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Transkript Picarditeration und Banachscher Fixpunktsatz

Willkommen zum zweiten Teil der Picard-Iteration. Hier geht es jetzt um das Konvergenzkriterium der Picard-Iteration, also dem Banachschen Fixpunktsatz. Unsere Ausgangssituation ist also, dass wir eine Funktion f haben, deren Fixpunkt wir bestimmen wollen, und diese Funktion f von einem Definitionsbereich in den Rn abbildet. Die Beispiele in diesem Video sind nur eindimensional. Was ich hier zum Banachschen Fixpunktsatz sage, gilt aber auch mehrdimensional. Es gibt jetzt drei Kriterien und wir können sagen, dass wenn alle drei Kriterien erfüllt sind, dann konvergiert die Picard-Iteration für jeden belieben Startwert x0 aus diesem Definitionsbereich D der Funktion f gegen den eindeutigen Fixpunkt. Das heißt, dann gibt es auch nur einen einzigen Fixpunkt in diesem Bereich D. Diese drei Kriterien, die erfüllt sein müssen, sind nun die folgenden: 1. Dieser Definitionsbereich D ist eine echte Teilmenge des Rn und abgeschlossen. 2. f bildet D auf sich selber ab. Und 3. f ist eine Kontraktion. Das bedeutet, dass für alle x und y aus dieser Menge D gilt, dass ||f(x)-f(y)||/||x-y||<1. Was das alles im Einzelnen bedeutet, werden wir gleich an einem Beispiel noch sehen. Eine Sache noch: Wenn diese drei Kriterien erfüllt sind, heißt das, dass für jeden Startwert x0 aus dieser Menge D das Verfahren konvergiert, wir also eine globale Konvergenz haben. Wenn zum Beispiel auf den Rändern das nicht erfüllt ist, dann kann das Verfahren im Inneren trotzdem konvergieren. Das funktioniert nur dann nicht, wenn wir während des Verfahrens irgendwann an den Rand kommen oder der Fixpunkt sogar am Rand liegt. Gucken wir uns das jetzt mal für unser Beispiel 1 vorhin an. Da war f(x)=e-x und wir hatten gegeben, dass unser Fixpunkt im Bereich [0,1] liegen soll. Wir können uns also jetzt unsere Funktion f nur in dem Intervall [0,1] angucken. Überprüfen wir nun also unsere drei Kriterien. Als Erstes muss D abgeschlossen sein. Wenn wir im eindimensionalen Fall so einen Intervall haben, ist das immer erfüllt. Zweitens, wird D durch die Funktion f immer auf sich selber abgebildet? Wie wir hier an dieser Zeichnung sehen, nimmt f in dem Bereich zwischen 0 und 1 nur Werte zwischen ungefähr 0,37 und 1 an. f(D) ist also das Intervall [0,37,1] und damit eine Teilmenge von dem Intervall [0,1], das heißt, diese Bedingung ist auch erfüllt. Als Drittes müssen wir überprüfen ob f eine Kontraktion ist, also ob diese komische Bedingung hier erfüllt ist. Im eindimensionalen Fall können wir diesen linken Bruch immer durch die Ableitung von f abschätzen. Damit wird die Bedingung zu |f'(x)|<1. Es geht dabei natürlich wieder nur um diesen Bereich von 0 bis 1, also um diese Menge D. Wenn wir f'(x) bilden, erhalten wir -e-x. Jetzt gucken wir uns an welche Werte diese Ableitung in dem Bereich von 0 bis 1 annimmt. Dabei interessieren wir uns letztendlich ja für die betragsmäßig größten Ableitungen in diesem Bereich. Und wir sehen, dass diese an dieser Stelle 0 ist. Die Ableitung von f an der Stelle 0 ist 1, also nicht kleiner als 1. Dies ist aber dieses vorhin angesprochene Problem, das wir am Rand haben. Am Rand kann es manchmal sein, dass dort diese Bedingungen nicht erfüllt sind. Im Inneren von D gilt ja, dass die Ableitung überall kleiner als 1 ist, nur an der Stelle x=0 eben nicht. Würden wir jetzt während unserer Picard-Iteration einmal an diese Stelle kommen oder würde unser Fixpunkt sogar bei 0 liegen, dann würde dieses Verfahren nicht funktionieren. Ansonsten funktioniert es aber. Deswegen haben wir jetzt hier nachgewiesen, dass die drei Kriterien erfüllt sind und unser Verfahren nach dem Banachschen Fixpunktsatz also konvergiert. In unserem zweiten Beispiel vorhin hatten wir die Funktion f(x)=ex-1 und haben dort gesehen, dass die Picard-Iteration nicht konvergiert. Wir werden uns jetzt die Kriterien des Banachschen Fixpunktsatzes einmal angucken und werden daran sehen, dass wir dort auch nicht die Konvergenz herausbekommen. Wenn wir uns die Ableitung angucken, sehen wir, dass f'(x)=ex. Der Startwert vorhin war x0=1. Wir haben dort keine konkrete Definitionsmenge D gegeben, aber unser Startwert muss natürlich da drin liegen. Wenn wir uns jetzt die Ableitung an dieser Stelle angucken, dann sehen wir, dass sie 2,7 ist, also deutlich größer als 1. Die Ableitung müsste in diesem gesamten Intervall D kleiner als 1 sein damit unser Verfahren konvergiert. Mit diesem Startwert x0 können wir also gar nicht die Konvergenz erreichen, da dort die Ableitung schon viel zu groß ist. Genau aus diesem Grund, dass an dieser Stelle x0 die Ableitung zu groß ist, ist vorhin bei der Picard-Iteration unsere Näherung xk auch immer und immer größer geworden und kam nie beim Fixpunkt x=0 an. Das war es zur eindimensionalen Picard-Iteration. Bis zum nächsten Mal, tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Ich habe meinen Laptop auf volle Lautstärke gestellt; trotzdem ist mir hier der Ton zu leise.

    Von Pfanner, vor mehr als 6 Jahren