Textversion des Videos

Transkript Rotation in Zylinderkoordinaten – Aufgabe

In diesem Beispiel wollen wir uns anschauen, wie man Rotation in Zylinderkoordinaten ausrechnet. Und es ist ein Vektorfeld vorgegeben, in Zylinderkoordinaten, hier steht es, ich markiere es vielleicht. Das ist unser Held und mit dem wollen wir einige Sachen anstellen. Erstens, wir wollen Rotationen in Zylinderkoordinaten berechnen, von dem Vektorfeld. Dann abwechslungshalber dieses Vektorfeld noch einmal in kartesischen Koordinaten darstellen und dann Rotation noch einmal berechnen aber diesmal in kartesischen Koordinaten. Also wir berechnen Rotation einmal in Zylinderkoordinaten und einmal in kartesischen Koordinaten und damit wir Rotation in katesische Koordinaten berechnen können, da müssen wir zuerst Vektorfeld in kartesischen Koordinaten darstellen. Und das sind die Aufgabenteile. Ja, also fangen wir erst mal an, fangen wir an mit dem ersten Teil, wir berechnen die Rotation in den Zylinderkoordinaten. Und ich weise als erstes auf den allerhäufigsten Fehler, der da gemacht wird, also man weiß, dass die Rotation eines Vektorfeldes des Kreuzproduktes, Nabla Vektors mit dem Vektorfeld, ja von dieser Kenntnis ausgehend würde man so rechnen: Rotation V ist Kreuzprodukt des Nabla Vektors und die Variablen sind r, φ, z, also D nach D(r), D nach D(φ) und D nach D(z), Kreuz das Vektorfeld. Also –sin(φ), cos(φ), 1. So darf man aber nicht rechnen, das ist ein großer, grober Fehler. Denn diese Formel gilt nur für die kartesischen Koordinaten. Wenn wir hier nicht r, φ, z sondern x, y, z gehabt hätten, dann müsste man in dieser Formel rechnen. Aber das Vektorfeld ist nicht in kartesischen Koordinaten gegeben, deswegen dürfen wir die Formel für Rotation in kartesischen Koordinaten nicht anwenden, das ist falsch. Rechnet keineswegs so, das ist ein grober Fehler. Für die Rotation in Zylinderkoordinaten gibt es eine eigene Formel. Im theoretischen Beitrag zum Thema Differenziale Operatoren in Zylinder- und Kugelkoordinaten habe ich einige solcher Formeln besprochen, ich habe Divergenz und Gradient besprochen in Zylinder- und Kugelkoordinaten. Rotation habe ich da nicht behandelt, aber die Formel für die Rotation steht in der Formelsammlung zu diesem Beitrag, auf dem Zettel. Und nun Programm ist das Folgende, ich will diese Formel anwenden. Diese Formel kann ich aber nicht so drauf los anwenden, ich muss da einiges vorbereiten. Und nun wollen wir diese Vorbereitungen treffen. Ich erinnere euch daran, wie diese Formel aussieht, na was heißt, ich erinnere euch daran, ich schreibe diese Formel von den Formelsammlung einfach nur ab. Die Rotation in Zylinderkoordinaten. Jetzt ganz schnell, das werde ich bald wegwischen, die Formel ist ja ellenlang, aber na gut wenn ich schon angefangen habe. 1/r d((R) nach d(φ)-d(Q) nach d(z))×e(r)^-> Pfeil +((d(P) nach d(z)-d(R) nach d(r))e(φ)^-> Pfeil + 1÷r((d nach d(r)(rQ)-d(P) nach d(φ))e(z)^->. So eine Riesenformel haben wir für die Rotation der Zylinderkoordinaten und dafür brauchen wir die Funktionen R, Q und P. Das sind nicht die Komponenten des Vektorfeldes V, so wie sie da stehen. P, Q und R soll man berechnen, und zwar aus dem folgenden Ansatz. P, Q und R sind Komponenten des Vektorfeldes V^-> bezüglich der Zylinderkoordinaten Basis. Die Zylinderkoordinaten Basis besteht aus eben diesen 3 Vektoren, e(r)^->, e(φ)^->, e(z)^->. Na also, um diese Formel anwenden zu können, müssen wir P, Q, R ausrechnen. Und P, Q, R sind Koeffizienten des Vektorfeldes V^-> in der Zylinderkoordinatenbasis e(r)^->, e(φ^->), e(z)^->. Unser erster Schritt also, die Berechnung der Funktionen P, Q, R. Und dann können wir diese Formel anwenden. Es ist ein bisschen aufwendig. Na gut, dann schreibe ich, formuliere ich diese Teilaufgabe noch einmal kurz an der Tafel, damit es nicht in der Luft hängen bleibt und dann irgendwie verschwindet. Ja, also zunächst, zum ersten Teil der Aufgabe, bestimme Funktionen P(r,φ,z), Q(r,φ,z) und R(r,φ,z) so dass Folgendes gilt: Das Vektorfeld V^-> – und ich unterdrücke an dieser Stelle die Abhängigkeit von Variablen r, φ, z, sonst wäre die Formel viel zu lang – soll das V=P×e(r)+Q×e(φ)^->+R×e(z)^->, wobei e(r)^->, e(φ)^->, e(z)^-> die Zylinderkoordinatenbasis ist, die schreibe ich noch einmal an die Tafel hin. Diese Zylinderkoordinatenbasis habe ich in dem entsprechen, theoretischen Beitrag präsentiert und sogar veranschaulicht und die sieht so aus. Und der e(z)^-> Vektor ist sehr einfach, 0,0,1, ja also wie sollen P, Q, R ausrechnen, sodass das hier gilt, in anderen Worten wir entwickeln das Vektorfeld V in der Zylinderkoordinatenbasis. Ok, die Zylinderkoordinatenbasis lasse ich erst mal an der Tafel stehen, die brauchen wir in den nächsten Rechenschritten, die Aufgabenstellung kann ich vielleicht wegwischen. Wir wissen ja, was zu tun ist. Und das Vektorfeld ist auch so gegeben, das ist schließlich einfach nur eine Übungsaufgabe, dass wir diese Basisentwicklung sehr schnell hinkriegen. Na, wir sehen schon –sin(φ), cos(φ) und 1, das sind ja Komponenten des Vektorfeldes V^-> und so ähnliche Ausdrücke, ähnliche Formeln sehen wir bei den Komponenten der Basis Vektor. Also es ist nicht schwer zu sehen, dass das V folgendermaßen dargestellt werden kann: -sin(φ) schreibe ich als -sin(Phi)+0, cos(φ) schreibe ich als cos(φ)+0 und 1 schreibe ich umgekehrt, als 0+1. Nun nach den Rechenregeln für die Vektoren kann ich das als Summe von Vektoren darstellen, -sin(φ), cos(φ), 0 + der Vektor 0,0,1. Und wir sehen, dass der erste Vektor in der Summe, dass das der Basisvektor e(φ)^->, der 2. Vektor in der Summe ist der Basisvektor e(z)^-> und wir haben nichts, was da mit dem Basisvektor e(r)^-> zu tun hätte, also wir haben so den Ausdruck: 0× den Basisvektor e(r)^->, der Basisvektor e(r) ist nicht präsent, der radiale Vektor ist nicht präsent, + 1×Basisvektor e(φ)^->+1×Basisvektor e(z). Und ja weil das eine Übungsausgabe ist, deswegen haben wir Basisentwicklung so schnell hinbekommen. Wir haben hier gezeigt, dass jetzt wo soll ich das am besten hinschreiben, hier, also rechts schreibe ich: Die Funktion P(r,φ,z) ist gleich 0, P war die Komponente des Vektorfeldes bezüglich des Radialen Vektors, das ist 0. Die Funktion Q, das ist die Komponente des Vektorfeldes bezüglich des Basisvektors e(φ)^->, das ist identische 1, und R ist wieder identisch 1, das ist Komponente bezüglich des Vektors e(z)^->. Solche Komponenten hat das Vektorfeld bezüglich der Zylinderbasis, oder auch Zylinderkoordinatenbasis. Ja nun brauche ich nicht, was da an der Tafel steht, Vektorfeld bleibt stehen. Ja nun wenn wir diese Komponentenfunktion haben, dann dürfen wir nun die erwähnte Rotationsformel anwenden, vielleicht als Zwischenbemerkung, Veranschaulichung von diesem Vektorfeld. In dem Beitrag, wo ich die Zylinderkoordinatenbasis besprochen habe, habe ich auch diese Basis gezeichnet, da sah das Bild ungefähr so aus. Irgendwo auf der Oberfläche des Zylinders haben wir einen Punkt und aus diesem Punkt ragen diese 3 Basisvektoren hier raus, der Radiale Basisvektor zeigt radial von z-Achse weg und dann hatten wir den Vektor e(φ)^->, also war tangential zum Zylindermantel, tangential zum entsprechenden Kreis. Das ist der Vektor e(φ)^-> ja und der Vektor e(z), also wir erinnern uns, der zeigte parallel zur z-Achse nach oben. Das ist der Vektor e(z)^->. Und unser Vektorfeld V hat Komponenten nur bezüglich der Vektoren, die ich im Bild dargestellt habe, also bezüglich e(φ) und e(z) hat Vektorfeld V die Komponenten 1 und 1. Das bedeutet Folgendes: Wenn wir das Vektorfeld veranschaulichen wollen, dann also, in jedem Punkt müssen wir einfach nur die beiden Vektoren e(z) und e(φ) summieren, ja. Das heißt einmal e(φ) und mal + e(z), das ist schon Vektorfeld V. Also damit das, was ich jetzt sage auch an der Tafel steht, dann schreibe ich folgende Zeile: V^->=e(φ)^->+e(z)^->. Das haben wir gerade ausgerechnet. Das Q=1 und R=1 das schreibe ich nicht explizit hin. Also 1×Vektor ist derselbe Vektor. Und das heißt, das Vektorfeld V^-> sieht so aus, also wenn ich diese 2 Basisvektoren summiere, nach der Parallelogrammregel, so dann das hier ist das Vektorfeld V^->. Ja, also was haben wir. Vektorfeld V ist tangential zum Zylindermantel, also der rote Pfeil ist tangential zum Zylindermantel und in jedem Punkt des Zylindermantels wird die Situation ähnlich sein. Also Vektorfeld V^-> wird dann so aussehen. Ja, das ist auf dem Kreis, der auf der Zeichnung steht, so wird das Vektorfeld V^-> aussehen, ja und dieses Bild wiederholt sich auf jedem Kreis parallel zur xy-Ebene auf dem Zylindermantel. Das heißt, das ist die Veranschaulichung vom Vektorfeld V^->, und Vektorfeld V^-> ist zylindersymmetrisch, in diesem Sinne, und was sollen wir von der Rotation des Vektorfeldes V erwarten? Also wir sehen, dass da eine Rotation, Drehung um die z-Achse vorhanden ist, ja das heißt Rotation des Vektorfeldes V^-> ist dann erwartungsgemäß nicht 0. Und nach der Regel der rechten Hand können wir uns ungefähr vorstellen, wie der Rotationsvektor des Vektorfeldes V aussehen wird. Also ich erinnere, nach der Regel der rechten Hand, ich nehme meine rechte Hand, ja dann krümme ich die Finger, die Finger ungefähr die Drehbewegung, also diese 4 Finger die Drehbewegung des Feldes anzeigen, ja, dann wird der nach oben ausgestreckte Daumen die Richtung der Rotation anzeigen. So und ja, wenn ich da die Finger, also ich kann jetzt die Finger nicht nach oben drehen, also wir erwarten dass die Rotation nach oben zeigt, mit dem Daumen. Ich habe diesen Umstand in der physikalischen Interpretation der Rotation erläutert. Gut, das ist die Anschauung, das ist die Erwartung. Wir erwarten, dass die Rotation nach oben schaut und mal schauen, ob unsere Formeln diese Erwartung bestätigen. Ja, also genug, das war erst mal Anschauung, so Zwischenbemerkung, ja nun Rechnung. Nun schreibe ich noch einmal diese hässliche Formel an die Tafel und wir wollen mal sehen, was sie dann ergibt. Ob sie dann tatsächlich so hässlich ist, wie sie aussieht. Rotation V, nun muss ich wenigstens eine halbe Minute diese ellenlange Formel abschreiben, Geduld. 1/rd((R) nach d(φ)-d(Q) nach d(z))×der radiale Basisvektor e(r) +((d(P) nach d(z)- d(R) nach d(r)) und der 2. Basisvektor e(φ)^-> + und jetzt kommt bisschen längerer Ausdruck 1÷r((d nach d(r)(r×Q)-d(P) nach d(φ)) und der 3. Basisvektor e(z)^->. Das ist die Formel für die Rotation. Nun wollen wir dann unsere Funktionen P, Q und R in die Rotationsformel einsetzen. Ja und schauen wir, was passiert. Erst mal, die Funktionen P, Q und R sind Konstanten. Also jedes Mal, wo man Konstanten ableitet, bekommt man die Nullen. Also wenn ich r ableite nach φ bekomme ich 0, wenn ich Q ableite nach z bekomme ich 0, P nach z ableite ist das 0, R nach r abgeleitet ist 0, P nach φ abgeleitet ist 0. Die Situation ist sehr bequem, die meisten Terme fliegen raus, die meisten Terme kürzen sich. Also die Formel ist ja gar nicht so schrecklich. Dann die Funktion Q ist identisch gleich 1, ja also wir haben was dann übrig bleibt: 1÷r×d nach d(r)(r×1)×e(z)^->. Wenn man die Variable r nach der Variable r ableitet, bekommt man 1 und wir haben: 1/r e(z). Also das ist unsere Rotation. Also wir sehen, obwohl die Formel für die Rotationen in Zylinderkoordinaten sehr lang war, es läuft aber darauf hinaus, das wir konstante Funktionen ableiten und sehr einfache Ausdrücke bekommen. Das Feld ist zylindersymmetrisch bezüglich der z-Achse, deswegen es ist sehr vorteilhaft mit Zylinderkoordinaten zu arbeiten. Und die Rotation sieht dann so aus. Ja, das war der erste Teil unserer Aufgabe, nun das Nächste. Wir wollen als nächstes dieselbe Rechnung durchführen, Rotationsrechnung durchführen, aber in kartesischen Koordinaten und die beiden Sachen vergleichen. Um die Rechnung in kartesischen Koordinaten durchführen zu können, da müssen wir das Vektorfeld zuerst auf die katesischen Koordinaten umrechnen, vorbereiten. Und das ist die nächste Teilaufgabe, die wir angehen wollen. Die Komponenten brauche ich nicht mehr, vielleicht schreibe ich hier an die Tafel Ergebnisse aus der ersten Teilaufgabe. Rotation des Feldes V^-> in Zylinderkoordinaten ist =1/r e(z)^->. Ach ja, also ich hab da Bilder gemalt, ich habe ja gezeigt, dass wir erwarten, dass der Rotationsvektor nach oben zeigt, parallel zur z-Achse und das ist hier tatsächlich der Fall. Rotationsvektor ist proportional zum Vektor e(z)^-> und e(z)^-> zeigt nach oben, also Rotation zeigt tatsächlich nach oben gemäß unserer Erwartung. Ja und unsere Intuition, unsere Pi-mal-Daumen Regel hat uns nicht im Stich gelassen, also wir haben das tatsächlich ausgerechnet, was wir erwartet haben. Ja, nun der 2. Teil, wir stellen dieses Feld in kartesischen Koordinaten dar. Also 2. Teil der Aufgabe. Und man weiß ja, dass die R und φ in Zylinderkoordinaten, das sind im Grunde Polarkoordinaten von x und y und wie Polarkoordinaten mit katesischen Koordinaten zusammenhängen, das ist bekannt, und zwar cos(φ) in Polarkoordinaten ist gleich x/\sqrt(x2+y2) und sin(φ) in Polarkoordinaten ist gleich y/\sqrt(x2+y2). Ja, diese Beziehungen gelten natürlich auch für die Zylinderkoordinaten. Nun berechnen wir das Feld auf die katesischen Koordinaten um. Also das ist zunächst die Definition –sin(φ), cos(φ),1. Ja und statt –sin(φ), cos(φ) setze ich dann diese Ausdrücke ein und bekomme -y/\sqrt(x2+y2), dann Cosinus(φ) ist x/\sqrt(x2+y2) und 1 bleibt 1, das ist die Konstante. So, also das hier ist die Darstellung des Feldes V in kartesischen Koordinaten, das möchte ich Ergebnis irgendwo festhalten, vielleicht links habe ich noch Platz. Also und die Darstellung des Feldes V^-> in kartesischen Koordinaten bezeichne ich durch v klein. Ich nehme da einen anderen Buchstaben. v(x,y,z)^-> ist gleich das hier, wie kann ich das kürzer schreiben, vielleicht gar nicht. bekomme –y durch die Wurzel, x durch die Wurzel und 1. Das ist unser Ergebnis. Eine kleine Bemerkung zur Notation, wenn man es genau haben möchte, dann bezeichnet man die Darstellung des Feldes in anderen Koordinaten auch mit einem anderen Buchstaben und das habe ich hier auch gemacht. Ich nehme einen anderen Buchstaben für die Darstellung der Koordinaten. Oft in der Literatur sieht man Folgendes, obwohl man das Vektorfeld V^-> groß in andere Koordinaten umgerechnet hat, man bezeichnet das Feld in anderen Koordinaten weiterhin mit demselben Buchstaben. Also in der Literatur kann man auch so sehen, also V^-> groß von (x,y,z) hat man die eine Formel und V^-> groß von (r,φ,z) hat man die andere Formel. Das ist mathematisch nicht so ganz korrekt, aber so hat es sich eingebürgert, in der Literatur, so sieht man es auch. Man muss aber sich im Klaren verstehen, dass das bei der Umrechnung handeln sich formal um andere Funktionen. Also, manchmal wechselt man Buchstaben überhaupt nicht, aber ich möchte da ein bisschen genauer sein, deswegen wechsele ich den Buchstaben, ich benutze nun einen anderen Buchstaben. Ja, das ist der 2. Teil unserer Aufgabe, das ist die Umrechnung des Feldes auf die katesischen Koordinaten, nun der 3. Teil der Aufgabe, wir wollen die Rotation in katesischen Koordinaten berechnen. Und ja, was darf ich hier wegwischen, ich glaube, dieses Ergebnis wische ich weg, damit ich bisschen mehr Platz habe. Also, der 3. Teil der Aufgabe: Wir berechnen die Rotation des Feldes V^-> in kartesischen Koordinaten. Rotation in Zylinderkoordinaten haben wir schon berechnet. Also Rotation von v^-> klein r(x,y,z), vielleicht abhängig von r(x,y,z) will ich unterdrücken, aus Platzgründen, ja, nun dürfen wir die gewohnte Rotationsformel benutzen in kartesischen Koordinaten, das ist Kreuzprodukt des Nablavektors mit dem Feld. Und dabei soll das Feld in kartesischen Koordinaten angegeben werden, das sieht dann so aus –y durch die Wurzel, x durch die Wurzel und dann 1 ist die 3. Komponente. Ja und dann bilde ich Kreuzprodukt nach der bekannten Determinantenregel. Die erste Komponente des Kreuzproduktes ist die Determinante von den 4 Elementen, die ich jetzt markiere, für diejenigen, die es vergessen haben. Also 1 soll ich nach y ableiten, das ist 0 und dann der Ausdruck x durch die Wurzel soll ich nach z ableiten. Dieser Ausdruck ist ja von z nicht abhängig, deswegen ist es 0. Vielleicht schreibe ich jetzt nicht sofort die 0, ich schreibe auf, die Art und Weise, wie es zustande kommt. Ja, nun wenn es geschrieben ist und nicht gesprochen, dann sieht man sofort, dass ist 0. 1 nach y abgeleitet, das ist 0 und das ist auch 0, ja und so weiter. Dann die 2. Komponente der Rotation, das ist d nach d(z) von –y durch die Wurzel, ja ist wieder 0, -d nach d(x) von 1 ist wieder 0. Also die ersten 2 Komponenten sind 0. Das heißt der Rotationsvektor zeigt auch in den kartesischen Koordinaten nach oben, Richtung z-Achse. Ja, wenn es anders wäre, das heißt, wir haben uns verrechnet. Also die Ergebnisse in Zylinderkoordinaten und kartesischen Koordinaten sollen dieselben sein. Und nun die 3. Komponente der Rotation, das ist d nach d(x) von x/\sqrt(x2+y2)–d nach d(y)-y/\sqrt(x2+y2), ja nun haben wir ekelhafte Ableitungen, da sollen wir in den sauren Apfel beißen und sie ausrechnen. Ja das mache ich auch, die Zeit ist da, na gut. Die ersten 2 Komponenten sind 0, das ist offensichtlich, nun die 3. Komponente, da muss ich leider differenzieren. Ich mache eine Nebenrechnung, und dazu stelle ich die Wurzel, also 1÷Wurzel, stelle ich als Ausdruck ^(-1/2). 1 durch die Wurzel von einem Ausdruck stelle ich so, dass der Ausdruck ^(-1/2). Und dann verwende ich die Produktregel und Kettenregel. Man kann hier auch Quotientenregel berechnen, aber das wird dann ekelhaft aussehen, so ist es meiner Meinung nach bequemer. Aber jeder macht so, wie es ihm bequem ist, ja und wenn ihr es anders machen wollt, dann macht es und ich würde mich freuen, wenn eure Ergebnisse mit meinen Ergebnissen übereinstimmen. Ja nun, also stehen hier zwei Ausdrücke, zwei Ableitungen, die berechnen wir einmal und dann benutzen wir Produktregel und dann Kettenregel. Ja und das mache ich schnell, also auf diesem Stadium, wenn wir uns schon mit Differenzialoperatoren in verschiedenen Koordinaten beschäftigen, dann müssen wir schnell rechnen können, ja ich habe hier nach der Produktregel diesen Ausdruck, dann nach der Kettenregel habe ich –x1/2, -1/2 kommt nach vorne, dann habe ich (x2+y2)-3/2 und dann noch die innere Ableitung, die innere Ableitung lautet 2x. Ich hoffe das ist richtig. Dann + analog (x2+y2)-1/2-y÷2(x2+y2)-3/2×2y. So und wir sehen, die Dinge können wir hübsch zusammen rechnen, ich habe hier zum einen 2-mal die Wurzel von x2+y2, da habe ich die zwei Terme zusammengefasst, also wenn ich zu schnell rechne, dann drückt auf die Pause und rechnet langsamer. An dieser Stelle kann ich schon nicht langsam rechnen, ich habe nicht alle Zeiten der Welt, ja dann 2 fliegt raus, also (x2+y2)÷(x2+y2)3/2, also im 2. Bruch das x2+y2 wird dann Zähler und Nenner sich kürzen, ja und dann habe ich 2-1 durch die Wurzel. Ich habe dann 1 durch die Wurzel. Die Ableitung sah hässlich aus, aber das Endergebnis ist hübsch, ja. Na also, wo schreibe ich das, ja, das ist die Rechnung, also das solltet ihr alle so schnell rechnen können. Das ist die Zielvorgabe. Also was habe ich da bekommen, für die Rotation? 0, 0 sind die ersten 2 Komponenten, das war offensichtlich, ja und dann 1 durch die Wurzel, das war die 3. Komponente, das haben wir mühselig ausgerechnet. Ja, nun kann ich diese Wurzel aus dem Vektor rausziehen, ich habe 1 durch die Wurzel und meine Vektor 0 0 1. Ja das ist mein Ergebnis, das ist Rotation in kartesischen Koordinaten. Ja, das fixiere ich erst mal an der Tafel, und als letztes wollen wir die Ergebnisse vergleichen. 1 durch die Wurzel x2+y2× der Vektor 0 0 1. Die Formeln sehen ein bisschen verschieden aus, aber ich hoffe, wenn man die Beziehungen zwischen kartesischen und Zylinderkoordinaten berücksichtigt, dann sieht man ziemlich sofort, dass das dasselbe ist. Wenn man das nicht sofort sieht, dann mache ich folgende Rechnung: Also Rotation von v und ich betone, die Rechnung wurde in kartesischen Koordinaten durchgeführt, nun setze ich die Formel für die Zylinderkoordinaten ein, ich habe hier statt x habe ich r cos(φ), statt y habe ich rsin(φ) so und der Vektor bleibt konstant. So, unter der Wurzel steht r2 cos2 + r2 sin2, also insgesamt habe ich 1/r und 0 0 1, das ist der Basisvektor in Zylinderkoordinaten, der 3. Basisvektor. Und wir sehen die Ergebnisse sind ja, dieselben. Das ist genau die Rotation, die wir in Zylinderkoordinaten ausgerechnet haben. Es ist egal, in welchen Koordinaten wir rechnen, Ergebnisse sind dieselben, Rotation ist ein Koordinaten unabhängiger Begriff. Bloß, in jeweils anderen Koordinaten müssen wir jeweils andere Rechenformel für die Rotation benutzen, wie ich hier gemacht habe. Ja, und es ist ja egal, ob zuerst die Rotation in Zylinderkoordinaten berechnen und dann es zurück in die katesischen Koordinaten umrechnen, oder umgekehrt, zuerst das Vektorfeld auf die kartesischen Koordinaten umrechnen und dann Rotation in kartesischen Koordinaten berechnen, also Umrechnung auf Koordinaten und Anwendung des Differentialoperators, diese zwei Operationen, also die Reihenfolge kann man ja vertauschen, ja. Also Ergebnis ist dasselbe, man muss bloß in jedem Fall die korrekten Formeln anwenden. Gut, das war die Aufgabe.

Informationen zum Video
3 Kommentare
  1. Default

    Hallo Estner! Die Formelsammlung befindet sich zurzeit nicht auf dieser Seite, sondern z.B. in der Wikipedia, siehe
    http://de.wikipedia.org/wiki/Zylinderkoordinaten#Zylinderkoordinaten
    Gruß Sergej.

    Von Sergej Schidlowski, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Finde die Formelsammlung auch nicht... Weiß jemand wo sie ist?

    Von Estner, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    Wo finde ich deine Formelsammlung?

    Von Pada, vor fast 5 Jahren