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Transkript Rechnen mit komplexen Zahlen 2 - Multiplikation

Hallo liebe Schüler, liebe Studenten. Hier ist Dr. Vodopivec. Heute werden wir zeigen, wie man die komplexen Zahlen multipliziert und geben wir drei rechnerische Beispiele an. Dabei betrachten wir sowohl alle Faktoren, als auch das Produkt in der arithmetischen Darstellung. Also stellen wir im Folgenden eine komplexe Zahl z in der Form z=a+bi dar. Dabei sind a und b reelle Zahlen. Die Zahl a heißt Realteil von z und die Zahl b Imaginärteil. Das i wird als Wurzel aus -1 definiert. Im Folgenden zeigen wir, wie man zwei komplexe Zahlen z1 und z2 multipliziert. Wir definieren z1=a+bi und z2=c+di in der arithmetischen Darstellung. Das heißt a, b, c und d sind Elemente von R. Dann gilt z1×z2=(a+bi)×(c+di). Das Produkt der beiden Zahlen ist nun definiert als (ac-bd)+(ad+bc)i. Da ac-bd und ad+bc reelle Zahlen sind, ist dies die arithmetische Darstellung des Produkts. Für das Rechnen in der Praxis könnt ihr euch aber einfach merken, das man wie bei den reellen Zahlen eine Art Distributivgesetz anwendet. Also: a×c=ac, plus a×di=adi, plus bi×c=bci, plus bi×di=bdi², wobei i²=-1 ist. Weiter ergibt sich =ac-bd+adi+bci=ac-bd+(ad+bc)i. Nun haben wir wieder die arithmetische Form des Produkts da stehen. Beispiel 1: Seien z1=2-3i und z2=1-i. Wir berechnen das Produkt z1×z2. Es gilt z1×z2=(2-3i)(1-i). 2×1=2, 2×(-i)=-2i, -3i×1=-3i und -3i×(-i)=+3i², wobei i²=-1 ist. Weiter gilt 2-3=-1 und -2i-3i=-5i. Also ist das Produkt z1×z2=-1-5i. Beispiel 2: Seien z1=/sqrt2-i und z2=/sqrt2+i. Dann gilt z1×z2=(/sqrt2-i)(/sqrt2+i). Nach der dritten binomischen Formel gilt =(/sqrt2)²-i². Und mit i²=-1 gilt weiter =2+1=3. Also ist z1×z2=3. Beispiel 3: Seien z1=½+i, z2=-2+4i und z3=-1-i. Wir berechnen z1×(z2)²+z2×z3. Zuerst klammern wir z2 aus. Es gilt weiter (½+i)(-2+4i)+(-1-i). Weiter gilt ½×(-2)=-1, ½×4i=2i, i×(-2)=-2i und i×4i=4i², dann -1-i und alles mal (-2+4i), wobei i²=-1 gilt. Nun fassen wir zusammen: -1-4-1=-6, 2i-2i-i=-i und alles mal (-2+4i). Weiter -6×(-2)=12, -6×4i=-24i, -i×(-2)=+2i und -i×4i=-4i², wobei i²=-1 ist. Es ergibt sich 16-22i. Heute haben wir gelernt wie man zwei komplexe Zahlen z1 und z2 multipliziert. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit und viel Spaß beim Lernen! Euer Dr. Vodopivec

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7 Kommentare
  1. Default

    Vielen Dank, jetzt sehe ich klarer. Schönen Tag wünsch ich noch und viele Grüsse steffen

    Von Steffen K., vor mehr als einem Jahr
  2. Felix

    @Steffen K.:
    Wenn man nur die reellen Zahlen kennt, dann kann man keine Wuzeln aus negativen Zahlen ziehen. Die Gleichung x^2=-1 ist also nicht lösbar.
    Das Problem kann man umgehen, wenn man die reellen Zahlen zu einen größeren Zahlenbereich, die komplexen Zahlen, erweitert und die imaginäre Einheit i mit i^2=-1 einführt.
    Merke dir: Wenn du mit komplexen Zahlen rechnest, dann kannst du i^2 immer durch -1 ersetzen, weil das so festgelegt ist.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen wende dich gerne an den Fach-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Sehr gut. Ich verstehe aber immer noch nicht wo das i herkommt und warum als Wurzel-1 definiert wird? Steffen

    Von Steffen K., vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    beisp 3: wieso haben sie Z2 quadriert?

    Von Javidsharifi, vor mehr als 3 Jahren
  5. Default

    Hat sich erledigt, ich habe meinen Fehler gefunden, es ist natürlich nicht 3-1 sonder 3*(-1).

    Von Christianahrenshh, vor mehr als 3 Jahren
  1. Default

    Hallo,

    wenn i^2 = 3 ist, müsste dann in Beispiel 1 nicht gelten
    3i^2 = 3-1 = 2 und damit 2-2=0 und nicht 2-3=-1?

    Gruß

    Von Christianahrenshh, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Ach ja,

    und sollte es anhand der Definition
    (a+bi)*(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i
    nicht (2-3i)*(1-i)=2+3i^2-2i-3i heißen?

    Von Christianahrenshh, vor mehr als 3 Jahren
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