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Transkript Potentialfelder – Einführung

In diesem Beitrag präsentiere ich Begriffe zum Thema Potenzialfelder. Gut. Und wir starten sofort mit der Definition des Potenzialfeldes. Ich habe schon angefangen, diese Definition hier zu schreiben, und wir wollen sie ergänzen. Ausgangsobjekt ist ein Vektorfeld F^-> von Rn nach Rn, R in n-ter Dimension. Für uns natürlich sind relevant die Dimension 2 und die Dimension 3, aber ich will beide Fälle zugleich behandeln. Also ein Vektorfeld F^-> heißt Gradientenfeld, falls es eine Funktion gibt, also das dieses Vektorfeld genau der Gradient dieser Funktion ist oder der Gradient dieser Funktion mit entgegengesetztem Vorzeichen. Das hört sich vielleicht ein bisschen schwierig an. Nun schreibe ich das an die Tafel. Ein Vektorfeld F^-> heißt Gradientenfeld, falls es eine Funktion gibt - ich betone reellwertige Funktion - und dieser Funktion gebe ich einen Namen, φ zum Beispiel. Sie ist reellwertig, also bildet nach R ab. Manchmal bezeichnet man Potenziale auch mit dem Buchstaben U. Mit der folgenden Eigenschaft: Das Vektorfeld = -Gradient der Funktion φ. Das ist die Definition, die wir haben, und Gradientenfelder heißen manchmal konservativ. In der Physik nennt man solche Felder konservative Felder. Und dazu gibt es auch einen weiteren Namen, Potenzialfelder. Also noch einmal: Potenzialfeld, konservatives Feld und Gradientenfeld, das ist alles dasselbe. Das ist alles derselbe Begriff, und ein Vektorfeld heißt konservativ oder Gradientenfeld oder Potenzialfeld, wenn es eine Funktion φ gibt, also dass das Feld -Gradient dieser Funktion ist. Das ist erst mal die Definition. Nun habe ich noch ein paar Bemerkungen zu dieser Definition und in diesem Kontext heißt die Funktion φ Potenzial des Feldes F^->. Das ist noch ein wichtiger Begriff. Also Bemerkungen: φ wie oben heißt ein Potenzial des Feldes F^->. Die zweite Bemerkung: Es gibt unterschiedliche Vorzeichenkonventionen. Ich habe hier geschrieben F^->=-Gradient der Funktion φ. manchmal schreibt man auch diese Definition ohne Minus auf. Und Minus spielt eine gewisse Rolle. Wenn man einen physikalischen Kontext hat, und diese Begriffe sind aus der Physik gekommen, dann steht Minus auf jeden Fall da. Wenn man elektrische Potenziale des elektrischen Feldes betrachtet, wenn man Potenziale des Gravitationsfeldes betrachtet, dann muss Minus aus physikalischen Gründen dastehen. Ich kann an dieser Stelle nicht darauf eingehen, warum das so ist, aber ich mache hier an dieser Stelle Schnitt. In der Physik steht Minus immer da. Wenn man diesen Begriff einfach nur formal behandelt, ohne auf die physikalischen Inhalte einzugehen, dann ist dieses Minus unwichtig. Aus folgendem Grund: Wir wissen, dass das Gradient eine lineare Abbildung ist, ja? Also Gradient ist linear. Deswegen können aufgrund der Linearität kann ich - hineinschieben in diese Gleichung und dann statt der Funktion φ betrachte ich die Funktion -φ. Ja und dann, dann hab ich meinetwegen eine andere Gleichung, F^->= Gradient von φ^, wobei φ^ = -φ ist. Und auch aus formalen Gründen, aus rechnerischen Gründen, ist relativ egal, ob man mit φ oder mit φ^ arbeitet, ob man mit Minus arbeitet oder ohne Minus arbeitet. Das nimmt kaum irgendwelchen Einfluss auf die Rechnungen. Das ist ein Hinweis. Es gibt also 2 verschiedene Vorzeichenkonventionen, also einmal mit Minus und einmal ohne Minus. Es gibt auch eine andere Vorzeichenkonvention, und in der Definition des Potenzials, des Gradientenfeldes, schreibt man F^->= einfach nur der Gradient des Potenzials ohne Minus. Und man muss da flexibel sein. In der Literatur sieht man beide Konventionen, das ist das Eine, und in der physikalischen Literatur sieht man Konvention mit Minus. Gut. Ja, das ist erst mal ein Begriff und dann ich hab schon so oft erwähnt, dass das in der Physik wichtig ist, und vielleicht sag ich noch ein Wort dazu. Warum heißt denn so ein Feld Potenzialfeld oder Gradientenfeld? Das ist klar. Weil halt mit Gradienten zu tun hat, weil Potenzial hier auftaucht. Ich hab gesagt auch, dass solche Felder konservative Felder heißen. Wenn man das alles formal so anschaut, dann ist das auch nicht klar, woher dieser Name konservativ kommt. Ich möchte jetzt kurz erklären, was das bedeutet, konservatives Feld. Man kann sehr schnell nachrechnen, dass in einem konservativen Feld Energie erhalten bleibt. Daher heißt das Feld konservativ. Also konservieren auf Latein bedeutet zu Deutsch erhalten. Weil Energie in einem solchen Feld erhalten bleibt, nennt man ein solches Feld konservativ. Dieses Feld erhält die Energie. Und, also, für konservative Felder gilt der zentrale Satz in der Physik, der Energieerhaltungssatz, und ich werde noch konkreter. Ich werde noch konkreter: Man weiß ja, das Gravitationsfeld auf unserem Planeten ist konservativ, ja? Was ist ein Gravitationsfeld? In jedem Punkt des Raumes greift an jedem Gegenstand Kraft an, die diesen Gegenstand nach unten drückt. Wenn ich jetzt einen Stift loslasse, dann fliegt der Stift, fällt der Stift nach unten, ja, weil eine Kraft angreift, ja? Und diese Kraft kann man als ein Vektorfeld modellieren, ja? Die Pfeile von diesem Vektorfeld zeigen überall nach unten, und wenn man dieses Vektorfeld studiert, dann kann man zeigen, dass dieses Feld ein Potenzial besitzt, ja? Und in der Physik kann man zeigen, dass im Gravitationsfeld Energie eines Massenpunktes erhalten bleibt. Also Energie, wir wissen, das ist ja Summe von der potenziellen und der kinetischen Energie, und wenn ich den Stift fallen lasse, ja, dann, ja dann besitzt der Stift also oben und unten dieselbe Energie. Ja also unten ist die kinetische Energie größer als oben. Oben ist die kinetische Energie 0, Potenzialenergie hoch, also unten beim Fallen die kinetische Energie nimmt zu, Potenzialenergie nimmt ab, aber die Summe bleibt erhalten, ja? Und das reicht jetzt. Kein Wort mehr dazu. Also in einem konservativen Feld, solche Felder heißen deshalb konservativ, weil da Energie erhalten bleibt. Und in der Physik benutzt man das immer wieder. Wir sind jetzt aber in der Mathematik, da wollen wir uns mit formalen Sachen beschäftigen. Da gibt es eine ganze Menge zu tun. Soweit haben wir festgestellt: Konservative Felder oder Potenzialfelder, das ist dasselbe, sind wichtig. Nun stellt sich natürlich die Frage: Wenn wir ein Vektorfeld vor uns sehen, dann möchten wir irgendwie beurteilen, ob dieses Feld ein Potenzial besitzt, ob dieses Feld nun konservativ ist. Und als nächstes präsentiere ich ein Kriterium, wie man das beurteilen kann. Und dazu brauche ich einen Begriff, der vielleicht für euch neu ist: den Begriff der Konvexität von Mengen. Und das ist ein kleiner Exkurs, Konvexität von Mengen, und damit beschäftigen wir uns als nächstes. Und dann, wenn ich den Begriff der Konvexität habe, dann schreibe ich euch hinreichende Bedingungen, an denen man erkennen kann, dass ein vorgelegtes Feld konservativ ist. Und Konvexität ist kein sehr anschaulicher Begriff. Konvexität. Man kann eine Menge, eine Teilmenge von der Ebene, eine Teilmenge des Raumes, konvex oder nicht konvex nennen, und zwar unter folgenden Gesichtspunkten, ja? Eine Menge hat mit der Eigenschaft, dass beliebige 2 Punkte sich durch eine Strecke verbinden lassen und diese Verbindungsstrecke ist komplett in der Menge enthalten. Wenn wir diese Eigenschaft haben, dann heißt die Menge konvex, ja? Und die Menge, die ich hier skizziert habe, die Menge, ich meine jetzt das Innere von dieser Linie, ja? Das Innere von dieser Schleife, dieser Fleck, ist konvex.  Weil egal, welche 2 Punkte ich aus dieser Menge nehme: Die Verbindungsstrecke dieser 2 Punkte wird immer in der Menge enthalten sein. Und so weiter. Und es gibt natürlich nicht komplexe Mengen. Wenn ich diese Menge, nehme, Hufeisen, ist nicht richtig Hufeisen, aber hufeisenartig, und ich betrachte das Innere natürlich. Diese Menge hat diese Eigenschaft nicht, denn es gibt 2 Punkte auf dieser Menge. Also das die Verbindungsstrecke zwischen diesen 2 Punkten nicht komplett in der Menge enthalten ist.  Also der Teil der Verbindungsstrecke läuft raus. Diese Menge ist nicht konvex. Gut. Und mehr dazu ist nicht zu sagen. Das ist die Definition und die schreibe ich noch einmal an die Tafel. Ich hoffe, das war begreiflich, nun schreibe ich das wie gesagt an die Tafel. Also eine Menge heißt konvex, falls die Verbindungsstrecke zwischen 2 beliebigen Punkten vollständig in der Menge enthalten ist.  Definition: Eine Menge M, Teilmenge von Rn, heißt konvex, falls für beliebige 2 Punkte P1 und P2, 2 Punkte dieser Menge, die Verbindungsstrecke von P1 nach P2 vollständig in M enthalten ist. Das ist die Definition. Wichtig ist, dass diese Eigenschaft für beliebige 2 Punkte funktioniert. Wenn das irgendwelche 2 Punkte gibt, für die es geht, dann ist das nicht ausreichend. Wichtig, dass es für beliebige Punkte erfüllt ist. Dann: Wichtig ist, dass die Verbindungsstrecke vollständig in der Menge enthalten ist. Auf diesen 2 Wörtchen liegt sehr große inhaltliche Betonung, sehr deutliche inhaltliche Betonung. Und noch einmal Beispiele. Wir spielen jetzt ein bisschen mit Kreisen. Also ich nehme da jetzt so ein Kreissegment. Dieses Kreissegment ist konvex. Und wie kann man das verdeutlichen? Also noch einmal: Die Verbindungsstrecke zwischen beliebigen 2 Punkten ist im Kreissektor enthalten.  Wenn das so ist, dann, dann darf man nicht schließen, dass beliebiger Kreissektor konvex ist, und Beispiel kommt gleich. Ich nehme so einen Kreissektor, als mit dem inneren Winkel größer als 180°, und so ein Kreissektor ist nicht konvex. Und bei welchen Punkten funktioniert nicht? Also wir nehmen diese Spitzen, verbinden sie mit einer Strecke, ja, und sehen, dass die Strecke aus der Menge rausläuft. Also konvex ist diese Menge, die zweite Menge ist nicht konvex. Und vielleicht noch ein Beispiel. Da nehme ich so einen Klecks auf der Tafel. So ein Sternfisch. Und diese Menge ist wieder nicht konvex. Wenn wir 2 Fühler mit einer Strecke verbinden, dann ist diese Verbindungsstrecke, die rote Verbindungsstrecke, nicht komplett in der Menge enthalten. Also wieder nicht konvex. Das ist das Ende von unserem Exkurs. Nun wenden wir uns wieder dem Thema Potenziale zu. Wie gesagt, ich will hinreichende Bedingungen formulieren, unter denen ein gegebenes Feld ein Potenzial besitzt, und da wird Konvexität eine Rolle spielen. Gut. Also das formuliere ich als einen Satz. Satz: Hinreichende Bedingungen der Existenz des Potenzials. Hinreichende Bedingungen, Bedingungen, der Existenz des Potenzials. Ich nehme ein differenzierbares Vektorfeld. Wenn seine Ableitungsmatrix symmetrisch ist und sein Definitionsbereich konvex ist, dann besitzt dieses Feld ein Potenzial. Also sind 2 Bedingungen, und wir wollen sie, die Bedingungen des Felds der Ableitungsmatrix, näher erläutern. Nun schreibe ich das an die Tafel. Ein Vektorfeld - ich setze voraus, dass es ein differenzierbares Vektorfeld ist - ein differenzierbares Vektorfeld, und ich betrachte das Vektorfeld in der Dimension n. Diese Aussage, die ich da formuliert habe, die ist richtig für beliebige Dimension n, aber wir halten dann im Kopf, dass für uns die Dimension n=2 und n=3 die wichtigsten sind. Ein differenzierbares Vektorfeld F^-> besitzt, und wohlgemerkt auch im Definitionsbereich D, ein Potenzial, falls 1.) Die Ableitungsmatrix von F^-> ist symmetrisch 2.) Der Definitionsbereich des Feldes ist konvex. Der Definitionsbereich D von F^-> ist konvex. Nun eine kleine Erläuterung. Die Gesamtheit von diesen 2 Bedingungen ist hinreichend, aber sind nicht notwendig. Der Definitionsbereich muss nicht konvex sein und das Potenzial kann trotzdem existieren. Aber wenn der Definitionsbereich nicht konvex ist, dann weiß man nicht so genau.  Wenn Definitionsbereich konvex ist und die Ableitungsmatrix des Feldes symmetrisch ist, dann weiß man, dann sagt die Theorie, dass das Feld garantiert ein Potenzial besitzt.  In diesem Sinne sind die Bedingungen hinreichend, aber nicht notwendig. Das ist das Eine, und das Zweite: Die Bedingung, dass die Ableitungsmatrix von F^-> symmetrisch ist, ist an sich notwendig. Wenn sie nicht erfüllt ist, dann hat das Feld keine Chance, Potenzial zu besitzen. Jetzt wollen wir diese notwendige Bedingung, dass die Ableitungsmatrix von F^-> symmetrisch ist, näher diskutieren. Das es diese Formulierung gibt für beliebige Dimensionen. Nun wollen wir sehen, was diese Formulierung in der Dimension 2 und in Dimension 3 konkret bedeutet. Das wird sich lohnen und ich brauch ein bisschen Platz. Also Dimension n=2, die 2. Dimension. Und ich werde ausschreiben, unter welchen Umständen die Ableitungsmatrix eines Feldes in der 2. Dimension symmetrisch ist. Also die Ableitungsmatrix eines Feldes F^-> also in 2. Dimension, das heißt, das Feld ist von 2 Koordinaten abhängig, (x, y) wie immer, und hat 2 Komponenten. Und die Komponenten des Feldes bezeichne ich  traditionell mit den Buchstaben P und Q. Ich könnte sie auch mit F1 und F2 bezeichnen. Die Ableitungsmatrix von F^-> ist symmetrisch genau dann, wenn... Nun wollen wir uns anschauen, unter welchen Bedingungen. Machen wir eine Nebenrechnung. Die Ableitungsmatrix von F^-> sieht so aus. Sie besteht aus dem Gradienten der Komponentenfunktion zeilenweise angeordnet. Die erste Komponentenfunktion ist P. Deren Gradient lautet die x-Ableitung und die y-Ableitung und in der zweiten Zeile steht der Gradient der Komponentenfunktion Q. Das ist die Ableitungsmatrix des Feldes F^-> und wenn wir fordern, dass die Matrix symmetrisch ist, das heißt die Elemente hier auf der Nebendiagonale in den Ecken sie müssen gleich sein. Das bedeutet die Symmetrie der Ableitungsmatrix. Also konkret in der zweiten Dimension die Ableitungsmatrix eines solchen Feldes es ist symmetrisch genau dann, wenn die y-Ableitung der ersten Komponente des Feldes gleich der x-Ableitung der zweiten Komponente des Feldes ist.  Also diese Elemente in den Ecken sollen gleich sein. So, also, diese Gleichung soll natürlich überall auf den Definitionsbereich von F^-> erfüllt sein. Definitionsbereich des Feldes natürlich. So schreibt sich die notwendige Bedingung der Existenz des Potenzials der 2. Dimension aus. So eine Gleichung muss erfüllt sein. Nun schauen wir uns die Bedingung in der 3. Dimension n=3 an. Und ich möchte eine ähnliche Formulierung machen, aber in der 3. Dimension. Also die Ableitungsmatrix eines Vektorfeldes F^-> in der 3. Dimension also abhängig von 3 Veränderlichen, und ich benutze wie üblich die kartesischen Koordinaten (x, y, z). Die Komponenten des Feldes nehme ich wie gewohnt P, Q, R. Die Ableitungsmatrix ist symmetrisch genau dann, wenn... Und nun wollen wir es uns überlegen. Ich hab leider wenig Platz, aber ich hoffe, ich komme damit klar. Deswegen zeichne ich den Pfeil vielleicht ein bisschen kleiner. Und hier ist vielleicht etwas längeres Überlegen. Also gut. Wir fangen genau so an wie vorher. Ich zeichne die Ableitungsmatrix hin, schreibe die Ableitungsmatrix hin von F^->. Wird ein bisschen dauern. Vielleicht ich unterdrücke die Abhängigkeit von (x, y, z), sonst habe ich viel zu viel Schreibarbeit. Also die Ableitungsmatrix von F^-> ist, das ist eine Matrix, besteht aus Gradienten der Komponentenfunktion zeilenweise angeordnet, wie immer. Also dP nach dx, dP nach dy, dP nach dz. Dann die zweite Zeile dQ nach dx, dQ nach dy, dQ nach dz und die dritte Zeile dR nach dx, dR nach dy und dR nach dz. Das ist die Ableitungsmatrix. Nun fragen wir uns: Was bedeutet denn Symmetrie dieser Matrix? Symmetrie dieser Matrix bedeutet, dass die Elemente, die bezüglich der Diagonale auf symmetrischen Positionen stehen, sie sollen gleich sein. Also die Elemente, die ich jetzt hier markiere, die sollen gleich sein. Diese beiden Elemente sollen gleich sein, die mit gestrichelter Linie markierten Elemente sollen gleich sein  und die mit dem Quadrat, mit dem Kasten markierten Elemente sollen auch gleich sein. Und Elemente auf der Diagonalen können tun, was sie wollen. Sie beeinflussen nicht die Symmetrieeigenschaften der Matrix. Gut. Dann schriebe ich das aus. Es ist so, dass... Moment, Moment, Moment, wie ist es besser zu schreiben... Also dQ nach dx soll gleich dP nach dy sein. Das war die erste Bedingung, dann die nächste Bedingung d, da muss ich wieder überlegen, welche Buchstaben sind da. Dann dP nach dz muss gleich dR nach dx sein.  Das waren die Elemente markiert durch die gestrichelte Linie und dR nach dy, Moment, Moment, lieber so: dQ nach dz soll dR nach dy sein.  Das ist die Symmetrie der Ableitungsmatrix. Symmetrie der Ableitungsmatrix ist durch diese 3 Gleichungen gegeben. Also. Der Ableitungsmatrix des Vektorfeldes F^-> mit 3 Komponenten ist symmetrisch genau dann, wenn diese 3 Gleichungen erfüllt sind. Nun schiebe ich in diesen 3 Gleichungen den Term auf der rechten Seite auf die linke Seite und die Gleichungen bekommen folgende Form. Und wenn man genau schaut, P, Q, R, wenn man genau hinschaut, dann stehen hier 3 Komponenten der Rotation des Feldes F^->. Das ist äquivalent dazu, dass die Rotation des Feldes F^-> =0 ist. Bitte macht euch klar, dass hier die Komponenten der Rotation des Feldes F^-> stehen. So, und so haben wir das hat ein bisschen gedauert, so haben wir die notwendige Bedingung der Existenz des Potenzials in der 3. Dimension hergeleitet. Umformuliert, genau gesagt. Also: Die Ableitungsmatrix des Feldes F^-> ist symmetrisch genau dann, wenn die Rotation von diesem Feld verschwindet. Das ist, diese Formulierung ist bequemer als die Forderung der Symmetrie der Ableitungsmatrix. Bloß wenn wir von der Symmetrie der Ableitungsmatrix sprechen, dann erfassen wir damit alle relevanten Dimensionen. So. Und in der 1., der 2., der 3. Dimension hat man die Formulierung "Symmetrie der Ableitungsmatrix", und in diesen Dimensionen kann man diese Forderung der Symmetrie der Ableitungsmatrix recht verschieden formulieren. Die Rotation soll natürlich 0 sein überall auf dem Definitionsbereich. Wenn wir ein konkretes Vektorfeld vor uns haben und prüfen wollen, ob dieses Vektorfeld Potenzial besitzt,  dann schauen wir erstens auf die Dimension des Vektorfeldes. Wenn die Dimension 3 ist, dann prüfen wir, ob Rotation des Feldes 0 ist und Definitionsbereich konvex ist. Wenn das erfüllt ist, dann besitzt das Feld ein Potenzial. Wenn die Dimension 2 ist, dann prüfen wir, ob diese Bedingung hier erfüllt ist, dP nach dy=dQ nach dx, erstens. Zweitens schauen wir, ob der Definitionsbereich konvex ist. Wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind, dann besitzt dieses Feld ein Potenzial. So und die Beispiele gibt es auf dieser Seite. Ich rechne ein Beispiel für die 2. Dimension vor, und ich rechne ein Beispiel für die 3. Dimension vor. Da zeige ich auch konkret, wie man Potenzial, wenn man es schon festgestellt hat, dass Potenzial existiert, dann zeige ich euch konkret, wie man Potenzial berechnet.

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2 Kommentare
  1. Default

    sehr sehr gut und anschaulich
    danke man

    Von Paul221188, vor mehr als 6 Jahren
  2. Default

    Bei den hinreichenden Bedingungen den Potentialfelder sagst du
    (i) Abl. Matrix symmetrich
    (ii) Def. Bereich konvex

    Du sagst (i) sei notwendig aber (i),(ii) sein hinreichend. Es wäre schön wenn du noch was zu (ii) sagst, wann ein def. Bereich konvex ist.

    Von Wellenreitr, vor etwa 7 Jahren