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Transkript Satz von Stokes – Aufgabe 1 Teil 1

Das ist eine umfassende Aufgabe zum Integralsatz von Stokes. Wir haben hier ein Vektorfeld F umgehen durch irgendwelche Formeln. Wir haben eine Rotationsfläche S, gegeben durch irgendwelche Bedingungen. Und für diese 2 Sachen wollen wir den Integralsatz von Stokes verifizieren. Hier unten habe ich noch einmal den Integralsatz von Stokes hingeschrieben. Der Satz von Stokes sagt, dass zwei gewisse Integrale gleich sind und in dieser Aufgabe wollen wir für die gegebene Fläche und das gegebene Vektorfeld diese beiden Integrale genau ausrechnen, und dann feststellen, ob sie in der Tat gleich sind, dass der Satz von Stokes stimmt. Gut, das mache ich im 1. Teil der Aufgabe in diesem ellenlangen Video. Und dann gibt es einen kleinen Nachtrag. Auf der rechten Seite vom Satz von Stokes haben wir ein Flussintegral, also Rotation, das Verhältnis F wird über ein Flächenstück ∂S integriert. Und dieses Integral, wie ich im Theorievideo besprochen habe, ist von der Fläche S unabhängig, also es hängt nur von der Randkurve D ab, aber nicht vom besonderen Verlauf der Fläche. Und deswegen möchte ich die Fläche S durch eine möglichst einfache Fläche ersetzen, die dieselbe Randkurve besitzt und zeigen, dass das berechnete Integral über die neue Fläche denselben Wert hat. Das heißt, noch einmal an einem Beispiel zeigen, dass dieses Integral vom Verlauf der Fläche unabhängig ist. Gut, dann fangen wir an. Dann sage ich mal, wir merken uns das Vektorfeld oder wir merken uns die Fläche S. Sie entsteht durch die Drehung der Parabel z=4-x² über dem Intervall von 0 bis 2 um die z-Achse. Und wir wollen Fläche parametrisieren und langsam nach und nach das Integral ausrechnen. So, das wird die nächsten vielen Minuten in Anspruch nehmen. Nun kommen wir zu den Einzelheiten. Das Feld brauchen wir eine Weile nicht mehr, das Feld merken wir uns. Na also, Berechnung des Rotationsflusses durch die Fläche S: Wir fangen natürlich mit der Parametrisierung der Fläche S an. Parametrisierung von S: Wie ist die Fläche S entstanden? Man nimmt die Funktion z=4-x². So sieht diese Funktion aus. Hier ist die z-Achse, hier ist die x-Achse. Hier ist natürlich 4 oben. Diese Kurve wird die x-Achse an der Stelle x=2 schneiden. Man nimmt diese Kurve und rotiert sie um die z-Achse. So, es entsteht folgende Rotationsfläche: Das ist so eine Schale, die kopfüber steht. Sie sollte eigentlich symmetrischer sein, als ich sie gezeichnet habe. So sieht sie aus. Und wenn du die Kurve schon um die z-Achse rotieren lässt, dann ist die z-Achse natürlich die Symmetrieachse. Also hier ist z. Das ist ein bisschen schief geraten, aber das werdet ihr mir nachsehen, weil wir es schnell machen wollen. Und hier ist irgendwo die x-Achse. Hier ist die y-Achse. Und weil die besagte Kurve die x-Achse bei x=2 schneidet und wir dann diesen Punkt den Ursprung rotieren, dann haben wir unten, also die Fläche S schneidet aus der xy-Ebene eine Kreislinie hier raus, mit dem Radius 2 und Mittelpunkt im 0, im Ursprung. So sieht die Fläche S aus. Und solche Rotationsflächen können wir locker parametrisieren. Zum Thema Parametrisierung von Flächen, das haben wir auf dieser Seite gelernt, gibt es einen Standardansatz. Wir sehen, wenn wir unsere Fläche S mit Ebenen schneiden, die parallel zur xy-Ebene verlaufen, dann erhalten wir als Schnittkurven Kreise. Kreise parametrisiert man mit r Cosinus φ, r Sinus φ. Um die 3. Komponente der Parametrisierung hinzuschreiben, schauen wir noch einmal auf die Kurve, aus der die Fläche entstanden ist. Dort ersetzen wir x durch r und fertig ist die Kiste: 4-r². Also es war z=4-x², für die z-Komponente der Parametrisierung ersetzen wir x durch r, und da haben wir es. Natürlich müssen wir noch sagen, wo die Parameter liegen. Das ist aber mehr oder weniger offensichtlich. Hier ist ein Radius und wir sehen, dass die Radien maximal 2 werden können. Wenn der rote Pfeil ganz unten ist, dann ist der Radius =2, wenn der rote Pfeil oben ist, dann artet der rote Pfeil in 1 Punkt aus. Also: Definitionsbereich der Parametrisierung ist Radius zwischen 0 und 2. Und weil die Fläche symmetrisch bezüglich der z-Achse ist, dann macht der Polarwinkel φ den folgenden Umlauf, also von 0 bis 2π. Das ist alles rechter Standard. Die Leute, die die Videos mehr oder weniger regelmäßig schauen, die sind schon dran gewöhnt. Gut, das ist Parametrisierung von S. Als Nächstes wollen wir den Normalvektor ausrechnen, der zu dieser Parametrisierung gehört, das heißt Kreuzprodukt der partiellen Ableitung in der Parametrisierung. Dann machen wir das eben. Das ist eine routinierte Rechnung. Ich empfehle euch, auf die Pausetaste zu drücken und den Normalvektor dazu selbst auszurechnen. Das muss man im Schlaf können. Der Normalvektor an die Fläche S, der aus dieser Parametrisierung entsteht, das ist das Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen. dφ nach dr Kreuz dφ nach de. Die partielle Ableitung nach r lautet: cosφ, sinφ-2r. Die partielle Ableitung nach φ lautet: -rsinφ, rcosφ und 0. Die dritte Komponente ist von φ unabhängig. 4r² ist 4-r² ist von φ unabhängig, deswegen die Ableitung =0. Nun bilden wir dieses Kreuzprodukt. Das ist ebenfalls eine routinierte Rechnung, würde ich nicht in die Länge ziehen. Dass hier unten 0 steht, das ist eine große Hilfe - da erübrigt sich einiges. Da habe ich 2r²cosφ, dann als Nächstes habe ich 2r²sinφ. Man berechnet die Kreuzprodukte nach der Determinantenregel, die ist auf dieser Seite auch beschrieben. Beim Themenkreis Rotation, Divergenz (unklar), da habe ich einen Crashkurs über Kreuzprodukte gemacht. Dann die dritte Komponente, das ist eine Standardrechnung: cosφ×rcosφ=rcos²φ-sinφ×-rsinφ=+rsin²φ. cos²φ+sin²φ=1. Und es bleibt r übrig. Gut, das ist der Normalvektor. Als Nächstes wollen wir langsam das Integral berechnen. Dazu sollen wir die Rotation von F berechnen und an der Parametrisierung φ auswerten. Das ist der nächste Punkt. Ich mache Platz frei. Berechnung von Rotation F Kringel φ. Das brauchen wir für das Integral nachher. Also das Feld F(x, y, z), das brauchen wir nun explizit. Was sagt mein Zettel? Mein Zettel sagt, dass das Feld folgende Komponenten hat: -x²y, xy² und xy+z². So, das Feld sieht harmlos aus. Jetzt berechnen wir die Rotation von F an der Stelle (x, y, z) und bekanntlich ist die Rotation das Kreuzprodukt vom Nabla-Vektor und dem Vektorfeld selbst. Also hier ist der Ansatz. Wir bilden das Kreuzprodukt vom Nabla-Vektor mit dem Vektorfeld -x²y, xy² und xy+z² und berechnen das Kreuzprodukt nach der bekannten Determinantenregel. Ich mache das schnell, will das nicht in die Länge ziehen. Also ich habe x, dann habe ich y, ja, und die 3. Komponente ist y²-(-x²). Jetzt muss ich mich noch einmal konzentrieren und schauen, ob ich das richtig ausgerechnet habe. Also die 1. Komponente ergibt sich aus der Determinante der unteren 4 Elemente, also x-0, dann 0, ah, Vorzeichenfehler. Verzeihung, -y. So, um die 3. Komponente, klar, ja. So, das ist die Rotation des Feldes F und wir können dann die 3. Komponente umschreiben, etwas geschickter umschreiben, -(-x²), das ist natürlich x². Dann ordnen wir alles alphabetisch um und bekommen x²+y². So, nun ist der Rotationsvektor berechnet. Dann werten wir Rotationsvektor auf der Parametrisierung aus. Rotation Kringel φ an der Stelle (rφ)=rotF, und nun denken wir dran, was unsere Parametrisierung war? Parametrisierung der Fläche S war durch die Komponenten rcosφ, rsinφ und 4-r² gegeben. Nun setze ich wie üblich die Dinger ein. Also rcosφ, das setze ich statt x ein. rsinφ, da setze ich statt y ein und hier, -r², das würde ich statt z einsetzen, aber der Rotationsvektor ist von z unabhängig, da brauche ich das gar nicht einzusetzen. Was bekommen wir? x, also rcosφ; -y, das ist -rsinφ und dann x²+y². x²+y² (unklar) ist das r². Das muss man sich merken, irgendwann. Nun haben wir auch das gemacht, und dann kommen wir unmittelbar zur Berechnung des Integrals. So, was behalte ich an der Tafel? Die untere Zeile brauche ich, alles Andere nicht. Das Integral: Die rechte Seite aus dem Satz von Stokes, Fluss der Rotation des Feldes F durch die Fläche S = ∫∫ bezüglich der Parameter. Parameter r variierte von 0 bis 2 (unklar). Parameter φ variierte von 0bis2π. Unter dem ∫ steht Skalarprodukt: Rotation des Feldes F Kringel Parametrisierung φ, und dann steht der Normalvektor, also Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen der Parametrisierung der Fläche. Wunderbar! Dann setzen wir die Dinger langsam ein. ∫ bezüglich r von 0bis2, ∫ bezüglich φ von 0bis2π. Rotation F Kringel φ, das haben wir gerade ausgerechnet, das ist: rcosφ, -rsinφ, r². Normalvektor haben wir auch irgendwann ausgerechnet, schlage ich nach, was wir da erhalten haben. Wir hatten da 2r²cosφ, 2r²sinφ und r erhalten. Und nun müssen wir das Skalarprodukt ausrechnen und dann die ganze Wirtschaft noch zweimal integrieren bezüglich φ einmal und dann bezüglich r. Bevor wir das Skalarprodukt ausrechnen, wir sehen die beiden Spalten in Skalarprodukt haben einen gemeinsamen Faktor. Also jede Spalte hat einen gemeinsamen Faktor r. Den Faktor werde ich ausklammern. Von dem 1. Vektor werde ich r abspalten und von dem 2. Vektor werde ich r abspalten. Also ich habe 2-mal r abgespalten und insgesamt steht r² vorne. Also vom 1. Vektor will ich r abspalten, so, dann habe ich das hier. Und vom 2. Vektor will ich r abspalten, dann habe ich das hier. So, dann habe ich ein bisschen weniger Kram unter dem Skalarprodukt, das ist eine geringfügige Verbesserung. So, dann übernehme ich die Integrale. ∫ bezüglich r von 0bis2, ∫ bezüglich φ von 0bis2π. Dann r², Klammer auf, die 1. Komponente ausmultiplizieren, das gibt 2rcosφ, die 2. Komponenten ausmultiplizieren, das gibt -2rsin²φ und die 3. Komponenten ausmultiplizieren, r×1=r, Klammer zu. Aus der mittleren Klammer können wir wieder r ausklammern. Also aus r² wird r³. Das kleine r können wir hier ruhig wegwischen. Statt +r wird einfach nur +1 hier hinten. Nun denken wir an die Standardformel für trigonometrische Funktionen. Es ist ja Folgendes bekannt: Bekannt ist, dass cos2φ=cos²φ, ach, meine Finger sind dreckig, cos²φ-sin²φ. Das weiß man. Wenn man das nicht weiß, dann nimmt man die Formelsammlung und schlägt nach. Für cos2φ gilt diese Formel, ja, cos²φ-sin²φ. Und hier haben wir 2×cos²φ-2×sin²φ, also 2 kann ich ausklammern. Und das, was in roten Klammern steht, das kann ich zusammenwickeln nach der erwähnten Formel. Aus den roten Klammern wird cos2φ+1. Nun kann ich das ∫ loslassen auf diesem Ausdruck. Vielleicht wieder r³ in die Klammer hineinschieben und das alles bezüglich φ aufintegrieren. So, und man ahnt schon, dass cos2φ diese Integration nicht überleben wird. Warum das so ist, das schauen wir noch einmal an. ∫ von 0 bis 2 bezüglich r, dann bezüglich φ integrieren wir das. Also wenn wir bezüglich φ integrieren, dann ist r natürlich eine Konstante und kann vor das ∫ geschoben werden. ∫0bis2π, 2cos2φdφ+r³. Ah, Moment, das ist vielleicht nicht so ganz geschickt mit diesem r. Das r kann ich ganz ausklammern. Also r²(+∫0bis2πdφ). Das ist meine 1 hier, ja, die wird integriert. So, und die Stammfunktion von 2cos2φ ist natürlich sin2φ. sin2φ, φ wird eingesetzt anstelle 0 und 2φ. Und sinφπ=0, sin0 ist auch 0. Also dieser Term überlebt nicht, dieser Term ist 0. Und beim 2. Term, da gibt's nichts zu machen. Das ist ∫0bis2π, φ ist einfach nur 2π. Also die ganze Klammer ist einfach nur 2π. Nun setzen wir die Integration so fort. Bei r müssen wir ein kleines bisschen arbeiten, wir müssen was integrieren. Also 2π∫r³dr(0bis2). Und hier bestimmen wir mühelos die Stammfunktion. Die Stammfunktion ist 2πr4/4, r, an der Stelle 2 einsetzen, r, an der Stelle 0 einsetzen. Dann haben wir 2π/4=π/2. Und 24=16, 04=0. Und dann haben wir 8π. So, sehr schön. Das ist unser 1. Ergebnis. Wir wollten den Fluss der Rotation durch die Fläche S ausgerechnet haben und hier ist es. Die Zeile ist 8π. Also die Rotation fließt ganz ordentlich durch diese Schale S und der Wert ist 8π. Das ist der 1. Teil der Aufgabe, nun kommen wir zum 2. Teil. Die linke Seite des Satzes von Stokes ist ein Kurvenintegral. Und dieses Kurvenintegral wollen wir nun auch ausrechnen. Dabei kommt die Orientierung ins Spiel und wir müssen da ein bisschen aufpassen. Gerade davon wird noch die Rede sein, also lasst uns das Kurvenintegral ausrechnen. Was berechnen wir jetzt? Wir berechnen das Kurvenintegral, weil die Randkurve von S beschlossen ist, dann schreibe ich eben Kringel. Und integriert wird das Feld F. Dieses S hinter dem Differenzial hat mit der Fläche S nichts zu tun, das ist eine zufällige Übereinstimmung. dS bedeutet hier Streckenelement. Womit fangen wir an? Natürlich mit der Parametrisierung. Parametrisierung von der der ∂S. Wie sah die Fläche S aus? Zur Erinnerung, das war so eine Schale, symmetrisch bezüglich der z-Achse. Hier ist die z-Achse, die Symmetrieachse. Und hier ist die Fläche S. Gut, und Fläche S steht auf einer Kreislinie in der xy-Ebene - und diese Kreislinie ist eben der Rand. Nun markiere ich die Randlinie. Hier ist die Randkurve, rot markiert - ∂S. Und diese Kreislinie hat einen Radius 2. Das ergibt sich aus der Form der Fläche, haben wir schon kurz besprochen. Also ∂S=Menge der Punkte (x, y, z) im dreidimensionalen Raum mit der folgenden Eigenschaft: x²+y²=4. Das ist die Kreislinie mit dem Radius 2, deswegen haben wir hier 4, 2². Und die befinden sich in der xy-Ebene. Das heißt, die z-Koordinate=0. Gut, und solche Kreislinien können wir super parametrisieren und dazu gibt es eine Standardparametrisierung. Da nehme ich ψ/t), ich schreibe zuerst Radius hin, 2, dann der Standardansatz, 2cost, 2sint, und dann die z-Komponente kommt 0 zu stehen, weil die Kurve ∂S sich in der xy-Ebene befindet und dort ist die z-Koordinate=0. Deswegen haben wir hier 0. Wir möchten einmal Umlauf machen mit dem Parameter t ist gegen, Parameter t läuft zwischen 0 und 2π. Gut, das ist einmal die Parametrisierung. Wir können dann weiter, mit der Parametrisierung haben wir ψ, dann können wir das Integral ausrechnen. Aber an dieser Stelle sollen wir einmal haltmachen und nachdenken, ob denn diese Parametrisierung wirklich passt. Wir erinnern uns daran, dass beim Integralsatz von Stokes die Fläche S und ihre Randkurve nicht willkürlich orientiert sind, sondern ihre Orientierungen zusammenhängen, dass die Randkurve ∂S die induzierte Orientierung trägt. Und ich habe im Theorievideo erläutert, was das bedeutet. Gut, als Nächstes wollen wir uns Gedanken über Orientierung machen. Mit der Parametrisierung φ der Fläche S ist schon eine Orientierung auf der Fläche S festgelegt. Wieso? Also wir haben zu Fläche S Parametrisierung φ, und dann haben wir den Normalvektor ausgerechnet. Und die Seite, auf der der Normalvektor steht, die gilt dann auch positiv, per Konvention. Und dann, durch diese Parametrisierung ψ ist auch die Randkurve ∂S orientiert. Also die Parametrisierung von ψ wird die Randkurve in einer bestimmten Richtung umlaufen, von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn. Und nun müssen wir fragen: Sind denn durch die Parametrisierung φ und ψ gegebene Orientierungen miteinander verträglich? Also ist denn die Randkurve ∂S in der Tat die induzierte Orientierung von der Fläche S? Dieser Frage wollen wir im nächsten Teil ganz genau nachgehen.

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2 Kommentare
  1. Default

    ach quatsch ist richtig so,- sorry ; )

    Von Noradianaoberlaender, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    bei 17:48 muss doch nur r nicht r ^2 ausgeklammert werden oder?

    Von Noradianaoberlaender, vor fast 2 Jahren