, und in den Teil unterhalb der xy-Ebene. Da können wir unterschiedliche Parametrisierungen hinschreiben. Man kann das auch ohne Zerlegen machen, aber mit den Methoden, die ich auf der Seite gezeigt habe, geht das nicht. Also, wir sollen mit den Methoden, die ich auf diese Seite präsentiert habe, die Fläche S wirklich zerlegen in 2 Teile und dann mühsam in dieses Vektorfeld integrieren und das alles ist viel zu aufwendig. Das macht viel Arbeit und das will ich euch nicht antun. Und aus dieser Überlegung heraus wollen wir diesen Fluss schlauer berechnen. Die Idee dazu liefert uns der Satz von Stokes. Also Ansatz: Das Integral des Feldes B längs der Fläche S. Jetzt nutzen wir dann die Beziehung zwischen den Feldern B und A aus. Das ist das Integral der Rotation des Feldes A. Der Fluss der Rotation des Feldes A durch die Fläche S, durch diesen Ausschnitt aus dem einschaligen Hyperboloid. So, und nun sind wir perfekt in der Situation, genau in der Situation des Satzes von Stokes. Wenn ich, statt Satz von Stokes, vorher Satz von Gauß gesagt habe, dann Entschuldigung. Vielleicht habe ich mich da verquatscht. So, also der Satz von Stokes, jetzt nutzen wir den Satz von Stokes. Und der Satz von Stokes sagt uns, dass der Fluss der Rotation des Feldes A durch eine Fläche S gleich dem Kurvenintegral des Feldes A durch die Randkurve der Fläche S ist. Was haben wir da gewonnen? Wir haben das Vektorfeld A, Vektorfeld A sieht nicht so aufwendig aus wie seine Rotation. Und was ist denn der Rand der Fläche S? Der Rand der Fläche S besteht aus 2 Kurven. Da haben wir auch eine nicht ganz typische Situation. Der Rand der Fläche S hat 2 Zusammenhangskomponenten. Also, hier unten haben wir eine Randkurve und oben haben wir eine Randkurve. Die untere Randkurve nenne ich γ1, die obere Randkurve nenne ich γ2. Der Rand der Fläche S ist die Vereinigung der Kurven γ1 und γ2. Wenn das so ist, dann können wir das Integral, wie folgt, umschreiben: Ja, dass das der Satz von Stokes ist, haben wir schon gemerkt. Dann ist es die Summe des Integrals längs der 1. Randkurve, den Pfeil habe ich vergessen, + die Summe des Integrals längs der 2. Randkurve. Die Kreislinien γ1 und γ2 sind ja sehr einfach. Das sind sehr einfache Kurven. Welche einfachen Kurven kennen wir? Die Strecken- und Kreislinien. Also sind denkbar einfach. Deswegen ist die Berechnung von diesen 2 Integralen über γ1 und γ2 sehr viel einfacher als die Berechnung des Flusses von Feld B durch die Fläche S. Die Fläche S ist kompliziert, das Feld B ist kompliziert, deswegen ist die Berechnung des Integrals aufwendig. Aber mit dieser Trickserei, mit dem Satz von Stokes, haben wir einfach nur 2 Kurvenintegrale. Und das ist easy. Das ist der Ansatz und nun wollen wir der Reihe nach diese 2 Kurvenintegrale ausrechnen. Dabei sollen wir Folgendes beachten: Im Satz von Stokes ist gesagt, dass die Randkurve der Fläche S die induzierte Orientierung trägt. Und nun wollen wir uns klarmachen, was ist denn die induzierte Orientierung in diesem Fall. In der Aufgabenstellung ist gesagt, dass die Fläche S nach außen orientiert ist. Das heißt, die Außenseite, es ist schon anschaulich klar, wo hier die Außenseite ist, die ist positiv. Und dann sollen wir uns überlegen, welche Orientierung sich auf den Randkurven ergibt, die hier mit der Orientierung der Fläche verträglich ist. Die induzierte Orientierung. Wir erinnern uns an die Regeln. Wir gehen dann auf der positiven Seite der Fläche spazieren, und, wenn wir dann in der richtigen Richtung die Randkurven umlaufen, dann wird die Fläche links liegen bleiben. Das heißt, die induzierte Orientierung hier unten ist dann dieser Teil. Wenn wir in die Richtung des roten Pfeils laufen, dann bleibt die Fläche links liegen. Und nachdem, was wir im Beitrag über die Theorie zum Satz von Stokes gelernt haben, wird dann die obere Randkurve die entgegengesetzte Orientierung tragen. Das heißt, wenn wir hier oben spazieren gehen auf der Fläche, und entlang der entgegengesetzten Richtung laufen, dann wird die Fläche links liegen bleiben. Und das heißt, die induzierte Orientierung auf der oberen Kurve ist die hier. Also, die beiden Kurvenintegrale sollen dann mit den gegebenen Orientierungen berechnet werden. Wenn wir die Orientierung nicht berücksichtigen, dann machen wir einen Vorzeichenfehler. Dann haben wir die Summe aus 2 Zeilen mit falschen Vorzeichen, und es ergibt sich eine total falsche Zahl. Nicht nur mit falschen Vorzeichen, sondern mit falschem Betrag. Gut, das sind die Ansätze, das sind die Vorbereitungen und grundsätzlich haben wir besprochen: Es bleibt nur, diese 2 Integrale zu berechnen. Und das machen wir. Also Berechnung vom Integral über γ1 und das geht jetzt wirklich schnell. Berechnung vom Integral über der Kurve γ1 des Feldes A. Nun absolvieren wir das übliche Programm. Wir parametrisieren die Kurve, wir berechnen den Tangentialvektor, wir werten das Vektorfeld A auf der Parametrisierung aus, bilden das Skalarprodukt, integrieren das Skalarprodukt. Und ich empfehle euch, berechnet diese 2. Gerade selbst. Also die grundsätzlichen Sachen habe ich hier erledigt und alle nötigen Daten stehen da im Bild. Gut, Parametrisierung von γ1. Das ist φ1(t). Und wie parametrisiert man Kreise? Das ist hinlänglich bekannt. γ1 ist eine Kreislinie mit dem Radius 2, also hier habe ich 2 und 2, also den Kreis habe ich parallel zur xy-Ebene, deswegen habe ich hier in der Parametrisierung die x- und y-Komponenten den Ansatz der Kreise 2cost und 2sint. Der Kreis γ1 befindet sich auf der Höhe -\sqrt3, also -\sqrt3 kommt in die 3. Komponente zu stehen. Das ist die Parametrisierung. Wo läuft der Parameter t? Das ist sehr bekannt. Wir sollen den vollen Umlauf machen und deswegen läuft t von 0 bis 2π, wie üblich. Nun kümmern wir uns um die Orientierung. Also wir wissen, wenn wir diesen Ansatz cost, sint haben, dann haben wir in der xy-Ebene eine Bewegung gegen den Uhrzeiger. Mit dieser Parametrisierung ist eine Bewegung gegen den Uhrzeigersinn realisiert. Dann schauen wir auf die Kurve γ1, von oben, und sehen, gegen den Uhrzeiger ist genau die Richung, die mit dem roten Pfeil angedeutet ist. Das heißt, diese Parametrisierung  ist mit der Orientierung der Kurve γ1 verträglich. Also die Parametrisierung 1, die realisiert den Umlauf der Kurve γ1 gegen den Uhrzeigersinn, wenn wir das von oben betrachten. Deswegen ist diese Parametrisierung  mit der Orientierung der Kurve γ1 verträglich. Also, wir rechnen ruhig weiter, ohne uns um die Vorzeichen zu kümmern. Also 1 ist mit der Orientierung von γ1 verträglich. Und noch einmal: Woher hat γ1 ihre Orientierung?  Von der Orientierung der Fläche. Wie ist die Fläche S orientiert? Nach außen. Also die äußere Seite gilt als positiv. Nun, wenn wir grundsätzliche Fragen geklärt haben, dann bleiben ein paar technische Einzelheiten. Das Vektorfeld A an der Parametrisierung sollen wir noch auswerten. Das heißt, in das Vektorfeld A setze ich eben diese Zahlen ein: 2cost, nicht Zahlen, sondern Ausdrücke, 2cost, 2sint, -\sqrt3, und das Vektorfeld A war an der Stelle x,y,z gegeben durch die Gleichung, durch die Komponenten -yz², xz², xy². Das ist alles halt noch anständig, also keine ellenlangen Ausdrücke. Wie üblich setze ich dann statt x 2cos t ein, statt y setze ich dann 2sin t ein und statt z setze ich dann -\sqrt3 ein. Los geht es. Ich habe hier -y, das ist 2sin t, und dann z², z² ist 3, und x, das ist 2cost×z², z² ist wieder 3 und dann xy², das ist (2cost)×(2sint)². Gut. Und was kann ich da machen? Vielleicht lasse ich das so stehen. Als Nächstes berechne ich das Integral. Also Integral des Feldes A längs der Kurve γ1 ds =, und dann kennen wir die Formel, Integral von 0 bis 2π, Integral über den Definitionsbereich der Parametrisierung, Skalarprodukt Feld A, ausgewertet an der Parametrisierung 1×Tangentialvektor, der von dieser Parametrisierung herkommt. Und noch einmal: Die Parametrisierung 1 ist mit der Orientierung der Kuve γ1 verträglich. Deswegen korrigieren wir das Vorzeichen nicht, wir rechnen so. Wäre die Parametrisierung 1 mit der Orientierung von γ1 nicht verträglich, dann müssten wir die Vorzeichen korrigieren, hier - schreiben. Aber hier haben wir eine Verträglichkeit, deswegen erfolgt keine Korrektur der Vorzeichen. Und ein bisschen noch ausrechnen: Integral von 0 bis 2π, Skalarprodukt und hier steht die Komposition a Kringel 1, das ist -6sint, 6cost und  2×4 macht 8 sin²t cos²t und × 1'. 1' ist natürlich -2sint, dann 2cost und 0. Nullen sind immer gut. Dieses 8 sin²t cos²t ist nicht relevant, es wird mit 0 multipliziert. Nun wische ich alles weg, was ich nicht brauche und setze die Rechnung fort. Was habe ich denn? Na, ich brauche das nicht zu kommentieren, was passiert. Vielleicht doch ein bisschen fummeln. Also ich kann 2 ausklammern aus dem 2. Vektor nach vorne, und aus dem 1. Vektor klammere ich 6 aus. 6×2 gibt 12, also vor dem Integral habe ich 12 als Vorfaktor, die 2 ist ausgeklammert, hier ist 6 ausgeklammert, 8/6 macht 4/3, und 0× dieser Müll, das kümmert uns nicht. Wir haben -sint×-sint, das ist insgesamt +sin²t, und dann +cos²t. Also dieses Skalarprodukt =1. Und wir haben 12∫dt von 0 bis 2π, das ist natürlich 12×2π, und das ist 24π. Die Rechnung war sehr hübsch, sehr easy. Wir haben dann das Integral längs der Kurve γ1. Das halte ich hier fest. Also Integral längs der Kurve γ1=24π. Nun muss man dasselbe bezüglich der Kurve γ2 machen. Das geht analog. Das mache ich hier gar nicht so ausführlich, weil diese Schritte wirklich Routine sind. Ja, wenn wir schon dabei sind, wenn wir schon beim Satz von Stokes angekommen sind, dann sind diese Rechnungen wirklich sehr, sehr, sehr banal für uns. Also Parametrisierung 2, also Parametrisierung wovon? Natürlich von der Kurve γ2. Ich habe mich da angestrengt, das Integral über die Kurve γ2 auszurechnen. Parametrisierung von γ2, das ist φ2(t) und dann nehmen wir einfach nur die Standardparametrisierung. Der Radius von diesem oberen Kreis ist 3, also 3cost, 3sint und der Kreis γ2 befindet sich auf der Höhe 2\sqrt2. So, und t läuft natürlich von 0 bis 2π. Das ist die Parametrisierung. Und dann mache ich hier dieselbe Diskussion und letztendlich dieselbe Rechnung. Na ich weiß, wie diese kanonische Parametrisierung funktioniert. Wenn man auf den Kreis γ2 von oben schaut, dann gibt uns diese Parametrisierung den Umlauf gegen den Uhrzeigersinn, das habe ich hier unten diskutiert. Diese Parametrisierung φ2 gibt uns den Umlauf gegen den Uhrzeigersinn von oben gesehen, von der Spitze der z-Achse gesehen. Und der Umlauf gegen den Uhrzeigersinn, von der Spitze der z-Achse gesehen, das passt uns nicht. Wir sehen, der rote Pfeil zeigt anders rum. Also die Parametrisierung φ2 ist mit der Orientierung der Kurve γ2 nicht verträglich. Also φ2 parametrisiert die Kurve γ2, aber realisiert die falsche Umlaufrichtung. Was heißt die Falsche? Die Umlaufrichtung, die nicht die implizierte Parametrisierung gibt, sondern die entgegengesetzte. Die Moral dieser Geschichte ist die, dass wir bei der Berechnung des Integrals mit dieser Parametrisierung einfach nur die Vorzeichen korrigieren sollen. Also φ2 ist mit der Orientierung von γ2 nicht verträglich. Und das ist das Einzige, was man hier falsch machen könnte, dass man mit der Orientierung nicht klarkommt. Das ist nicht verträglich, deswegen korrigieren wir das Vorzeichen beim Integral. Deswegen korrigieren wir das Vorzeichen beim Integral. Und diese Rechnung möchte ich nicht weiter durchführen. Ich empfehle euch, macht es selbst. Was habe ich denn da? Integral des Feldes A längs der Kurve γ2=, also das Übliche: Integral von 0 bis 2π, Skalarprodukt A Kringelφ2, 2', die Ableitung von φ2 dt. Und weil die Parametrisierung von φ2 mit der Orientierung der Kurve γ2 nicht verträglich ist, und wir trotzdem mit der falschen Parametrisierung rechnen, dann müssen wir das Vorzeichen korrigieren. Dieses Integral wird das falsche Vorzeichen tragen und nur, um das wieder gut zu machen, schreibe ich - davor und dann ist alles in Ordnung. So, rechnet das bitte aus. Die Rechenschritte will ich nicht mehr wiederholen. Dann ist ja alles dasselbe, bloß taucht das in einer anderen Konstante auf. Vorher hatten wir die Konstante Radius 2 unten und die Höhe -\sqrt3. Hier haben wir den Radius 3 und die Höhe 2\sqrt2. Das ist das Einzige, was sich ändert. Alles andere ist genau dasselbe. Wenn man es richtig macht, dann bekommt man hier -144π. So, und dann kommen wir langsam zum Schluss dieser spannenden Aufgabe, zur Zusammenfassung. Also Ergebnis: Wir wollten ja den Fluss des Feldes B durch die Fläche S berechnen, durch den Ausschnitt dieses einschaligen Hyperboloid. Und der schlaue Satz von Stokes hat uns die Arbeit vereinfacht. Wir müssen einfach nur 2 Kurvenintegrale des Feldes A berechnen. Und das Feld A ist ein Vektorpotential des Feldes B. Das war unser Ansatz. Und das Kurvenintegral über die Kurve γ1 haben wir berechnet, das ist 24π in allen Einzelheiten. Und die Berechnung des Integrals über die Kurve γ2 habe ich abgekürzt, das war -144π. Und alles zusammen macht das -120π. Auf diese Weise haben wir das Flussintegral bestimmt und gesehen, wie uns der Satz von Stokes bei den Berechnungen hilft. Das hilft tatsächlich. In der Elektrodynamik benutzt man den Satz von Stokes wie eine einfache Rechenregel. Ab und zu wendet man den Satz von Stokes an, und gelegentlich auch den Satz von Gauß. Ich hoffe, diese Aufgabe war interessant für euch. Dankeschön.

Informationen zum Video