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Transkript Satz von Gauß – Aufgabe 1

Das ist eine einfache Aufgabe zum Integralsatz von Gauß. Es ist ein Vektorfeld F gegeben und wir wollen den Fluss von diesem Vektorfeld durch die Oberfläche des Einheitswürfels ausrechnen. Was ist ein Einheitswürfel? Ein Einheitswürfel ist der Würfel mit der Kantenlänge 1, der in die Ecke des positiven Abasten hinabgedrängt wurde. Hier ist der Einheitswürfel. Die Aufgabe ausführlich ausgeschrieben, lautet so und ich will sie erst einmal abkürzen. Also, den Fluss des Vektorfeldes durch die Oberfläche des Einheitswürfels berechnen, d. h. wir sollen das Oberflächenintegral ausrechnen des Feldes F durch die Oberfläche von d und die Randfläche von d, bezeichnet man gerne mit delW. Also, das ist kurz formuliert die Aufgabe. Und wie angekündigt, wir lösen diese Aufgabe mit dem Integralsatz von Gauß. Bevor wir die Rechnung mit dem Satz von Gauß machen, möchte ich kurz andeuten, was hätten wir ohne den Satz von Gauß machen müssen. Diese Rechnung will ich dann nicht zu Ende ausführen, ich will einfach nur skizzieren, welche Situation hat man ohne den Satz von Gauß. Ich will Euch klarmachen, welchen Aufwand hätte dieser Lösungsweg, und damit deutlich machen, inwiefern der Satz von Gauß nützlich ist und inwiefern uns der Satz von Gauß Arbeit spart und das Leben erleichtert, sozusagen. Also, ohne den Satz von Gauß ginge die direkte Rechnung folgendermaßen. Die Oberfläche des Würfels, die zerfällt in einer natürlichen Weise in 6 glatte Teile, 6 Seiten. Ohne den Satz von Gauß hätten wir den Fluss des Feldes F durch jede Seite im Einzelnen berechnen müssen und dann die Flüsse zusammenaddieren. Und das wäre eine Lösung. Also, ich halte noch einmal das Gesagte an der Tafel fest. Die direkte Lösung, d. h. ohne den Satz von Gauß, ginge folgendermaßen vonstatten. Sind S1, S2 usw., S3, S4, S5 und S6, die 6 Seiten des Würfels W, so gilt Folgendes: die Oberfläche des Würfels W, delW ist darstellbar als Vereinigung von diesen 6 Seiten, also ich schreibe Index j läuft von 1 bis 6 und unter der Vereinigung steht 6j. Was bedeutet das? Das bedeutet, S1 vereinigt mit S2 vereinigt mit S3 vereinigt usw. bis S6. Um so eine lange Vereinigungskette nicht schreiben zu müssen, nutze ich diese Abkürzung mit Index. Die Seiten Sj, sie überlappen sich nicht, deshalb kann man das Oberflächenintegral über die Fläche delW des Vektorfeldes F wie folgt ausrechnen und das ist die Summe der Oberflächenintegrale über einzelne Seiten. Man müsste dann für jede einzelne Seite das Oberflächenintegral ausrechnen und dann die Werte summieren und dann bekommt man den Gesamtfluss und Ihr könnt euch vorstellen, das wäre ein bisschen fummelig. Diese Integrale würden nicht sehr schwer aussehen, die Seiten des Würfels kann man sehr einfach paralytisieren. Aber 6 Integrale berechnen, das ist anstrengend und eine monotone und völlig uninteressante Arbeit. Darüber hinaus müsste man Folgendes beachten. Man müsste die Seiten des Würfels so paralytisieren, das die entsprechenden Normalvektoren nach außen zeigen. Das ist ein bisschen anstrengend, das ist ein bisschen fummelig. Man soll beim Vektorisieren stets so wählen, dass die entsprechenden Einheitsnormalvektoren nach außen zeigen, wie es der Satz von Gauß gebietet. Und das ist ein ziemlicher Aufwand. Da aber die Oberfläche des Würfels eine geschlossene Oberfläche ist, das ist pathologisch, d. h., die Oberfläche des Würfels umschließt einen Körper. Dann kann man den Satz von Gauß anwenden und mit dem Satz von Gauß kann man dieses Flussintegral mit einem Schlag ausrechnen, durch Berechnung des entsprechenden Volumenintegrals. Und das ist der Weg, den wir gehen wollen. Also, das hier ist möglich, das hier ist machbar, ich weiß nicht, innerhalb von 20 Minuten. Das lassen wir auf sich beruhen, das wollen wir nicht weiterverfolgen. Wir stellen einfach nur fest, dass dieser Lösungsweg viel zu aufwendig ist. Und der Satz von Gauß macht uns das Leben leichter. Also, folgende Feststellung: Weil die Oberfläche, ich sage mal Fläche, mal Oberfläche, das ist dasselbe. Weil die Fläche DW geschlossen ist, lässt sich der Satz von Gauß anwenden. Und das ist eine viel bessere Lösungsmöglichkeit. Also, nach dem Integralsatz von Gauß: Fluss des Feldes F durch die Oberfläche des Würfels = dem dreifachen Integral der Divergenz des Feldes F über dem Würfel. Und lieber sage ich es einmal zu viel oder zweimal zu viel, als einmal zu wenig. Das geht nur, weil die Oberfläche geschlossen ist. Ein Kringel beim Integral bedeutet, das wir über eine geschlossene Oberfläche integrieren. Wäre die zu betrachtende Oberfläche nicht geschlossen, dann würde man den Satz von Gauß nicht anwenden können. Noch einmal. Das geht nur, weil die Oberfläche geschlossen ist. Und dann berechnen wir halt dieses Integral und das Schöne dabei ist, das wir bei Volumenintegralen uns um die Orientierung der Randfläche gar nicht kümmern sollen. Und das ist eine einfache Rechnung, die direkt geht. Da müssen wir uns in Erinnerung rufen, wie das Vektorfeld F definiert wurde. Das schreibe ich noch einmal hin. Wir brauchen das gleich bei dieser Rechnung. Also, die erste Komponente ist (y+z)x, die zweite Komponente (x+z)y, die dritte Komponente (x+y)z. Das ist das Vektorfeld F. Nun wollen wir seine Divergenz über den Würfel integrieren und der Einheitswürfel ist sehr angenehm für die Integration. Die Integrationsgrenzen können wir sofort ohne Mühe feststellen. Sie sind ja sehr einfach, x läuft von 0 bis 1, y läuft von 0 bis 1 und z läuft ebenfalls von 0 bis 1 und nun sollen wir die Divergenz vom Vektor F bilden. Und das ist die x-Ableitung der ersten Komponente des Vektorfeldes + die y-Ableitung der zweiten Komponente + die z-Ableitung der dritten Komponente. Und ich empfehle euch, rechnet es selbst aus. Jetzt habe ich hier viel zu viele Klammern. So, das ist die x-Ableitung der ersten Komponente, dann die y-Ableitung der zweiten Komponente (x+z)y und die z-Ableitung der dritten Komponente (x+y)z, Klammer zu und noch eine Klammer zu. Vielleicht mache ich die letzte Klammer dick. Die Rechnung in diesem Fall ist einfach. Wenn wir die Partziellen ableiten würden, dann bekommen wir Folgendes: Also, (y+z)x nach x abgeleitet, das lässt einfach nur die Klammer übrig (y+z) und dasselbe gilt für die anderen Terme, (x+z)y nach y abgeleitet, lässt einfach nur die Klammer übrig und hier ist auch dasselbe. So, dann haben wir 2×y, hier und hier, 2×x und 2×z, also wir haben 2×(x+y+z).  Die konstante 2 kann man vor das Integral ziehen und unter dem Integral hat man die Summe (x+y+z). Und das ist sehr hübsch, das können wir mühelos integrieren und dann schieben wir diese Klammer sozusagen von rechts nach links und berechnen die Integrale. Also, wie es bei der Berechnung von dreifachen Integralen üblich ist. Bloß, die Funktion, die wir integrieren sollen und die Integrationsgrenzen sind besonders angenehm, sodass der Aufwand wirklich minimal ist. Die Stammfunktion von (x+y+z) bezüglich z ist gleich (x+y)z+z²/2 und z läuft von 0 bis 1. Und ich empfehle Euch, macht diese Rechnung selbstständig. Da kommt nichts Anspruchsvolles weiter. Wir berechnen einfach nur dieses Integral und fertig! Und gut, ich mache es dynamisch. Wenn ich z=0 einsetze, dann bewirkt das nichts, wenn ich z=1 einsetze, dann habe ich x+y+½. Das ist die Integration bezüglich der Variablen z. Die haben wir vollständig ausgeführt. Nun integrieren wir genauso bezüglich der Variablen y. Also 2 Integral dx von 0 bis 1. Die Stammfunktion bezüglich y ist (x+½)y+y²/2, offenbar und y sollen wir einmal an der Stelle y=0 und einmal an der Stelle y=1 einsetzen. Und das mache ich brav. Es passiert nicht viel anderes. Also y=0 einsetzen, gibt nichts her, y=1 einsetzen, gibt dann auch dasselbe wie vorher. Die Rechnung ist sehr ähnlich mit der Rechnung, die wir bei der mit z gehabt hatten. Ich habe dann im Endeffekt x+½+½, das ist natürlich x+1. Ein bisschen komische Schreibweise für einfache Integrale, da ist das nicht üblich. Einfache Integrale schreibt man lieber folgendermaßen auf. Integral (x+1)dx. Und auch dieses Integral können wir mühelos berechnen. Vielleicht schiebe ich die 2 lieber wieder in die Klammer, unter das Integral und unter dem Integral steht (2x+2)dx. Die Stammfunktion davon ist (x²+2x) und die Stammfunktion werten wir an den Stellen 0 und 1 aus. Und x=0 einsetzen, gibt nichts her, x=1 einsetzen, ergibt 3. Und so einfach haben wir den Fluss des Vektorfeldes durch eine geschlossene Oberfläche berechnet. Also, ich gebe zu, dass sowohl das Vektorfeld als auch die Oberfläche sahen sehr einfach aus, deswegen ging die Rechnung so leicht. Aber diese Situation ist auch typisch. Der Integralsatz von Gauß erleichtert uns die Berechnung von Flüssen enorm. Wenn die Oberfläche ein bisschen komplizierter ist, dann wird diese Rechnung ein bisschen komplizierter sein, aber auf jeden Fall, ist dies viel, viel weniger aufwendig, als wenn ich den Fluss direkt berechnen sollte. So, das war es! Deswegen lieben wir den Satz von Gauß, weil er uns das Leben einfach macht. So, das Ergebnis des Flusses des Vektorfeldes F durch die Oberfläche des Einheitswürfels ist gleich 3. Auf dieser Seite gibt es auch anspruchsvollere Aufgaben, das war einfach nur ein Einstieg.

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2 Kommentare
  1. Default

    Schön anhand eines einfachen Beispiels erklärt. Jeder Schritt war für mich absolut nachvollziehbar. Vielen Dank!

    Von Alija D, vor mehr als 6 Jahren
  2. Default

    Mir wäre es lieber, daß du die 6 Oberflächenintegrale ausrechnest :D

    Von Ahmedhos, vor fast 7 Jahren