Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Parametrisierung von Kurven – Theorie Teil 2

Also, wir machen weiter mit der Parametrisierungstechnik. Wir haben schon besprochen, wie man Strecken und Zickzackkurven parametrisiert, nun gehen wir zum nächsten wichtigen Beispiel über, zu Kreisen. Der Vater aller Kreise ist der Einheitskreis, und mit dem wollen wir anfangen. Einheitskreislinie, haben wir schon im Zusammenhang mit vielen Themen gesehen. Er ist durch die Gleichung x2+y2=1 beschrieben. Dann wollen wir das parametrisieren, diese Kreislinie. Und viele von euch haben es schon gehört: Einheitskreise parametrisiert man mit Cosinus Sinus. Als nächstes will ich erklären, warum das so ist. Wir wollen das nicht einfach auswendig lernen, Kreis ist Cosinus Sinus, sondern klar machen, warum denn cosinus sinus, woher ergibt sich diese Notwendigkeit. Am besten wiederholen wir so ein bisschen das Thema Polarkoordinaten. Da hatten wir auch einen Einheitskreis gehabt, ich zeichne ihn ein bisschen größer. Auf der Einheitskreislinie fixieren wir einen Punkt P. Dieser Punkt P hat einen Polarwinkel (Polarwinkel ist der Winkel zwischen dem Radiusvektor des Punktes P und der positiven Richtung der x-Achse), und bei dem Thema Polarkoordinaten hat man diesen Winkel normalerweise mit φ bezeichnet. Dieses Mal werde ich diesen Winkel mit alpha bezeichnen, weil mit dem Buchstaben φ bezeichne ich hier die Parametrisierungen. Na gut, hier ist der Winkel P auf der Einheitskreislinie mit dem Polarwinkel alpha. Man weiß aus dem Thema 'Polarkoordinaten', dass, wenn man den Punkt P auf die x-Achse projiziert, so bekommt man Cosinusα als Projektionspunkt; und wenn man den Punkt P auf die y-Achse projiziert, so bekommt man Sinus alpha als Projektionspunkt. Insgesamt, mit anderen Worten, sagen wir: Der Punkt P hat die Koordinaten cosα sinα. Das ist das statische Bild, das wir beim Thema 'Polarkoordinaten' kennengelernt haben. Nun machen wir das Bild ein bisschen dynamischer. Wenn man den Winkel alpha vergrößert, dann wird der Punkt P sich auf der Einheitskreislinie bewegen. Wenn alpha größer wird, dann bewegt sich der Punkt P von rechts nach links über den oberen Bereich der Einheitskreislinie. Und wenn α=0 ist, dann liegt der Punkt P auf der x-Achse, auf dem positiven Stück. Wenn α=π/2 ist, dann liegt der Punkt P oben auf der y-Achse. Dann weiter, wenn α=π ist, 180°, dann liegt der Punkt P wieder auf der x-Achse, aber im negativen Bereich, usw. Bei π/3 liegt er wieder auf der y-Achse, bei 2π liegt der Punkt P wieder auf dem positiven Teil der x-Achse. Also wenn alpha von 0 bis 2π durchläuft, dann umschreibt der Punkt P die vollständige Einheitskreislinie, der Punkt P vollführt einen vollständigen Durchlauf. Und das gibt uns die Idee für die Parametrisierung der Einheitskreislinie, also als Parametrisierung schreiben wir Folgendes: φ(t)=[cost sint]. Ich ersetze einfach nur den Buchstaben α mit dem Buchstaben t, weil t standardmäßig der Parameter der Parametrisierung einer Kurve. Und der Parameter t entspricht geometrisch dem Polarwinkel und läuft von 0 bis 2π. Und das hier ist die Parametrisierung der Einheitskreislinie, die gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Die Drehungsrichtung gegen den Uhrzeigersinn nennt man in der Mathematik auch 'positiv', also: in der mathematisch positiven Richtung. Nun entsteht manchmal das Problem: Wie kann man die Kreislinie parametrisieren, die im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, also in der mathematisch negativen Richtung? Und das wird unsere nächste Überschrift sein, also der Punkt 3.2: Einheitskreis im Uhrzeigersinn durchlaufen. Ich benutze dann diese Zeichnung, ich will sie ein wenig ergänzen. Ich betrachte den unteren Teil der Kreislinie und neben dem Winkel α betrachte ich auch den gespiegelten Winkel, ich betrachte den Winkel -α. Den Spiegelpunkt nenne ich meinetwegen Q, und aus dem, was wir über Polarkoordinaten wissen, leiten wir ab, dass der Punkt Q die Koordinaten [cos(-α) sin(-α)] hat. Das ist die Beschreibung des Punktes Q, wir können die Beschreibung ein bisschen vereinfachen. Wir wissen, dass Cosinus eine gerade Funktion ist, d. h. symbolisch wird es so aussehen, dass Cosinus das Vorzeichen sozusagen schluckt, und Sinus ist eine ungrade Funktion. Sinus wird das Vorzeichen sozusagen ausspucken.  Diese Koordinaten hat der Punkt Q, Q ist der Spiegelpunkt des Punktes P bezüglich der x-Achse. Nun schauen wir mal, was passiert, wenn man α vergrößert. Dann werden in der Bildsituation die Punkte P und Q auseinanderlaufen. Der Punkt P bewegt sich gegen den Uhrzeigersinn in der positiven Umlaufrichtung, der Punkt Q bewegt sich im Uhrzeigersinn, in der mathematisch negativen Richtung. Und damit haben wir alles, was wir haben wollen. Wenn wir dann diesen Punkt mit dem Polarwinkel -α haben, Punkt Q und α von 0 bis 2π verändern, dann läuft Q brav im Uhrzeigersinn einen vollständigen Umlauf durch, wenn α zwischen 0 und 2π bewegt wird. So, und da ergibt sich die Parametrisierung φ(t)=[cost -sint], und t wie gehabt zwischen 0 und 2π. Das ist die Parametrisierung der Einheitskreislinie mit der Durchlaufrichtung im Uhrzeigersinn, die nennt man auch mathematisch negativ. Mathematiker sind komische Leute, also im Uhrzeigersinn ist für sie negativ. So hat es sich eingebürgert, wir sind schon komisch. Gut, vielleicht noch eine kleine Bemerkung zur Parametrisierung der Einheitskreislinie im Uhrzeigersinn. Manche Leute schreiben das so, wenn Cosinus die Sinust- Parametrisierung gegen den Uhrzeigersinn ist, dann schreibt man sint cost, und dann dreht man man die Funktion um, man tauscht cosinus und sinus, und dann erhält man die Parametrisierung gegen den Uhrzeiger. Das ist tatsächlich so, weil diese Parametrisierung wird, umgedreht in Sinus Cosinus, die Einheitskreislinie im Uhrzeigersinn parametrisieren. Ja, das ist richtig. Das ist tatsächlich so, weil diese Parametrisierung wird, umgedreht in Sinus Cosinus, die Einheitskreislinie im Uhrzeigersinn parametrisieren. Und warum das so ist? Das kann man nicht so schön geometrisch erklären mit Polarkoordinaten, man kann nicht solche Standardbilder zeichnen. Vielleicht liefere ich doch eine Erklärung dazu, das kann man folgendermaßen verstehen: sint ist doch dasselbe wie cos(π/2-t), und cost ist sin(π/2-t). Nun benutzen wir die bekannten Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen. Cosinus ist eine ungrade Funktion, d. h. man kann Vorzeichen unter Cosinus umdrehen, Cosinus wird das hinnehmen. cos(π/2-t)=cos(t-π/2), das ist dasselbe. Mit Sinus geht das nicht durch, also wenn man das Vorzeichen in Sinus ändert, dann muss man das korrigieren, man muss das so ergänzen: -sin(t-π/2). Die letzte Umformung habe ich durchgeführt, weil Cosinus eine gerade und Sinus eine ungrade Funktion ist. Und was haben wir da bekommen? Wir haben ja eine ähnliche Formel bekommen wie für die von mir zuerst angegebene Parametrisierung. Man hat Cosinus-Sinus, und hier unten habe ich auch dasselbe, Cosinus-Sinus, bloß mit verschobenem Argument. Also Fazit: Wenn man die Standardparametrisierung nimmt und Cosinus und Sinus vertauscht, dann bekommt man Parametrisierung im Uhrzeigersinn. Und das funktioniert, weil diese umgedrehte Parametrisierung mit der von mir ausführlich beschriebenen und hergeleiteten Parametrisierung verwandt ist. Man hat nach wie vor Cosinus und -Sinus, bloß mit verschobenem Argument. Deswegen funktioniert das auch. Das ist bloß nicht Standard, Standard ist das, was ich vorhin angeschrieben habe. Das sollte noch mal deutlich machen, dass das Parametrisieren einer Kurve nicht eindeutig ist, verschiedene Formeln ergeben die Parametrisierung derselben Kurve. Ja, das sind die Kreise.... Ja, das sind ja Einheitskreise, und wenn man Einheitskreise parametrisieren kann im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn, dann kann man alle Kreise parametrisieren und das will ich kurz noch konkret angeben. Nun nehme ich einen willkürlichen Kreis, ich nehme eine Kreislinie mit einem beliebig vorgegebenen Punkt x0 y0 und mit einem beliebigen Radius r. Also vorher hatten wir den Mittelpunkt im Ursprung und r1, jetzt beliebiger Mittelpunkt und beliebiger Radius. Also, dieser Kreis wird beschrieben durch die Gleichung (x-x0)2+(y-y0)2=R2, das soll jeder wissen. Und wir hatten dann für die Einheitskreislinie die Parametrisierung [cost sint]. Nun sollen wir die Standardparametrisierung der Parametrisierung eines beliebigen Kreises anpassen. Wenn ich an cosinus und sinus R multipliziere, dann kriege ich dadurch die Anpassung des Radius. Mit dieser Parametrisierung haben wir einen Kreis mit dem Radius R parametrisiert. Und dann muss ich auch den Mittelpunkt anpassen, und diese Anpassung erfolgt folgendermaßen: In der x-Komponente addiere ich x0, in der y-Komponente addiere ich y0, und sonst belasse ich alles beim alten: Rcost Rsint, und t läuft nach wie vor von 0 bis 2π, damit wir eine volle Umdrehung haben entgegen dem Uhrzeigersinn, in der mathematisch positiven Richtung. So wird ein solcher Kreis parametrisiert, und eine Überschrift muss auch her...so, 3.3: beliebiger Kreis. Nicht Einheitskreis, sondern beliebiger Kreis. Das ist die Parametrisierung gegen den Uhrzeigersinn. Wenn wir eine Parametrisierung im Uhrzeigersinn bekommen wollen, dann ersetzen wir t durch -t. So einfach geht das, und dann haben wir schon eine Parametrisierung im Uhrzeigersinn, in der mathematisch negativen Richtung. Und warum das funktioniert, das haben wir ja schon am Beispiel des Einheitskreises erläutert. So parametrisiert man die Kreise, und wenn die Kreise dreidimensional liegen, wenn hier noch die z-Achse dazukommt, dann schreibt man etwas für die z-Komponente hinzu. Wenn der Kreis in der xy-Ebene liegt, dann schreibt man für die z-Komponente 0. Und wenn der Kreis meinetwegen in der xz-Ebene verläuft, dann verschiebt man die Formel und für y schreibt man 0 hin. Also, wenn man das kennt, wenn man die Einheitskreise parametrisieren kann, dann kann man einen beliebigen Kreis parametrisieren, indem man entsprechend bastelt und die Standardparametrisierung anpasst. Nun, als Letztes möchte ich die Parametrisierung von mehr oder weniger willkürlichen Kurven besprechen, und ich fordere, dass diese Kurven sich als Graphe der Funktionen darstellen lassen. Also als nächstes, das ist der 4. Punkt: Graph einer Funktion. Ich betrachte eine ebene Kurve, die Graph einer Funktion ist. y=f(x) über einem Definitionsbereich, Intervall, wie üblich a,b. Und den Graph dieser Funktion fasse ich als eine Kurve auf, ist auch eine Kurve. Wie parametrisiert man denn so was? Die Idee ist sehr einfach, ich hoffe die meisten von euch sehen das. Da fixiere ich auf der x-Achse einen Punkt t; der entsprechende Punkt auf der Kurve hat die Höhe f(t). Wenn ich t von a bis b laufen lasse, dann wird der entsprechende Punkt auf der Kurve die gesamte Kurve durchlaufen, und das gibt uns wieder die Idee für die Parametrisierung. Also, Graph einer Funktion f vom Intervall a,b nach R, reellwertige Funktion, und der Graph dieser Funktion wird parametrisiert durch folgende Formel: Für die x-Komponente der Parametrisierung haben wir t, für die y-Komponente der Parametrisierung haben wir f(t), und t läuft im Definitionsbereich der Funktion. Ja, das sind die 4 Parametrisierungstechniken: Strecken, Polygonzüge, Kreise in unterschiedlichen Durchlaufrichtungen und mehr oder weniger willkürliche Graphen von Funktionen. Wenn man diese Tricks, diese Technik beherrscht, dann kann man alles machen, bei dem Bearbeiten von konkreten Aufgaben kombiniert man diese Kenntnisse, man passt diese Technik der jeweiligen Situation an. Und wie das konkret geschieht, das möchte ich in den Beispielaufgaben hier auf dieser Seite ebenfalls ausführen.

Informationen zum Video
1 Kommentar
  1. Default

    Hi, ich fand deine beiden Videos zur Parametrisierung echt klasse, super erklaert!
    ABER: das zweite Video war doch wesentlich schlechter geschnitten. Das koennte auch kuerzer sein, und wuerde trotzdem nicht an Qulitaet verlieren; vielmehr gewinnen!

    beste Gruesse, Rebecca

    Von Rebecca C., vor mehr als 7 Jahren