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Transkript Satz von Gauß – Theorie

In diesem Video besprechen wir ganz allgemein den Integralsatz von Gauß. Den Satz von Gauß habe ich hier angeschrieben und in der folgenden halben Stunde mache ich allgemeine Bemerkungen über den Satz von Gauß. Insbesondere über die Orientierung der beteiligten Flächen, über die Notationsvarianten. Dann will ich ganz ausführlich die physikalische Interpretation des Satzes von Gauß besprechen. Wie kann man den Satz von Gauß anschaulich verstehen? Das Stichwort dazu ist die Flussbilanz. Anschließend bespreche ich die typischen Anwendungen. Bei welchen Rechnungen verwendet man den Satz von Gauß? Nun alles von vorne: Wir betrachten im dreidimensionalen Raum einen Körper K. Meinetwegen ist das eine solche Birne. Man setzt voraus, dass der Körper K erst einmal kompakt ist, beschränkt, und die Oberfläche des Körpers K zerfällt in glatt berandete Teile. Zum Beispiel kann man den Körper K als Zylinderoberfläche betrachten und die Zylinderoberfläche zerfällt in drei glatt berandete Teile: einmal der Mantel, der Deckel und der Boden. Das kann auch als Körper K dienen. Rundum den Körper K hier oben ist ein stetig differenzierbares Vektorfeld definiert. Die Fläche, die den Körper K umrandet, die Fläche, die den Körper K umschließt, seine Randfläche bezeichnet man mit diesem Symbol: (del)K. Dieses Symbol, wie bei partiellen Ableitungen, das liest man gerne als del und dann K. Also (del)K, das ist die Randfläche von K. Wenn wir diese drei Objekte haben - den Körper K, die Randfläche von K, (del)K, und ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das um den Körper K hier oben definiert ist und innerhalb des Körpers definiert ist, dann können wir für diese drei Objekte eine folgende Aussage machen: Wir verknüpfen das Oberflächenintegral durch die Oberfläche (d)K des Feldes F mit dem Volumenintegral der Divergenz des Feldes F über dem Körper K. Das ist erst einmal eine formale Aussage. Wie hängen denn die Oberflächenintegrale mit den Volumenintegralen zusammen? Die wollen wir nachher physikalisch verstehen. Formal kann man den Satz erst einmal wie folgt lesen: (Fluss eines Vektorfeldes durch die Oberfläche eines Körpers)=(Volumenintegral der Divergenz dieses Feldes über den Bereich, der von der entsprechenden Fläche umschlossen wird) Das ist erst einmal mathematisch formal die Aussage des Integralsatzes von Gauß und die ist in Analysis 2 zentral. Das ist einer der Höhepunkte von Analysis 2. Nicht umsonst habe ich diese Formel in einen roten Rahmen umfasst. Bitte merkt euch diese Formel. Das ist das, was man wirklich auswendig lernen muss. Das ist einer der wichtigsten Sätze in der Analysis 2. Bei dem Thema Orientierung haben wir gelernt, dass, wenn wir vektorielle Oberflächenintegrale betrachten, es darauf ankommt, wie die zugehörige Fläche orientiert ist. Das beeinflusst das Vorzeichen des Integrals. Beim Integralsatz von Gauß wird vorausgesetzt, dass die Oberfläche (d)K nach außen orientiert ist. Das heißt, die Außenseite der Fläche (d)K wird als positiv betrachtet. Das ist eine sehr wichtige Sache bei dem Integralsatz von Gauß. Bei der Rechnung wird es immer darauf ankommen, dass die Fläche, die den jeweiligen Körper berandet, nach außen orientiert ist. Das ist meine erste Bemerkung, die ich getrennt festhalten will. Es besteht eine Konvention der geschlossenen Flächen und der Integralsatz von Gauß hat mit geschlossenen Flächen zu tun. Geschlossene Flächen werden per Konvention nach außen orientiert. Vielleicht noch kurz eine Bemerkung: Hier steht: Flussintegral, vektorielles Oberflächenintegral über einer geschlossenen Oberfläche. Um das zu betonen, dass es sich hier um geschlossene Oberflächen handelt, schreibt man gerne bei diesem Doppelintegral einen Kringel. Das ist nicht tief, das bedeutet, dass die Oberfläche geschlossen ist. Noch einmal: Unter einer geschlossenen Oberfläche versteht man eine Oberfläche, die einen Volumenbereich vollständig umschließt. Nun kommen wir zur ersten Bemerkung, nämlich: Geschlossene Flächen, das heißt, solche Flächen, die vollständig einen Volumenbereich umschließen, werden per Konvention nach außen orientiert. Das heißt, die Außenseite der Fläche gilt als positiv. Was bedeutet das praktisch? Wenn man im Integralsatz von Gauß das Oberflächenintegral ausrechnet, so muss man Parametrisierungen wählen, bei denen das zugehörige Normalfeld nach außen zeigt. Also merke Folgendes: Bei der Berechnung des Flussintegrals irgendeines Feldes F durch die Oberfläche des Körpers K muss man Parametrisierungen wählen - also mit Parametrisierungen Phi arbeiten, die mit dieser Orientierung verträglich sind - für die der Normalvektor nach außen zeigt: (d)Phi nach (d)u Kreuz (d)Phi nach (d)v. Was hat man typischerweise? Sehr oft hat man in den Aufgaben zum Integralsatz von Gauß Körper, die nicht ganz glatt berandet sind, sondern deren Rand in glatte Teile zerfällt. Ich nehme meinetwegen einen Würfel. Die Oberfläche des Würfels ist nicht glatt, man hat Ecken und Kanten. Die Oberfläche von diesem Körper K ist nicht glatt, sondern zerfällt in glatte Teile, 6 Seiten, und man muss mit Parametrisierungen arbeiten, für die der entsprechende Normalvektor nach außen zeigt. Das heißt, wenn man über den Deckel von diesem Körper K integriert, dann muss man das mit der Parametrisierung machen, wo der Normalvektor nach oben zeigt. Wenn man umgekehrt über den Boden von diesem Würfel integriert, dann muss man mit einer Parametrisierung Psi arbeiten, bei der der Normalvektor nach unten zeigt, im Bezug auf den Körper K nach außen. Wenn man für die Integration über den Boden eine Parametrisierung wählt, bei der der Normalvektor nicht nach unten zeigt, sondern nach oben, dann bekommt man Vorzeichenfehler. Hier gibt es insgesamt 6 Flächen. Wenn man bei 6 Flächen zwei-, dreimal Vorzeichenfehler gemacht hat, dann richtet man sehr viel Schaden an. Wenn man einen Vorzeichenfehler hat, ist das nicht schlimm, die absolute Zahl wird dadurch nicht verzerrt. Wenn man mehrere Vorzeichenfehler hat und dann diese Zahlen mit Vorzeichenfehlern addiert, wird die Summe verzerrt, das wahre Ergebnis wird bis zur Unkenntlichkeit verzerrt. Also noch einmal: Es ist wichtig, dass man bei geschlossenen Oberflächen die Parametrisierungen so wählen soll, dass das zugehörige Normalvektorfeld nach außen zeigt. Das war die erste Bemerkung und wir werden in Beispiel noch einmal sehen, wie man diese Regel beachtet. Wir werden ganz konkret mit dieser Regel rechnen. Vielleicht noch eine Ergänzung: Wenn ich über die linke Seite integriere, dann muss ich eine Parametrisierung - meinetwegen Chi - nehmen, sodass das entsprechende Kreuzprodukt nach links zeigt und entsprechend auf der rechten Seite. Man muss stets darauf achten, dass der Normalvektor in die richtige Richtung zeigt, die der Orientierung der geschlossenen Fläche entspricht. Als Nächstes bespreche ich eine andere Notationsvariante für den Integralsatz von Gauß. Also wenn ihr in Büchern den Integralsatz von Gauß seht, dann wisst ihr Bescheid, da ist eben nichts anderes gemeint als der Integralsatz von Gauß, auch wenn es mit anderen Notationen geschrieben ist. Als Erstes muss ich dazu noch ein zusätzliches Objekt einführen. Auf der Oberfläche des Körpers K betrachte ich ein Vektorfeld n, das immer die Länge 1 hat und senkrecht auf dem Körper K steht. Die roten Pfeile haben immer die Länge 1 und stehen senkrecht auf K. Notationsvarianten: Sei n das äußere Einheitsnormalfeld zur Fläche (d)K, das heißt zur Oberfläche des Körpers K. Dann schreibt man den Satz von Gauß in folgender Form aus. Also das Flussintegral des Feldes F notiert man in der folgenden Form. Man schreibt: (Skalaprodukt F, n)(dO ohne Pfeil)=(Integral der Divergenz des Feldes F über dem Körper K dxdydz) Und man sieht oft die Varianten, wo dxdydz durch dV abgekürzt werden. Man sagt: "Volumenelemente der jeweiligen Koordinaten". Statt d0 kann man auch sehen, dass man dA schreibt oder dS. Ich habe vorher wie folgt den Integralsatz von Gauß aufgeschrieben: (F.d0 mit Pfeil)=(Dreifaches Integral über K)(Divergenz F dxdydz) Das ist alles dasselbe. Bloß auf der linken Seite ist das Flussintegral jeweils unterschiedlich notiert, statt dxdydz kann man auch dV schreiben, aber das sind nur äußere Unterschiede. Das ist dem Inhalt nach dasselbe. Nun kommen wir zur physikalischen Interpretation des Satzes von Gauß. Dabei betrachten wir im dreidimensionalen Raum eine Flüssigkeit, die fließt. Wenn die Flüssigkeit fließt, dann kann man dieser Flüssigkeit ein Geschwindigkeitsfeld zuordnen. Ich erinnere euch noch einmal daran, wie das Geschwindigkeitsfeld der Flüssigkeiten steht: Wenn durch den dreidimensionalen Raum eine Flüssigkeit fließt, dann gibt es sogenannte Flusslinien. Wie entstehen die? Ich lasse ein Sandkörnchen vor sich her treiben und die Sandkörnchen hinterlassen dann bestimmte Spuren in der fließenden Flüssigkeit. Man betrachtet die Tangentialvektoren dieser Kurven und diese Tangentialvektoren interpretiert man inhaltlich als momentane Geschwindigkeit des Sandkörnchens am jeweiligen Punkt. Die Gesamtheit von diesem Vektor nennt man das Vektorfeld V, und wenn das Vektorfeld V auf diese Weise entstanden ist, nennt man Vektorfeld V dann Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit. In diesem Kontext interpretiert man den Satz von Gauß. Physikalische Interpretation: Moment mal - ich bezeichne das Geschwindigkeitsfeld mit dem Buchstaben F. Ich hab den Integralsatz von Gauß für das Vektorfeld F formuliert und dann bleibe ich bei dieser Bezeichnung. Sei F das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit - und über diese Flüssigkeit möchte ich noch etwas voraussetzen. Ich setze voraus, dass man sie überhaupt nicht stauchen kann, dass sie inkompressibel ist. Wasser ist ein gutes Beispiel für eine inkompressible Flüssigkeit. F ist das Geschwindigkeitsfeld einer inkompressiblen Flüssigkeit. Dann will ich die beiden Seiten dieser Gleichung des Integralsatzes von Gauß. Ich möchte sie physikalisch interpretieren und dabei berufe ich mich auf die physikalischen Deutungen für Oberflächenintegrale, die ich bereits erläutert habe. Beim Theorievideo zu Oberflächenintegralen von Vektorfeldern habe ich die physikalische Deutung erläutert und die war die Folgende. Ich erinnere euch: Das Oberflächenintegral des Feldes F über der Randfläche (del)K ist das Volumen der Flüssigkeit, das pro Zeiteinheit durch die Oberfläche (del)K hindurchtritt. Wie kann man das dreifache Integral der Divergenz des Feldes F verstehen? Bei der physikalischen Interpretation der Divergenz gibt es auch auf dieser Seite ein Video, wo ich die physikalischen Interpretationen von Divergenz und Notation erläutere. Dort haben wir kennengelernt, dass Divergenz die Quellendichte des Feldes F ist. Wenn man die Quellendichte des Feldes F über einen Volumenbereich K integriert, dann bekommt man das Volumen der Flüssigkeit, das pro Zeiteinheit in diesem Körperbereich entsteht. Das dreifache Integral ist das Volumen der Flüssigkeit, das pro Zeiteinheit innerhalb von K entsteht. Wir nehmen vorläufig an, dass die beiden Größen positiv sind. Wenn dieses Divergenzintegral positiv ist, dann interpretiert man es physikalisch so wie beschrieben. Wenn innerhalb des Körpers K, innerhalb von dieser Birne, in einer Sekunde meinetwegen ein Liter Wasser entsteht, durch irgendeinen Vorgang innerhalb der Birne, und Wasser ist inkompressibel, dann muss dieser Liter Wasser innerhalb einer Sekunde durch die Oberfläche des Körpers K ausgestoßen werden, weil wir es mit einer inkompressiblen Flüssigkeit zu tun haben, weil Wasser inkompressibel ist. Das Volumen der Flüssigkeit, das pro Zeiteinheit innerhalb von K entsteht, ist genau das Volumen, das durch die Oberfläche von K nach außen tritt. Weil die Flüssigkeit inkompressibel ist - das habe ich hier vorausgesetzt, das sei noch einmal betont - müssen die beiden Größen gleich sein. Das ist die physikalische Interpretation des Integralsatzes von Gauß. Ich empfehle euch, diese Interpretation sich zu merken. Und das ist auch sehr anschaulich. Noch einmal: Hier ist der Integralsatz von Gauß. Auf der rechten Seite steht das Volumen der Flüssigkeit, das innerhalb des Körpers K erzeugt wird. Weil die Flüssigkeit inkompressibel ist, muss sie nach außen herausgestoßen werden. Auf der linken Seite der Gleichung steht dann das Volumen der Flüssigkeit, das pro Zeiteinheit durch die Oberfläche (del)K nach außen hindurchtritt. Logischerweise müssen diese Größen gleich sein, weil wir es mit einer inkompressiblen Flüssigkeit zu tun haben. Das ist die physikalische Interpretation und das soll man sich merken. Merke: Der Satz von Gauß beschreibt die Flussbilanz inkompressibler Flüssigkeiten durch geschlossene Oberflächen. Zentral ist dabei das Wort "Flussbilanz". Das soll man sich merken bei der physikalischen Interpretation. Nun kommen wir zu Anwendungen des Satzes von Gauß. Die erste Anwendung ist sehr naheliegend. Manchmal muss man Flüsse von Vektorfeldern durch geschlossene Oberflächen berechnen und mithilfe des Satzes von Gauß kann man die Berechnung des Flussintegrals auf die Berechnung des Volumenintegrals hinausführen. Das ist oft sehr vorteilhaft. In Übungsaufgaben werden wir sehen, wie man das macht und inwiefern das den Rechenaufwand verringert. Anwendungen: Erstens: Flüsse von Vektorfeldern durch geschlossene Oberflächen oder Flächen lassen sich oft sehr bequem mit dem Satz von Gauß bestimmen. Statt das Oberflächenintegral zu berechnen, berechnet man einfach nur das Volumenintegral. Diese Formeln soll man sich merken, die sind sehr wichtig. Ein typischer Fehler in diesem Zusammenhang ist der, dass manchmal in Aufgaben Flächen vorgelegt werden, die nicht geschlossen sind. Man sagt: "Berechne Fluss des Feldes F durch eine Fläche S" und die Fläche S ist nicht geschlossen. Meinetwegen eine Schale. So eine Schale umschließt keinen Volumenbereich vollständig, sie ist nicht geschlossen. Wenn man die Aufgabe hat, so ein Flussintegral durch S zu berechnen, dann ist die Anwendung des Satzes von Gauß in diesem Fall falsch. Das ist ein sehr üblicher Fehler. Ungefähr ein Drittel der Fehler, die Leute bei diesem Thema machen, ist eben dieser Fehler. Man berechnet die Flüsse von Vektorfeldern durch Oberflächen mithilfe des Satzes von Gauß, obwohl die Fläche S nicht geschlossen ist. Das ist falsch, bitte tut das nicht. Bevor ihr bei Berechnungen der Flüsse den Integralsatz von Gauß anwendet, stellt bitte sicher, dass es sich um geschlossene Oberflächen handelt. Der Satz von Gauß ist nicht anwendbar auf nicht-geschlossene Oberflächen. Das ist die eine Anwendung und die ist ja ganz typisch. Alle Übungsaufgaben zum Satz von Gauß haben mit dieser ersten Anwendung zu tun. Die zweite Anwendung ist ein bisschen interessanter, ist nicht so sehr offensichtlich. Mit dem Satz von Gauß kann man Volumen von Körpern berechnen und wie geht denn das? Wir schreiben den Satz von Gauß für ein bestimmtes Vektorfeld hin: Betrachte das Feld F und das Feld F sieht sehr einfach aus, das ist ein tektisches Feld. Dem Punkt (x, y, z) wird ein Vektor mit den Koordinaten (x, y, z) zugeordnet. Wir schreiben für dieses Vektorfeld im Satz von Gauß auf: (Fluss des Feldes F durch eine Oberfläche des Körpers)=(Dreifaches Integral der Divergenz) Berechnet bitte die Divergenz: Man sieht ja mühelos, dass die Divergenz von diesem Feld =3 ist. Die Divergenz von F ist ja: (d)x nach (d)x + (d)y nach (d)y + (d)z nach (d)z Alle verschiedenen Ableitungen sind =1 und 3×1 aufeinander summiert ergibt 3. Diese Divergenz im Integralsatz von 3 für das gegebene Feld ist =3. 3 ist eine Konstante, 3 können wir vor das Integral ziehen und das mache ich im nächsten Schritt. Links steht das Flussintegral, ich verändere einfach nur die Notation. Ich erinnere euch, dass man dieses Flussintegral wie folgt aufschreiben kann. Das ist das Integral durch die Oberfläche des Körpers K, und wenn das Vektorfeld F die Komponenten x, y, z hat, dann kann man dieses Integral wie folgt notieren: xdydz, also die erste Komponente, dann die nächste Komponente, ydzdx + zdxdy. So sieht der Integralsatz von Gauß aus - angewandt auf dieses Vektorfeld. Nun können wir die Gleichung, die sich ergeben hat, durch 3 addieren. Was haben wir denn? Auf der rechten Seite steht das dreifache Integral der Funktion elliptisch 1 über dem Körper K. Aus dem Thema der dreifachen Integrale wissen wir, dass das hier das Volumen des Körpers K ist. Insofern beschert uns der Integralsatz von Gauß eine Formel für Volumenberechnungen. Wie kann man Volumina mithilfe von Flussintegralen berechnen? Das ist die zweite Anwendung des Satzes von Gauß: Das Volumen eines Körpers K - nicht von jedem Beliebigen, sondern von einem stückweise glatt berandeten Körper und wir haben praktisch nur mit solchen Körpern zu tun - lässt sich wie folgt berechnen. Hier ist die Formel, die schreibe ich noch einmal hin. Also: Volumen von K=(1/3 + Integral durch die Oberfläche des Körpers K) xdydz + ydzdx + zdxdy. Das ist die zweite Anwendung und die dritte Anwendung will ich nur andeuten. Den Satz von Gauß verwendet man oft in der Physik. Aus der Physik ist der Satz von Gauß gekommen und die Physiker brauchen den Satz von Gauß am meisten, und zwar in der Elektrodynamik und der Hydrodynamik. Der Satz von Gauß wird als eine gängige Rechenregel verwendet. Das prominenteste Beispiel ist die Umrechnung der Maxwell-Gleichungen von der Integralform auf die Differentialform und umgekehrt. Wenn ihr die Maxwell-Gleichungen noch nie gesehen habt, dann macht euch keine Sorgen. Ich will demnächst nichts mit Maxwell-Gleichungen machen. Es sei einfach nur bemerkt, dass man den Satz von Gauß in der Elektrodynamik braucht beim Umgang mit Wechselgleichungen. Das halte ich als dritte Anwendung fest: Mit dem Satz von Gauß - und auch dem Satz von Stokes, davon wird noch die Rede sein - rechnet man die Maxwell-Gleichungen von der Integralform auf die Differentialform um. Mehr will ich dazu nicht sagen, es sei einfach nur angedeutet, dass man das wirklich bitter nötig in der Physik hat und insbesondere in der Elektrodynamik. So weit zum Satz von Gauß und auf dieser Seite stehen noch viele Übungsaufgaben zum Satz von Gauß.

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4 Kommentare
  1. Default

    Gut und verständlich erklärt allerdings manchmal zu langartmig und oft unnötige Wiederholungen. Danke, habe den Satz jetzt wenigstens Verstanden ;)

    Von Christian G., vor mehr als 6 Jahren
  2. Default

    Wunderbare Erklärung. Wenn doch alle Profs so wären wie der Herr im Video :)

    Von Seven87, vor fast 7 Jahren
  3. Default

    Hallo.

    Anschaulicher lässt sich das kaum noch erklären. Bis auf die o.g. Frage habe ich auch alles verstanden. Vielen Dank!

    Von Alija D, vor fast 7 Jahren
  4. Default

    Sehr gut erklärt. Danke schön, aber eins habe ich immer noch nicht begriffen und diese ist die einzige Sache, auf die du nicht eingegangen bist, und zwar bei der Formel vom Satz von Gauß.

    http://latex.codecogs.com/gif.latex?\oint_{\partial&space;k}\&space;F&space;do&space;=&space;\oint_{\partial&space;k}&space;xdydz&space;+&space;ydzdx&space;+zdxdy

    Warum ist das so??

    Von Ahmedhos, vor mehr als 7 Jahren