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Transkript Richtungs- und partielle Ableitungen - Einführung

In diesem Beitrag wollen wir uns mit den Begriffen partielle Ableitungen und Richtungsableitung genau auseinandersetzen. Wir wollen uns die formale Definition anschauen, die Definition steht schon an der Tafel. Die Inputdaten sind: Eine Funktion f, die ist abhängig von allgemein n Veränderlichen. Wir fixieren den Punkt x0 im Definitionsbereich, wir fixieren einen Richtungsvektor V, der die Länge 1 hat. Und dann bilden wir einen gewissen Grenzwert, und falls dieser Grenzwert existiert, nennt man die Zahl, die da herauskommt, die Richtungsableitung. Nun wollen wir uns diesen Grenzwert genauer anschauen. Es läuft die Variable h gegen 0 und der Ausdruck, der von h abhängig ist, hat folgende Struktur...also ich werte die Funktion f an der Stelle x0+hV aus, subtrahiere davon den Wert von f(x0) und teile das alles durch h und schicke h gegen 0. Das ist der Grenzwert, und wir wollen uns ein bisschen ausführlicher über diesen Grenzwert unterhalten, wir wollen diesen Grenzwert verstehen. Und vielleicht ist eine Veranschaulichung die beste Strategie in diesem Fall. Wir stellen uns vor, dass wir nur zwei Koordinaten haben. Das ist nicht entscheidend hier, das geht alles in die Dimension n, aber wir versetzen uns kurz in die Dimension 2. Wir haben wie üblich die Achsen x, y, Koordinatenursprung, und dann irgendwo hatten wir den Vektor V, Vektor V soll die Länge 1 haben, und irgendwo haben wir den Punkt x0. Es ist jetzt vielleicht ein bisschen verwirrend, dass der Punkt x0 heißt und eine der Koordinaten heißt x. x0, das ist ein Vektor und besteht aus 2 Einträgen, x0 ist ein Punkt auf der Ebene und hat 2 Koordinaten, damit keine Verwechslung zwischen diesem x0 mit Pfeil und ohne Pfeil entsteht. Als nächstes wollen wir den grünen Vektor V derart versetzen, dass der Anfangspunkt des Vektors V mit dem Punkt x0 zusammenfällt. Also, der versetzte Vektor V wird so aussehen. Und nun wollen wir uns anschauen: Was wird hier berechnet, was wird hier ausgewertet? Der Punkt x0+hV wird ungefähr hier sein, das ist x0 (Pfeil) +hV, also dieser Punkt x0+hV landet immer auf dem oberen grünen Pfeil. Und wenn h klein ist, dann landet dieser Punkt sehr nahe am Punkt x0. Was machen wir denn? Wir berechnen den Wert der Funktion f in dem Punkt, ich markiere ihn, und berechnen den Wert der Funktion im Punkt x0. Dann betrachten wir die Differenz der beiden Werte und dividieren diese Differenz durch h; h ist in diesem Fall der Abstand zwischen den beiden Punkten. Nun kommt etwas sehr Wichtiges zur Sprache. Wir dividieren die Differenz zwischen Funktionswerten durch den Abstand zwischen den Punkten, in denen die Funktion ausgewertet wird. In anderen Worten ist das nichts anderes als der Differenzialquotient. Solche Konstruktionen haben wir in der Analysis 1 gesehen. Und dann lässt man den rechten Punkt gegen den linken Punkt laufen, das entspricht der Bewegung 'h geht gegen 0'. Die Grenze von diesem Quotienten nennt man dann die Ableitung der Funktion f, und genau denselben Prozess haben wir in der Analysis 1 beobachtet. Bloß weil wir hier n Dimensionen haben oder 2 Dimensionen, ist hier alles ein bisschen komplizierter geworden, weil wir die Punkte, auf denen wir die Funktion auswerten, immer auf dem grünen Pfeil nehmen, immer in der Richtung des Vektors V nehmen. Deswegen ist dann Vektor V entscheidend für die Zahl, die da als Grenzwert kommt, und deswegen nennt man das nicht einfach nur 'ableiten', sondern 'ableiten in Richtung V'. Soweit zur Veranschaulichung. Okay, wenn man mit diesen Inputdaten den Grenzwert berechnet, und der Grenzwert existiert, so nennt man diesen Grenzwert die Ableitung der Funktion f im Punkt x0 in Richtung V, oder kürzer: Richtungsableitung von f nach V im Punkt x0, oder wie auch immer. Wenn ihr ein bisschen mehr veranschaulichen wollt, dann schaut euch bitte unseren Veranschaulichungsbeitrag an, da zeichne ich mehr Bilder, da wird alles bunter und auch verständlicher. Aber ich will erst mal hier die Malerei und Zeichnerei sein lassen. Wir wollen uns ein paar weitere wichtige formale Sachen anschauen, und zwar: Was ergibt es denn, wenn wir spezielle Vektoren, Richtungsvektoren V betrachten? Spezialfall: partielle Ableitung. Wenn wir statt V einen kanonischen Einheitsvektor nehmen, dann bekommen wir die entsprechende partielle Ableitung. Ich mache das jetzt genauer. Also: Ist V=ej (dem kanonischen Vektor, kanonischen Einheitsvektor, und kanonische Einheitsvektoren sehen bekanntlich so aus, sie haben überall die Einträge 0 - bis auf den j-ten Eintrag, im j-ten Eintrag steht 1), so ist die ableitende Funktion f in Richtung ej in Punkt x0 (Pfeil) die partielle Ableitung nach der Variablen xj im Punkt x0 (Pfeil). Das kann man ruhig als Definition der j-ten partiellen Ableitung betrachten, das kann man als Definition nehmen. Also, die partiellen Ableitungen sind spezielle Richtungsableitungen, partielle Ableitungen sind Richtungsableitungen in Richtung der Koordinatenachsen. Das ist erst mal die Begriffsbildung, und ich empfehle euch, den Veranschaulichungsbeitrag dazu anzuschauen, da wird es alles verständlicher. Nun, was wollen wir denn machen? Also die Definitionen sind schön und gut, aber sie sind umständlich und unübersichtlich. Jetzt will ich sagen, was man konkret tun soll, um die partiellen Ableitungen oder Richtungsableitungen zu berechnen. Ich will hier ein Beispiel anschreiben, das an sich interessant ist. Das ist keine Attrappe, aber ich will das Beispiel nicht durchrechnen, ich will einfach nur sagen, was man da vom Grundsatz her machen soll. Und wieder, damit wir ein bisschen mehr Übersicht haben, beschränke ich mich auf eine Funktion, die von zwei Veränderlichen abhängig ist. Und, wie will ich das betiteln...Berechnung partieller Ableitungen. Ich will deutlich machen: Wo soll man die Definition, die wir gerade erläutert haben, direkt benutzen, wo kann man diese Funktion umgehen? Also, ein kurzes Beispiel, ich habe gar nicht vor, dieses Beispiel vorzurechnen. Ich will einfach nur sagen, was man da tun soll. Also die Funktion f ist von zwei Veränderlichen abhängig, bildet von R2 nach R ab nach der folgenden Regel: (x2-y2)/(x2+y2), falls x,y vom Nullpunkt verschieden ist; und ich glaube 1, falls x,y=0 ist. Nun wollen wir die partiellen Ableitungen der Funktion f berechnen. Diese Definition mit dem Grenzwert ist ja sehr umständlich, man muss sie auch nicht immer anwenden. Jetzt wollen wir etwas näher darauf eingehen, wo man denn diese Definition anwenden soll. Wir sehen hier, dass die Funktion fast überall durch eine schöne Formel gegeben ist, (x2-y2)/(x2+y2), aber es gibt einen gemeinen Ausnahmepunkt, den Koordinatenursprung hier, wo die Funktion einfach nur =1 gesetzt ist. Und wenn wir einen Punkt nehmen der weit weg...nicht weit weg, wenn der vom Ursprung einfach nur verschieden ist, sodass in einer kleinen offenen Umgebung dieses Punktes die Funktion durch eine Formel gegeben ist, dann können wir die Funktion f so differenzieren, wie wir es gewohnt sind. Wir nehmen dann, um die Ableitung ∂f/∂x zu berechnen, Punkt x0, y0, wobei der Punkt x0,y0 von 0 verschieden ist, das heißt in einer offenen Umgebung des Punkts x0,y0 ist die Funktion durch eine schöne Formel gegeben. Dann berechnen wir die ganz normale Ableitung nach x. Also wir betrachten y als fest, y als eine Konstante, und differenzieren nach den gewohnten Regeln nach x, so wie wir es in Analysis 1 gemacht haben...bla bla bla. Und die partielle Ableitung nach y genau so. In dieser Rechnung halten wir x fest, wir betrachten x als Konstante und differenzieren nach y. Und das ist ja eine Rechnung, man rechnet meinetwegen zwei Zeilen und bekommt ein Ergebnis. Der Punkt ist, ich fasse noch einmal zusammen: Wenn wir um den Punkt x0,y0 eine Kugel nehmen können, sodass überall auf dieser Kugel die Funktion f durch eine schöne Formel gegeben ist, dann differenzieren wir ganz normal, wie wir es aus Analysis 1 gewohnt sind. Wenn wir aber einen Punkt haben, wie hier 0,0, sodass in jeder noch so kleinen Kugel um diesen Punkt herum die Funktion durch verschiedene Formeln gegeben ist, im Punkt selbst haben wir 1 und rund um diesen Ursprungspunkt herum haben wir eine Formel, dann müssen wir direkt die Definition der parallelen Ableitung benutzen. Und die partielle Ableitung wird definiert als Richtungsableitung in Richtung einer der Koordinatenachsen. Und was konkret soll ich hier machen, um die x-Ableitung im Punkt 0,0 zu berechnen? Da schreiben wir die Definition hin, das war lim h->0, das ist ja immer so, irgendwas dividiert durch h, das kann man immer so hinschreiben. Nun sollen wir uns überlegen: Was steht da in der ersten Etage, was steht im Zähler des Bruchs? Da steht f, ausgewertet an irgendeiner Stelle, -f, ausgewertet an irgendeiner Stelle. Und ich schlage euch vor: Schreibt die Definition, die ich gerade erläutert habe, ab und schaut mal, was genau für diesen Fall passiert. Also, wir subtrahieren den Wert der Funktion im Punkt 0,0, in dem wir differenzieren wollen, und hier ganz am Anfang haben wir Folgendes: Den Punkt 0,0, in dem wir differenzieren wollen, +h×Einheitsvektor, der in die Richtung der x-Achse zeigt, weil wir nach x differenzieren. Und der Einheitsvektor der x-Achse ist der Vektor 1,0. Und deshalb sollen wir hier lim h->0 (f(h,0)-f(0,0))/h berechnen. Dann schreiben wir das hin, rechnen das aus, das will ich ja nicht machen. Ich wollte sagen, was man da grundsätzlich machen soll. Nun liebe Leute, jetzt hab ich ja Probleme: Es ist 1 hier (oder 0...da muss ich noch mal nachschlagen, nicht dass ich euch ein schlechtes Beispiel gegeben habe... also das ist 1, ok, ich hatte hier Zweifel bekommen)... gut, und das war die partielle Ableitung im Punkt 0,0. Und analog die partielle Ableitung nach y im Punkt 0,0, die stellt man genau so auf und bekommt den Grenzwert (f(0,h)-f(0,0))/h und rechnet das aus. Und ich empfehle jedem von euch, dieses Beispiel durchzurechnen. Wer dabei Schwierigkeiten hat, auf dieser Seite gibt es einen Beitrag, auf dem ein ähnliches Beispiel vorgerechnet wird. Das ist eine schöne Übungsaufgabe, macht das. So berechnet man in der praktischen Situation die partiellen Ableitungen, ausgehend von der Definition, die wir da gegeben haben. Nun will ich auch kurz dazu sagen, wie man die Richtungsableitung berechnet. Ja klar, man kann direkt die Definition benutzen, aber es gibt auch glückliche Situationen, wo man diese umständliche Definition wieder umgehen kann. Berechnung der Richtungsableitung: Die Ausgangslage ist, dass man eine Funktion von n Veränderlichen hat, reellwertig, x0 ist ein Punkt im Definitionsbereich, V ist ein Richtungsvektor, und noch sehr wichtig: Richtungsvektor V soll auf 1 normiert sein. Vektor V hat die Komponenten V1 bis Vn, und ist auf 1 normiert, die euklidische Länge vom Vektor V ist =1. Dann hat man für die Richtungsableitung der Funktion f eine schöne Formel, und zwar ist das die Summe, j geht von 1 bis n, die partielle Ableitung der Funktion f nach xj im Punkt x0 ×die j. Komponente des Richtungsvektors. Oder - man kann das ein bisschen übersichtlicher schreiben, man multipliziert skalar miteinander den Vektor der partiellen Ableitungen mit dem Richtungsvektor aus. V1...Vn. Und das ist einfacher, man kann einfach die partiellen Ableitungen berechnen, und dann kann man einfach das Skalarprodukt berechnen. Diese Formel geht aber nicht immer, also die Voraussetzung ist, dass f total differenzierbar ist, falls f differenzierbar ist. Gut, und mit dieser einfachen Formel kann man den Rechenaufwand abkürzen. Benutzt es!

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