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Transkript Satz von Gauß – Aufgabe 2

Hier haben wir eine Standard-Aufgabenstellung. Es ist ein Vektorfeld gegeben, es ist eine Fläche gegeben. Wir sollen den Fluss des Vektorfeldes durch die gegebene Oberfläche berechnen. Wir sollen das vektorielle Oberflächenintegral ausrechnen. Die Aufgabenstellung klingt erst einmal ganz gewöhnlich. Es gibt aber Subtilitäten, die diese Aufgabe interessant machen. Das Vektorfeld ist durch stinknormale Formeln gegeben. Diese Ausdrücke sind in jedem Punkt des Raums x, y, z definiert und wir wollen dieses Vektorfeld nicht veranschaulichen. Interessanter ist die Fläche S, über die wir integrieren sollen. Darüber wollen wir uns ausführlicher unterhalten. Die Fläche S ist die Oberfläche des Einheitswürfels. Allerdings nicht die vollständige Oberfläche des Einheitswürfels, sondern ohne Boden. Der Boden wurde aus der Oberfläche des Würfels entfernt und dadurch ist die Oberfläche S entstanden. Ich habe das noch einmal skizziert hier. Man schaut in diese Oberfläche von unten hinein und da sieht man, dass die eine Innenwand grün tapeziert ist und die andere Innenwand blau-gestreift tapeziert ist. Also noch einmal: Wie sieht die Oberfläche S aus? Man hat einen Karton genommen, aus dem Karton den Deckel entfernt, den Karton auf den Kopf gestellt und dann hält man den Karton fest. Das ist unsere Oberfläche S mit dem Unterschied, dass die Seiten der Oberfläche S Quadrate sind. So ungefähr sieht die Oberfläche S aus und wir wollen den Fluss des Vektorfeldes durch diese Fläche berechnen. Dabei ist die Oberfläche nicht geschlossen. Wenn ich einen Teil entfernt habe von dem Karton, dann umschließt das nicht mehr vollständig einen Volumenbereich. Die Oberfläche ist nicht geschlossen und deswegen ist der Satz von Gauß hier nicht anwendbar. Das ist die Subtilität in dieser Aufgabe. Dieses Video habe ich zum Thema Integralsatz von Gauß gedreht, aber so direkt ist auf diese Fragestellung der Integralsatz von Gauß nicht anwendbar, weil die Oberfläche S keine geschlossene Fläche ist. Das mit dem Integralsatz von Gauß auszurechnen, das ist strafbar, das ist ein grober Fehler. Direkt den Satz von Gauß hier anzuwenden, ist ein grober Fehler. Wir wollen aber den Satz von Gauß doch anwenden, aber nicht sofort, sondern durch einen Trick. Also durch einen Trick, der die Anwendung des Satzes von Gauß legitim macht und das ist die Rosine in dieser Aufgabe. Dann lasst uns zu den Einzelheiten übergehen. Ich will zuerst andeuten, was wir tun sollten ohne den Satz von Gauß. Diesen Lösungsweg möchte ich nicht vollständig gehen, sondern ich deute diesen Weg nur an, um zu zeigen, mit welchem Aufwand dieser Weg verbunden ist - einerseits. Dann möchte ich unmittelbar zum Kernstück der Aufgabe übergehen, also den Lösungsweg präsentieren, der über einen Umweg den Satz von Gauß benutzt. Dann lasst uns die Einzelheiten anschauen, also zuerst Lösungsweg 1. Die Idee ist da sehr einfach. Ich zerlege die Oberfläche S in ihre glatten Bestandteile, das heißt in die 4 Seiten und den Deckel, berechne den Fluss des Vektorfeldes durch jeden glatten Teil der Oberfläche im Einzelnen und dann addiere ich die Flüsse und bekomme den Gesamtfluss. Das ist nicht sehr einfallsreich, ziemlich fantasielos. Aber so kann man das auch berechnen. Das ist legitim und ohne den Satz von Gauß. Also Lösungsweg 1: Seien S1, S2, S3, S4 die Seiten von W, und W war der Einheitswürfel und D sein Deckel. Dann ist die Oberfläche S, also die Oberfläche des Einheitswürfels ohne den Boden, einfach nur die Vereinigung der 4 Seiten: S1 vereinigt mit S2 vereinigt mit S3 vereinigt mit S4 - Vereinigung der 4 Seiten und des Deckels. Die Seiten und der Deckel, sie überlappen sich nicht, sie berühren einander an den Kanten. Wenn wir das haben, dann können wir Fluss des Vektorfeldes durch die Fläche S berechnen - als Σ der Flüsse über die Seiten und über den Deckel. Also: Σ der Flüsse über 4 Seiten, j geht von 1 bis 4, Flussintegral über Sj F dO + Fluss durch den Deckel. Hier muss man 5 Oberflächenintegrale berechnen. Man parametrisiert fleißig die Seiten, den Deckel und berechnet die Flüsse. Dabei soll man darauf achten, dass die Parametrisierungen von einzelnen Stücken der Oberfläche mit der Orientierung der Gesamtfläche S verträglich ist. Man muss darauf achten, dass die zugehörigen Normalvektoren immer nach außen zeigen und das ist ein bisschen fummelig. Diesen Weg kann man gehen, aber ich will das nicht zu Ende ausrechnen, weil es langweilig ist. Man muss 5 Integrale hier stumpf vor sich hin durchrechnen. Ich möchte stattdessen eine bessere Lösung präsentieren, also Lösungsweg 2, die Folgendes macht, die dann an einer Stelle den Integralsatz von Gauß benutzen wird: Seien S1, S2, S3, S4 nach wie vor die Seiten von W. D und B seien Deckel bzw. Boden. D ist der Deckel, B ist der Boden. Dann kann man die Oberfläche S wie folgt darstellen: S ist: die Oberfläche des Einheitswürfels, die Oberflächen von Körpern bezeichnet man gerne mit diesem Del, del(W) ist die Oberfläche des Einheitswürfels ohne den Boden. Das war die Aufgabenstellung. Aus dieser Formel heraus ergibt sich folgender Ansatz: Fluss des Vektorfeldes F durch die Fläche S = Fluss des Vektorfeldes S durch die Oberfläche des Einheitswürfels - Fluss des Vektorfeldes F durch den Boden. Das ist der Ansatz. Was haben wir denn gewonnen? Mit diesem Ansatz müssen wir statt 5 Integralen, nur 2 Integrale ausrechnen. Das ist der eine Vorteil und ich möchte den ersten Term besprechen. Der erste Term ist das Flussintegral über die Oberfläche des Einheitswürfels. Die Oberfläche des Einheitswürfels ist eine geschlossene Fläche. Das werde ich auch ganz klar kennzeichnen. Diese Kringel bei Doppelintegralen bedeuten, dass wir über geschlossene Fläche integrieren. Weil die Integration über eine geschlossene Oberfläche erfolgt, kann man hier den Satz von Gauß anwenden. Den ersten Term kann man mit dem Satz von Gauß umschreiben als dreifaches Integral der Divergenz des Feldes F. Den zweiten Term berechnet man ganz normal, wie man eben Flussintegrale berechnet. Man parametrisiert den Boden und berechnet den Fluss. Im Unterschied zum Lösungsweg 1, wie gesagt, müssen wir nur 2 Integrale ausrechnen statt 5 und das ist vorteilhaft. Das ist die Rosine in dieser Aufgabe. Nun kommen die Einzelheiten. Für diejenigen, für die dieser Ansatz nicht so ganz klar gewesen war - "Wieso zieht man das Ding ab?" - möchte ich diesen Ansatz auch anders herleiten. Wie kann man diesen Ansatz anders herum herleiten? Wir haben gesehen, dass Fluss des Vektorfeldes F durch die Fläche S, nach den üblichen Rechenregeln mit Oberflächenintegralen, = Σ der Flüsse über die Seiten, j geht von 1 bis 4 und da haben wir Fluss durch Sj + Fluss durch den Deckel. Wie es so oft in der Mathematik geschieht: Zu dieser Formel, die wir schon gehabt haben, die viel zu aufwendig ist, addieren wir eine Größe und subtrahieren sie. Wir haben eine intelligente 0 hinzuaddiert. Warum war das eine intelligente 0? Das sind Integrale über die Seiten der Oberfläche des Einheitswürfels + Integral über den Deckel + Integral über den Boden. Also alles zusammen ist doch das Flussintegral durch die Oberfläche des Würfels. Die ersten 6 Terme in dieser Rechnung können in Wirklichkeit durch einen Term ersetzt werden. Also durch den Fluss des Feldes F durch die Gesamtoberfläche des Einheitswürfels. Auf diese Weise haben wir wieder den Ansatz, den ich schon vorher sofort präsentiert habe. Mit diesem Ansatz wollen wir rechnen, egal, wie wir uns diesen Ansatz überlegt haben. Der Ansatz steht da und nun wollen wir diese Idee implementieren. Dabei müssen wir beachten, dass der Boden seine Orientierung von der Oberfläche des Einheitswürfels vererbt. Wenn wir mit der Orientierung des Bodens nicht klarkommen, dann machen wir Vorzeichenfehler und dann ist alles für die Katz'. Wichtig: Der Boden B vererbt seine Orientierung von der Orientierung der Oberfläche des Würfels. Diesen Umstand wollen wir besonders berücksichtigen, wenn wir den Term Fluss über den Boden ausrechnen. Nun wenden wir uns den Einzelheiten zu. Wir wollen diesen Ansatz durchrechnen. Zuerst berechnen wir den ersten Term und das ist besonders angenehm, weil wir über eine geschlossene Oberfläche integrieren. Wenn wir über eine geschlossene Oberfläche integrieren, dann können wir den Satz von Gauß anwenden. Das geschieht in den nächsten Minuten. Berechnung des Flusses des Vektorfeldes F durch die Oberfläche des Einheitswürfels. Was sollen wir darüber wissen? Wir können ruhig den Integralsatz von Gauß anwenden: Berechnung von diesem Integral nach dem Satz von Gauß. Das ist schließlich eine Aufgabe zu dem Satz von Gauß. Diese Formel soll man auswendig lernen: Fluss eines Vektorfeldes durch die Oberfläche eines Körpers = dreifaches Integral der Divergenz von diesem Feld über den Körper. Und der Körper war W, das ist der Einheitswürfel. Als Nächstes brauchen wir explizit das Vektorfeld F. Ich erinnere euch, welche Formel wir da hatten. Das Vektorfeld F ist gegeben durch folgende Komponenten: xz, yz und dann x2+y2. Die Divergenz von diesem Vektorfeld müssen wir berechnen und das machen wir auch. Das dreifache Integral über den Einheitswürfel W lässt sich einfach hinschreiben: x, Integration bezüglich x, erfolgt von 0 bis 1 und dasselbe gilt für die Integration bezüglich y und bezüglich z. Das ist einfach. Als Nächstes berechnen wir die Divergenz des Feldes F. Das ist Σ der gewissen partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen. Die erste Komponentenfunktion leiten wir partiell nach x ab, die Divergenz in kartesischen Koordinaten. Die zweite Komponente leiten wir partiell nach y ab und die dritte Komponente leiten wir partiell nach z ab. Das ist die Divergenz des Feldes F. Die Terme sind ja ganz angenehm. Erst einmal ergibt x2+y2 abgeleitet nach z ergibt 0, der letzte Term verschwindet. y×z abgeleitet nach y gibt einfach nur z. x×z abgeleitet nach x gibt wieder nur z. Im Integral haben wir 2×z. 2 ist eine Konstante, die können wir nach vorne ziehen. Wir haben dann ein Produkt nach bekannten Rechenregeln, wir haben das Produkt aus 3 Integralen. Bei den ersten 2 Integralen gibt es nichts zu rechnen, die sind einfach nur Einsen. Die haben ja keine Auswirkung. Die Stammfunktion von z ist (z2)/2. ((z2)/2)÷2=z2. Das sollen wir an den Stellen 0 und 1 auswerten und das gibt 1. Fluss des Vektorfeldes F durch die Oberfläche des Einheitswürfels hat nach dem Integralsatz von Gauß, durch eine blitzschnelle und sehr einfache Rechnung, den schönen Wert 1 ergeben. Damit sind wir mit diesem Schritt fertig. Nach dem Satz von Gauß ist dieser Fluss =1. Nun wollen wir den nächsten Term, den zweiten Term und den letzten Term, mit unserem Ansatz berechnen. Das ist das Integral über dem Boden. Der Boden ist keine geschlossene Oberfläche. Wir wollen Fluss des Feldes F durch den Boden ausrechnen. Weil der Boden eben keine geschlossene Oberfläche ist, können wir den Satz von Gauß nicht mehr anwenden. Also mit dem Satz von Gauß machen wir das nicht. Nun müssen wir einmal schauen. Hier war unser Würfel, also unsere Oberfläche S, also Würfel ohne Boden. An einer anderen Stelle - übersichtshalber - zeichne ich den Boden noch einmal ein. Das ist die x-Achse, das ist die y-Achse, das ist die z-Achse. Ich schaue auf den Boden von unten. Also ich schaue auf den Karton von unten. Wenn der blaue Ordner der Boden ist, hier ist der Karton, hier ist der Boden, dann schaue ich von unten. Deswegen ist es nicht so, dass ich die Orientierung der Achsen zueinander verwechselt habe. Hier ist unten. Unten ist der Boden und der Boden ist einfach nur ein Quadrat. Dann sollen wir den Boden erst einmal parametrisieren, um das Flussintegral auszurechnen. Das ist nicht schwer, die Parametrisierung zurechtzubasteln. Wir sehen, jeder Punkt des Bodens befindet sich in der x-y-Ebene, also auf der Höhe z=0. Also z=0, die letzte Komponente der Parametrisierung. Die ersten 2 sind ja ganz einfach. u v schreibe ich und ich lasse u zwischen 0 und 1 variieren und v ebenso zwischen 0 und 1. Mit dieser Variation erreiche ich wirklich jeden Punkt des Bodens. Somit ist Phi eine Parametrisierung des Bodens. Nun wollen wir einmal schauen, ob diese Parametrisierung mit der Orientierung des Bodens verträglich ist. Mit welcher Orientierung müssen wir den Boden betrachten? Ich habe da geschrieben, dass der Boden seine Orientierung von der Orientierung der Oberfläche des Würfels vererbt. Oberflächen werden konventionell nach außen orientiert. Das heißt, der Normalvektor, die Oberfläche des Würfels zeigt im Bezug auf den Würfel nach außen. Das heißt, ins Besondere der Normalvektor des Bodens soll nach unten zeigen. Im Bezug auf den Würfel ist das nach außen. Nach oben darf er nicht zeigen, weil das ja nach innen ist. Wir müssen eigentlich eine Parametrisierung nehmen, sodass der zugehörige Normalvektor nach unten zeigt. Das entspricht der Orientierung, die der Boden B von der Orientierung der Oberfläche des Würfels vererbt. Nun wollen wir auschecken, wohin der zugehörige Normalvektor zeigt. Der Normalvektor d(Phi) nach d(u) Kreuz d(Phi) nach d(v) ist gleich Folgendes: Wenn wir das nach u ableiten, habe ich 1, 0, 0. Wenn ich das nach v ableite, habe ich 0, 1, 0. Man kann Kreuzprodukte direkt ausrechnen, das ist auch nicht schwer. Wenn man das Kreuzprodukt von 2 Einheitsvektoren bildet, dann bekommt man als Ergebnis den dritten Einheitsvektor. Der dritte Einheitsvektor ist parallel zur z-Achse und schaut nach oben. Der dritte Eintrag ist 1, ist positiv. Das heißt, dieser Normalvektor d(Phi) nach d(u) Kreuz d(Phi) nach d(v) guckt falsch herum. Der rote Pfeil befindet sich hinter der x-Achse, wir schauen auf alles von unten. Der rote Pfeil ist hier der Normalvektor d(Phi) nach d(u) Kreuz d(Phi) nach d(v), den wir gerade berechnet haben. Er schaut nach oben. Er ist mit der nötigen Orientierung von B nicht verträglich. Die Parametrisierung Phi ist mit der Orientierung von B nicht verträglich und eigentlich für die Integration nicht geeignet. Also: Der Normalvektor zeigt nach oben. Daraus folgt, die Parametrisierung Phi ist mit der Orientierung von B nicht verträglich. Denn B ist so orientiert, dass die untere Seite positiv ist. Eine verträgliche Parametrisierung muss einen Normalvektor erzeugen, der aus der positiven Seite heraus zeigt. Dieser Normalvektor zeigt aber aus der negativen Seite heraus. Deswegen bleiben uns 2 Möglichkeiten: Entweder suchen wir uns eine verträgliche Parametrisierung oder wir korrigieren einfach nur das Vorzeichen. Wie man aus einer nicht-verträglichen Parametrisierung eine verträgliche Parametrisierung macht, das habe ich in einem Video besprochen. Man vertauscht einfach nur u und v. Dann bekommt man eine Parametrisierung, sodass der Normalvektor nach unten zeigt. Aber ich will diesen Weg nicht gehen, das ist mir zu fummelig. Ich will weiterhin mit der falschen Parametrisierung rechnen. Es ist bekannt, wenn ich eine falsche Parametrisierung nehme, die nicht verträglich mit der Orientierung ist, dann mache ich Vorzeichenfehler. Deswegen korrigiere ich einfach nur diesen Vorzeichenfehler. Ich zeige es, wie das geht. Deswegen korrigieren wir das Vorzeichen beim Flussintegral und wie mache ich das im Einzelnen? Ich berechne das Flussintegral durch B mit der Parametrisierung Phi. Parametrisierung Phi ist erklärt auf dem Einheitsquadrat, also u läuft von 0 bis 1, v läuft auch wieder von 0 bis 1 und dann schreibe ich: Skalaprodukt (F Kringel Phi), d(Phi) nach d(u) Kreuz d(Phi) nach d(v). Wenn ich mit dieser Parametrisierung Phi rechne, wird dieses Integral ein falsches Vorzeichen habe. Um das zu korrigieren, schreibe ich hier einfach noch -. Das meine ich mit diesem Satz: Wir korrigieren das Vorzeichen beim Flussintegral. Also wir rechnen weiterhin mit einer falschen Parametrisierung, aber das wollen wir dadurch ausgleichen, dass ich hier - hinschreibe. Wäre die Parametrisierung Phi richtig orientiert, also mit der Orientierung verträglich, dann müsste ich hier kein Vorzeichen schreiben. Weil sie aber falsch herum orientiert ist, korrigiere ich das dann mit einem Vorzeichen. So einfach ist das. Nun kommen die Einzelheiten, wenn wir diese Subtilitäten geklärt haben. Alles andere ist einfach nur schnelle Rechnung. Also, was fehlt uns noch? Wir haben das Integral von 0 bis 1 bezüglich u, das Integral von 0 bis 1 bezüglich v. Das Vektorfeld F wollen wir an der Parametrisierung Phi auswerten und die Parametrisierung Phi ist gegeben durch die Komponenten u, v und 0. Dieses Kreuzprodukt haben wir schon ausgerechnet, das ist der Vektor mit den Komponenten 0, 0, 1. Es bleibt einfach nur das Vektorfeld F an dieser Parametrisierung auszurechnen. Ich erinnere euch daran, das Vektorfeld F ist gegeben durch die Formel x z, y z, x2+y2. Wir setzen x=u, y=v und z=0. Wenn ich statt z 0 einsetze, dann sind die ersten 2 Einträge Nullen. Statt x setze ich u, statt y setze ich v ein und bekomme dann u2+v2. Nun berechne ich dieses Skalaprodukt. Das ist überhaupt nicht schwer, dieses Skalaprodukt ist einfach nur u2+v2. Das ist ein hübsches Integral und das Integral wird ein richtiges Vorzeichen haben, weil ich das Vorzeichen schon korrigiert habe. Es bleibt nun, einfach nur dieses Integral auszurechnen. Die Stammfunktion bezüglich v ist natürlich (u2)×v+(v3)/3. Wir setzen die Werte 0 und 1 für v ein. Wir bekommen das Integral bezüglich u von 0 bis 1. v=0 einsetzen, gibt nichts her. v=1 einsetzen, gibt u2+1/3. Die Stammfunktion von u2+1/3 ist bekanntlich (u3)/3+u/3 und das sollen wir an den Randpunkten 0 und 1 auswerten. 0 einsetzen, gibt nichts her. 1 einsetzen, gibt -(2/3). Wunderbar, wir haben auch den zweiten Term mit unserem Ansatz ausgerechnet und wir haben dafür gesorgt, dass dieser Term das richtige Vorzeichen hat. Wir haben uns um die Orientierung gekümmert. Das ist der häufigste Fehler bei diesen Aufgaben, dass man die Sache mit der Orientierung und mit dem Vorzeichen nicht in den Griff bekommt. Zusammenfassung: Fluss des Vektorfeldes F durch die Oberfläche des Einheitswürfels ohne Boden = Fluss des Vektorfeldes F durch die vollständige Oberfläche des Einheitswürfels - Fluss des Vektorfeldes F durch den Boden. Den ersten Fluss haben wir berechnet, das ist die hübsche Zahl 1. Den zweiten Term, diesen Fluss durch den Boden, haben wir auch berechnet. Das war -(2/3). Insgesamt bekommt man den Fluss: 1+2/3=5/3 Das ist der feierliche Abschluss. Das geforderte Flussintegral ist 5/3. Danke schön.

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2 Kommentare
  1. Default

    Wenn ich die falsche Orientierung nicht aufhebe durch setzen des Minuszeichens vorm Integral, sondern mit "Änderung der Orientierung von parametrisierten Flächen" erhalte ich falsches Vorzeichen.

    Dazu vertausche ich u und v (die Grenzen sind ja die gleichen) und erhalte halt "v²+u²", statt "u²+v²". Was is daran falsch?

    Von Ebayviper, vor fast 5 Jahren
  2. Default

    Diese Formel für Fußintegrale "mit dem Skalarprodukt" wurde nicht so richtig erklärt! Aber sonst Top!

    Von Ahmedhos, vor mehr als 7 Jahren