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Transkript Partielle Ableitungen - Aufgabe 1, Teil 1

In diesem Beispiel wollen wir partielle Ableitungen betrachten. Hier ist eine Funktion f gegeben und unser Ziel ist, die partiellen Ableitungen nach x und nach y zu berechnen. Nun wollen wir uns die Funktion genauer anschauen. Erst einmal: In der Definition ist die Menge A beteiligt. Und ich habe schon leider die Bedingung falsch geschrieben, tut mir leid. Ich muss das korrigieren. Ja, nun ist alles richtig, Verzeihung. Okay, dann machen wir weiter. Die Menge A spielt eine Rolle bei der Definition der Funktion f. Wir wollen uns anschauen, was das für eine Menge sein soll. Menge A ist die Gesamtheit der Punkte (x,y), sodass das Produkt xy=0 ist. Und das kann man ganz einfach interpretieren, das heißt, entweder x oder y =0 oder beide Koordinaten x und y sind =0. Am besten wollen wir die Menge A veranschaulichen. Hier ist das Koordinatenkreuz. Punkt (x,y) gehört zur Menge A, genau dann, wenn xy=0 ist, und das ist genau dann, wenn x=0 oder y=0. Und wenn x=0 ist, dann befinden wir uns auf der y-Achse. Und wenn y=0 ist, dann befinden wir uns auf der x-Achse. Und das Rote hier ist die Menge A. A ist sozusagen das Koordinatenkreuz. Und wenn ein Punkt (x,y) außerhalb der Menge A liegt, außerhalb des Koordinatenkreuzes, dann hat die Funktion den Wert xy×sin1/xy. Man hat eine schöne Formel für die Funktion. Wenn der Punkt irgendwo auf der Menge A liegt, auf einer der Achsen oder im Koordinatenursprung, dann ist die Funktion =0. Ja, und wir wollen die partiellen Ableitungen von f berechnen. Gut, das war eine kleine Veranschaulichung zu dem, wo die Funktion definiert ist. Nun kommt der Hauptteil des Beitrages. Wir wollen die partiellen Ableitungen berechnen. Und wir sehen, dass die Menge A aus sogenannten Ausnahmepunkten besteht, sozusagen. Ausnahmepunkte in dem Sinne, dass die Funktion dort in der Menge A nicht durch eine schöne Formel gegeben ist, die man nach üblichen Regeln differenzieren kann, sondern man hat den Ausnahmewert 0. Und das muss beachtet werden bei der Berechnung der partiellen Ableitungen. Deswegen machen wir eine vorsichtige Fallunterscheidung. Ich will erst einmal einen Punkt nehmen außerhalb der Menge A, dort differenzieren, dann einen Punkt auf der x-Achse, dann einen Punkt auf der y-Achse, und nach und nach an diesen Punkten die partiellen Ableitungen berechnen. Also, wir fangen an. Wir betrachten hier erst mal den Fall, wo der Punkt, den wir differenzieren wollen, außerhalb der Menge A liegt. Also Fall: Punkt (x,y) liegt außerhalb der Menge A, und das ist das Einfachste hier. Die Funktion f ist durch eine geschlossene Formel gegeben, und die geschlossene Formel differenzieren wir mit den üblichen Differenziationsregeln, die wir aus der Analysis 1 kennen. Also: Hier die Funktion f(x,y)=xy×sin1/xy. Gut, und wir berechnen die beiden Ableitungen. Die Ableitung nach x, die partielle Ableitung nach x, ist wie gewohnt. Wir fassen in dieser Formel y als eine Konstante auf und differenzieren nach x. Und hier sehen wir schon, dass wir die Produktregel anwenden können. Ja, wir haben xy als eine Funktion und sin1/xy als eine andere Funktion, und die beiden sind ausmultipliziert. Und deswegen ist die Produktregel relevant, und nach der Produktregel schreibt sich die Sache so hin. Also, die eine Funktion nach x ableiten × die andere Funktion + die 1. Funktion ohne Ableitung xy × Ableitung nach x (∂/∂x) der 2. Funktion. Gut, xy nach x abgeleitet macht y, sin1/xy steht. Bei der nächsten Ableitung sollen wir dann natürlich die Kettenregel benutzen. Die äußere Ableitung, Ableitung von sin =cos und dann × die innere Ableitung nach x. Also 1/xy sollen wir noch einmal nach x ableiten. Also wir rechnen noch ein wenig: xy×cos1/xy. Ja und 1/xy nach x abgeleitet, ist natürlich -1/(x2y). Also wie gewohnt, y ist hier in dieser Rechnung Konstante, x ist eine Variable.  Ja und nun bleibt noch eine klare Vereinfachung. xy hier vorne dividiert durch x2y hier hinten macht 1/x. Und insgesamt bekommen wir y×sin1/xy (dieser Term ist schon seit Langem derselbe, Minus wandert von hinten nach vorne) -1/x cos×1/xy. Ja, das war noch die partielle Ableitung nach x. Also hier ist sie, das ist das Ergebnis. Partielle Ableitung nach y funktioniert genauso. Der einzige Unterschied ist, dass man dann überall in der Rechnung statt ∂x ∂y schreibt und entsprechend differenziert nach y, und man fasst x als Konstante auf. Ansonsten hat man genau dieselbe Rechnung. Man benutzt zuerst die Produktregel, dann entsprechend die Kettenregel bei diesem sin von 1/xy. Und dann bekommt man irgendeine schöne Formel. Und diese Formel werde ich natürlich nicht von Anfang an vorrechnen, ich schreibe einfach nur das Ergebnis an. Und ich empfehle euch, rechnet es nach. Dann ein bisschen Wischmethode. Ja, ich glaube, das brauchen wir gar nicht. Also die partielle Ableitung nach y haben wir gerade berechnet. Das ist y×sin1/xy-1/x cos1/xy. Ja, das ist die partielle Ableitung nach x. Und die partielle Ableitung nach y (∂f/∂y), wie gesagt, rechne ich nicht vor, das macht ihr selber. Und wenn ihr alles richtig gemacht habt, dann bekommt ihr solch eine Formel: x×sin1/xy-1/y cos1/xy. Ja. Und das gilt, ich betone, nur für die Punkte, die außerhalb des Koordinatenkreuzes liegen, außerhalb der Menge A.. Nun, als Nächstes betrachten wir der Reihe nach die Punkte, die auf den Achsen liegen. Also der nächste Fall: Wir nehmen einen Punkt, der auf der x-Achse liegt, aber nicht im Koordinatenursprung. Also wir nehmen einen solchen Punkt hier. Und dann schreibe ich, welchen Fall wir betrachten. Natürlich hat jeder Punkt auf der x-Achse die y-Koordinate 0. Also wir betrachten den Fall (x,0), wir betrachten diesen Punkt. Ja, und ich will verbieten, dass dieser Punkt in den Koordinatenursprung rutscht. Das heißt, ich sage x darf nicht 0 sein. So, und hier funktioniert nicht mehr die Technik, die wir für den 1. Fall verwendet haben. Also man darf nicht mehr die Funktion f nach den gewohnten Regeln differenzieren. Weil der Punkt, den wir gerade betrachten, liegt auf der Menge A. Und dort ist die Funktion nicht durch eine geschlossene schöne Formel definiert, sondern durch einen Ausnahmewert, eine Ausnahmevorschrift. Also man kann nicht um den Punkt, den wir betrachten, eine offene Kugel nehmen, sodass überall auf der offenen Kugel die Funktion durch eine schöne Formel definiert ist. Das ist nicht der Fall. Wenn das nicht der Fall ist, dann müssen wir vorsichtiger rechnen. Wir benutzen nun die direkten Definitionen der Ableitungen. Also in diesem Punkt wollen wir erst einmal die Ableitung nach x berechnen und benutzen die direkte Definition der partiellen Ableitung. An dieser Stelle empfehle ich euch, schaut noch einmal in den theoretischen Beitrag zu diesem Thema, wie sieht denn die partielle Ableitung von x aus, im Rohzustand sozusagen, die ursprüngliche Definition. Die will ich nun benutzen. Man nimmt den Grenzwert mit h->0, und unter dem Grenzwert steht der Differenzialquotient. Und diesen Differenzialquotienten muss man auch gekonnt aufstellen. Man nimmt erst einmal den Punkt, wo man differenziert (x,0) + h × Einheitsvektor in die Richtung, in die differenziert wird. Und wir differenzieren in die Richtung der x-Achse. Der Einheitsvektor in Richtung der x-Achse ist (1,0). Davon subtrahieren wir den Wert der Funktion im Punkt, wo wir differenzieren, und dividieren alles durch h. Und wir schicken h->0, und im Grenzwert bekommen wir die partielle Ableitung nach x. Na gut, dann berechnen wir, was wir da bekommen: (f(x+h,0)-f(x,0))/h. Und bevor wir irgendwie losrechnen, müssen wir noch einmal auf die Definition der Funktion schauen. Wir sehen, dass wir die Funktion in beiden Fällen in einem Punkt auswerten sollen, wo die 2. Koordinate =0 ist, das heißt, irgendwo auf der x-Achse. Irgendwo auf der x-Achse, das gehört zu der Menge A. Und auf der Menge A ist die Funktion definiert durch 0. Ja, das heißt, unter dem lim steht im Zähler 0-0. lim(h->0), ja und wir sehen, in beiden Punkten (x+h,0) und (x,0) ist die Funktion durch 0 definiert. Und wenn wir 0 durch h teilen, das ist egal, es kommt sowieso 0 heraus, und im Grenzwert haben wir auch 0. Also, die partielle Ableitung nach x im Punkt (x,0) existiert und ist =0. Das ist unser Ergebnis. Und dasselbe machen wir mit der partiellen Ableitung in Richtung y. So, ich wische schon Einiges weg. Und die Definition der partiellen Ableitung in Richtung der y-Achse, partielle Ableitung nach y, ist ja ähnlich. Wir sollen Einiges korrigieren. Also nun berechnen wir die partielle Ableitung nach y. Also ∂f/∂y im Punkt (x,0) = lim(h->0), nun müssen wir sehen, was sich ändert. Es ändert sich einzig und alleine der Richtungsvektor, weil wir in der Richtung der y-Achse differenzieren. Da nehmen wir hier den Einheitsvektor in der Richtung der y-Achse. Und hier der Einheitsvektor in der Richtung der y-Achse ist (0,1). So, das ist das Einzige, was sich hier ändert, einfach nur der Richtungsvektor. Also zeigt der Richtungsvektor in die Richtung der x-Achse, haben wir die partielle Ableitung nach x. Zeigt der Richtungsvektor wie jetzt in die Richtung der y-Achse, dann haben wir die partielle Ableitung nach y. Okay, dann rechnen wir das nach, und der Unterschied ist dramatisch. Es ändert sich ganz viel, eine ganze Menge. Wir addieren die Vektoren (x,0)+h×(0,1) und bekommen dann ((x,h)-f(x,0))/h. f(x,0) haben wir schon erläutert, das ist 0, nach der Definition der Funktion. Und für f(x,h), da haben wir eine Formel, die wir abschreiben. Also lim(h->0), f(x,h) das ist... Also statt y in der Definitionsformel setzen wir nun h ein: xh sin1/xh. Und -f(x,0), das ist 0. Ja, wenn wir 0 subtrahieren, dann ändert sich nichts. Das teilen wir alles durch h. Und wir schreiben weiter. So, im Zähler steht h, im Nenner steht h, also wir kürzen das. Und wir schauen, was passiert dann im Grenzfall: lim(h->0) x sin1/xh. Ja. Und nun drücke erst einmal auf die Pause und überlege: Was ist denn dieser Grenzwert? Also der Grenzwert, den wir hier berechnen wollen (ich hoffe, ihr habt die Pause gemacht). Und ihr sollt hier herausfinden, dass dieser Grenzwert nicht existiert. Das wollen wir uns gemeinsam noch einmal überlegen: Warum existiert dieser Grenzwert denn nicht? Wenn h->0 geht, dann folgt daraus, dass 1/h und 1/h×x, meinetwegen, gegen ∞ geht. Und wir interessieren uns nicht für die Vorzeichen. Wenn h von rechts gegen 0 geht, dann geht 1/xh gegen +∞ oder -∞, je nachdem, welches x hier ist. Also für das Vorzeichen wollen wir uns jetzt nicht interessieren, ihr seht gleich warum. Und sin hat bekanntlich einen solchen Verlauf, das ist eine Welle. Und wenn Argument von sin (in diesem Fall ist Argument von sin (1/xh)), wenn Argument von sin gegen ∞ geht, gegen +∞ oder -∞, dann schwankt sin zwischen -1 und 1 und schwingt gegen keine bestimmte Zahl. Also diese Grenze existiert nicht, aufgrund des bekannten Verlaufs der Sinuskurve. Ich fasse zusammen: Wenn h->0 geht, geht Argument von sin gegen ∞. Und sin von etwas, das gegen ∞ geht, hat keinen Grenzwert, also: Existiert nicht.  Ja, das war aufwendig, was wir hier gemacht haben. Ich fasse zusammen, was wir uns da überlegt haben. So, und wenn wir diese Arbeit gemacht haben, wenn wir das verstanden haben, dann haben wir alles an dieser Aufgabe verstanden. Also die partielle Ableitung nach x=0, die partielle Ableitung nach y in einem solchen Punkt, also wir betrachten immer noch den Punkt (x,0), existiert nicht.

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4 Kommentare
  1. Default

    Es existiert nicht, weil es sin(1/h*x) ist und für h->0 geht 1/h*x -> unendlich. sin(k) k->unendlich ist nicht klar welchen Wert sin(k) annimmt, deswegen divergiert sin(k) = sin(1/h*x)

    Von Ivan Katzer, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Ich verstehe nicht wieso der lim bei der 2. Ableitung nicht existiert. Könnte man dort nicht l'hospital anwenden? dann läuft der cosinus gegen 1, und x²*h² gegen null.

    Von Yig38, vor mehr als 4 Jahren
  3. Default

    Hi,
    ab der 11Minute ist von h(x,y) die Rede. Das ist imho etwas unguentig gewaehlt, weil es so aussieht als wärs eine funktion von h.
    wenn man dann allerdings weiss wies gemeint ist ist alles ganz klar und ein gutes tut.

    Von Saf, vor mehr als 5 Jahren
  4. Default

    sorry... aber das Tut ist leider absolut unverständlich... die leicht chaotische Form machts leider auch nicht besser...

    Von Mad Blue, vor fast 6 Jahren