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Transkript Parametrisierung von Kurven – Theorie Teil 1

Wir wollen reden über Kurven und die Möglichkeiten Kurven zu beschreiben. Das Wort Kurve darf man buchstäblich verstehen, als eine Linie oder Kurve, ein Weg im Raum. Meinetwegen ein Stück Draht, den man im Raum festgehalten hat und so ein Objekt nennt man Kurve. So wie man es umgangssprachlich versteht. Im Vektoranalysis integriert man über Kurven, man integriert Funktionen und Vektorfelder über Kurven. Es reicht nicht die Kurve einfach nur verbal zu beschreiben oder auf dem Bild festzuhalten. Man muss die Kurve genau beschreiben. Und weil wir in der Mathematik sind, muss man sie formelmäßig beschreiben können. Und so kommt man auf den Begriff der Parametrisierung. Grob gesagt ist Parametrisierung ist formelmäßige Beschreibung von Kurven. In diesem Beitrag wollen wir lernen, wie die Parametrisierungen entstehen, wie man Standardkurven parametrisiert und was da zu beachten ist. Wir fangen an. Als Einstieg habe ich eine formale Definition der Parametrisierung der Kurven geschrieben: eine bijektive Abbildung genannt φ:[a,b]->γ abbildet Rn, nennt man Parametrisierung von γ. Nun ist es ja ein bisschen trocken, eine bijektive Abbildung einer Strecke oder einer Kurve nennt man Parametrisierung. Das wollen wir auflockern. Ich habe gesagt Parametrisierung ist auch eine formelmäßige Beschreibung der Kurve. Jede Abbildung enthält auch Formeln für diese Abbildung nach der Zuordnungsvorschrift. Diese Zuordnungsvorschrift ist eben die Beschreibung der Kurve. Aber es ist schon viel zu viel gesagt. Wir wollen langsam fortschreiten. Ich erläutere bijektive Abbildung einer Strecke auf eine Kurve. Was hat man? Als Kurve betrachten wir so eine spiralen Linie, eine Schraubenlinie. Das heißt, wir nehmen irgendwo eine Feder und schneiden ein Stückchen ab, und das nenne ich Gamma. Diese Kurve γ lebt in diesem dreidimensionalen Raum. Was bedeutet denn die Kurve γ zu parametrisieren? Ich will momentan keine Formel anschreiben, ich will den Begriff der Parametrisierung noch ein bisschen erläutern. Das heißt, auf der reellen-Achse, wir nennen sie t. Nicht wie wir es gewohnt sind x-Achse sondern t. So typisch, das hat sich so eingebürgert bei diesem Thema. Dort nehme ich eine Strecke, ein Intervall von a bis b. Ein Intervall auf der Regelnachse ist verwandt mit der Kurve. Man kann das Intervall aus der Achse hier herausnehmen, auseinanderziehen und ein bisschen biegen, und auf diese Weise kann man das Intervall in die Kurve verformen. Man kann diesen Vorgang, diesen Prozess mit einer Abbildung beschreiben. Man kann eine Abbildung einführen und sie φ nennen, die Folgendes macht: Sie nimmt einen Punkt auf der Strecke und bezeichnet ihn mit t und bildet diesen Punkt auf einem Punkt der Kurve ab, meinetwegen hier φ(t). Die Abbildung φ soll so konzipiert werden, dass sie jeden Punkt des Intervalls a, b auf irgendeinem Punkt der Kurve abbildet. 1. Wir haben da Folgendes: Wenn ich den Punkt t im Intervall a, b bewege, dann bewegt sich der Bildpunkt φ(t) auf der Kurve. Und die Abbildung φ soll so konzipiert sein, dass wenn ich den Punkt t im Intervall von a bis b bewege, dann wird sich der Bildpunkt φ(t) auf der Kurve bewegen und die ganze Kurve durchstreichen. Und insbesondere heißt es, dass der Anfangspunkt des Intervalls a soll unter der Abbildung φ auf dem Anfangspunkt der Kurve φ(a) abgebildet werden. Der Punkt b soll auf den Endpunkt der Kurve φ(b) abgebildet werden. Hier ist der Endpunkt der Kurve. Wenn der Punkt t von a bis b läuft, ich deute das Mal mit einem Pfeil an, so läuft der Bildpunkt φ(t) auf der Kurve vom Anfangspunkt bis zum Endpunkt. Man hat erst mal das. Also man bildet Punkte des Intervalls auf Punkte der Kurve ab. Die Abbildung φ soll bijektiv sein. Was bedeutet Bijektivität? Das bedeutet insbesondere, dass wir mit diesem Vorgang jeden Punkt auf der Kurve erreichen. So kann man sich die Parametrisierung vorstellen. Im Folgenden wollen wir uns dann konkret mit der Frage beschäftigen: Wie kann man bei konkreten einfachen Kurven, die häufig vorkommen, die Formel für φ, für die Parametrisierung, herausfinden, die diese Kurve beschreiben, die Kurve parametrisieren? Das ist die Idee der Parametrisierung. Man spricht technisch von glatten oder stückweise glatten Kurven. Ich möchte kurz erläutern, was das ist. Das darf man auch buchstäblich verstehen. Eine glatte Kurve ist eine Kurve, die keine Ecken hat. Zum Beispiel, das hier ist eine glatte Kurve, eine Schleife. Sie hat keine Ecken. Man spricht nicht nur von glatten Kurven, sondern auch von stückweise glatten Kurven. Eine stückweise glatte Kurve ist eine Kurve, die in glatte Kurvenstücke zerlegt werden kann. Zum Beispiel das. Ich nehme einen Halbkreis, und dazu nehme ich ein paar Strecken. Hier unten ist der Anfangspunkt, hier mit dem Pfeil deute ich die Umlaufrichtung an, und hier ist der Endpunkt. Die Kurve, die ich gerade gezeichnet habe, ist stückweise glatt. Man kann sie in glatte Stücke zerlegen. Das heißt: stückweise glatt. Das ist anschaulich, und das sagt auch die Glattheit oder stückweise Glattheit hat auch Bedeutung für die Parametrisierung. Die glatten Kurven werden durch differenzierbare Funktionen φ parametrisiert. Die stückweise glatten Kurven werden durch stückweise differenzierbare Funktionen φ parametrisiert. Das fixiere ich: Eine Kurve heißt glatt, falls sie keine Ecken besitzt und formal technisch, weil sie eine differenzierbare Parametrisierung besitzt.  Eine Kurve heißt stückweise glatt, falls sie eine Parametrisierung besitzt, die differenzierbar ist, bis auf endlich viele Punkten. Sie ist auf Stückintervallen differenzierbar und in Eckpunkten von diesen Intervallen mag sie nicht differenzierbar sein. Anschaulich bedeutet dies, dass stückweise glatt sich in glatte Kurvenstücke zerlegen lässt. Nun, als Nächstes wollen wir uns ein einfaches, konkretes Beispiel anschauen, um dann zu sagen, wie man eine Kurve, ein geometrisches Objekt formelmäßig beschreiben kann. Also wir wollen konkrete Parametrisierung uns anschauen, und ich will so vorgehen: Ich schreibe euch eine einfache Parametrisierung hin, und wir versuchen dann anhand der Formeln, die Kurve wiederherzustellen. Das wird sehr einfach sein mit diesem Beispiel. Das beginnt mit diesem Beispiel: Wir betrachten Parametrisierung φ:[-1,1] nach der reellen Achse -->R->R2, die Abbildungsvorschrift lautet: t wird abgebildet auf dem Punkt mit den Koordinaten (t,t). Das sieht sehr einfach aus. Die Parametrisierung φ hier habe ich sehr ausführlich hingeschrieben. Dasselbe kann man abkürzen. Man kann einfach nur die Abbildungsformel schreiben: φ(t)=(t,t), also die Formel für die Parametrisierung. Und dann hinter dem Komma den Definitionsbereich des Parameters angeben: φ(t)=(t,t), -1≤t≤1. Die beiden Zeilen sind völlig gleichbedeutend, bloß die erste Zeile ist ein bisschen formaler. In der Zukunft möchte ich dann die abgekürzte, praktische Schreibweise benutzen. Man gibt einfach nur die Formel an und dann den Definitionsbereich des Parameters, und man braucht dann nicht jedes Mal zu sagen, dass die Parametrisierung ein Intervall der Regelachse abbildet. Das ist bei diesen Kurven immer der Fall. Also, wir betrachten diese Parametrisierung. Die Frage, die ich dann in diesem Beispiel stelle, lautet: Welche Kurve wird durch diese Parametrisierung beschrieben? Nun beantworten wir diese Frage folgendermaßen: Wir sehen die Abbildung φ bildet Parameter t auf Punkte ab, die gleiche x- und y-Koordinate haben. Die Punkte, die gleiche x- und y-Koordinate haben, liegen auf der Winkelhalbierenden durch den 1. und 3. Quadranten. Wenn t meinetwegen ungefähr ½ ist, so sieht der Punkt mit den Koordinaten (t,t) so aus. Das ist der Punkt mit Koordinaten (t,t). Ich schreibe diesmal den Punkt (t,t) als eine Zeile. In der Formel für die Parametrisierung habe ich das als eine Spalte geschrieben, jetzt schreibe ich das als eine Zeile. Das ist erlaubt. Ich schreibe dann die Vektoren oder die Punkte als Zeilen oder als Spalten hin, je nachdem wie es mit bequem ist. Ich hoffe, ich habe keine Probleme damit. Wenn hier auf der x-Achse der Parameter t ist, muss nicht auf der x-Achse sein, dann wird der Punkt mit den Koordinaten (t,t) hier auf der Winkelhalbierenden liegen. Der Definitionsbereich sagt uns, wir sollen Parameter t zwischen -1 und 1 bewegen. Also hier ist irgendwo 1 und -1. Wenn wir t zwischen 1 und -1 bewegen, dann bewegt sich der entsprechende Punkt auf der Winkelhalbierenden, und zwar oberhalb der Strecke von -1 bis 1. Nun mache ich eine bessere Zeichnung. Hier ist die Winkelhalbierende. Wenn der  Punkt Parameter t den gesamten Definitionsbereich -1 bis 1 durchläuft, wird der entsprechende Bildpunkt die rot markierte Strecke erfassen, ein Abschnitt der Winkelhalbierenden, oberhalb der Strecke von -1 bis 1. So haben wir uns klar gemacht, welche Kurve von dieser Parametrisierung beschrieben wird. Dieses Ergebnis halte ich fest an der Tafel. Diese Parametrisierung, diese Abbildung parametrisiert den Abschnitt der Winkelhalbierenden zwischen den Punkten mit den Koordinaten (-1,-1) und dem Punkt mit den Koordinaten (1,1). Das schreibe ich hin: dieses φ parametrisiert oder beschreibt die Strecke (-1,-1) nach oder zum Punkt (1,1). Das war dieses kleine Beispiel. So können wir aus der Formel, die für die Parametrisierung gegeben ist, die Kurve wieder herstellen, die diese Parametrisierung beschreibt. Nun ein 2. Beispiel. Wir machen dasselbe Spiel mit einer anderen Formel. Ich schreibe hier: ψ(t)=(t-1)3 (t-1)3, und Parameter liegt bei 0≤t≤2.  Ich schlage euch vor, dass ihr euch überlegt, welche Kurve durch diese Formel parametrisiert bzw. beschrieben wird. Bitte schaltet auf die Pause-Taste und denkt darüber nach, welche Kurve wird durch diese Abbildung ψ beschreiben? Nun unabhängig davon, ob ihr das gemacht habt oder nicht, muss ich euch das natürlich erklären. Also wir machen dasselbe Spiel wie vorhin. Wenn ihr angefangen habt diesen Ausdruck auszurechnen, (t-1)3 nach der binomischen Formel umzuformen, dann war es nicht das Richtige. Man bekommt dann 4 Terme und man ist genauso schlau wie zuvor. Man soll wieder versuchen diese Formel zu veranschaulichen. Man sieht bei der Abbildung ψ sind beide Einträge gleich. Das heißt, die Punkte ψ(t) werden weiterhin auf der Winkelhalbierenden landen. Es gibt nur eine Möglichkeit. Wenn die Einträge hier gleich sind bei der Parametrisierung, dann landet der Punkt hier auf Winkelhalbierenden. Also die vorige Zeichnung kann ich ja übernehmen. Dann schauen wir mal, welche Werte die 1. und 2. Komponente haben. Wenn t=0 ist, dann landet man im Punkt (-1,-1). Das schreibe ich hier hin, also ψ(0)=(-1,-1). Dann ψ(1)=(0,0) und ψ(2)=(1,1). Weil die Komponenten dieser Parametrisierung gleich sind, dann ist es auf jeden Fall ein Stück der Winkelhalbierenden. Anfangspunkt dieses Stückes ist der Punkt mit Koordinaten (-1,-1) und Endpunkt dieses Stückes der Winkelhalbierenden hat die Koordinaten (1,1). Der ist hier oben. Ergebnis ist Folgendes: Die Parametrisierung ψ beschreibt genau dieselbe Kurve, wie die Parametrisierung φ. Das ist das überraschende Ergebnis. Wir sehen, die Formeln bei der Parametrisierung ψ und bei der Parametrisierung φ sind wesentlich anders, und auch die Definitionsbereiche sind auch nicht die gleichen. Aber die Kurve, die dadurch beschrieben wird, ist absolut die Gleiche. ψ und φ sind Parametrisierungen für dieselbe Kurve. In Zukunft seid nicht überrascht, das darf sein. Wenn man eine Kurve hat, dann ist es keineswegs eindeutig, wie sie parametrisiert wird. Es gibt wirklich unendlich viele Möglichkeiten eine gegebene Kurve zu parametrisieren. Es gibt viele formelmäßige Beschreibungen. Die einen sind einfacher, die anderen komplizierter. Aber es gibt keine die richtige Parametrisierung. Die richtige Parametrisierung gibt es nicht. Und das wollen wir als Ergebnis festhalten: Parametrisierung einer Kurve, ihre formelmäßige Beschreibung ist nicht eindeutig. Das waren sehr einfache Beispiele, das war Einführung. Auf dieser Seite gibt es weitere Beispiele für Parametrisierungen. Als Nächstes möchte ich in diesem Beitrag keine Beispiele mehr besprechen, ich möchte allgemeine Techniken besprechen, wie man Kurven parametrisiert, die man so in der Praxis sieht. Also die nächste Überschrift lautet: Parametrisierungstechniken Wir wollen uns da wieder nichts Schweres vornehmen. Wir besprechen die Sachen, die typisch sind, die immer wieder parametrisiert werden sollen. Wir besprechen, wie man eine Strecke parametrisiert. Als Nächstes besprechen wir, wie man eine Zickzackkurve parametrisiert. Dann besprechen wir Parametrisierungen von Kreisen mit verschiedenen Durchlaufrichtungen und Parametrisierungen von Graphen von Funktionen. Das ist das Kenntnispaket, das man besitzen muss. Also Parametrisierungstechnik: 1. Eine Strecke von A nach B, wobei A,B Punkte von Rn sind. Unter n sollt ihr euch vorstellen, ist entweder 2 oder 3. Man hat da eine Strecke zwischen den Punkten A und B. Es gibt da ein standardisiertes Verfahren, wie man solche Strecken parametrisiert. Die Formel lautet folgendermaßen: φ(t)=A+t(B-A), und sage 0≤t≤1. Ich benutze hier schon die abgekürzte Schreibweise für die Parametrisierungen. Die Formel für die Parametrisierung und die Angabe des Definitionsbereiches des Parameters. Wir wollen uns klarmachen, warum das das Richtige ist. Stellt euch vor t ist gleich 0. Das ist der Anfangspunkt der Kurve. Setzt t=0 in die angeschriebene Formel ein. Man hat dann A+0. Also φ(0)=A. Und φ(1)=B. Also diese Parametrisierung φ bildet Punkt t=0 nach A ab und Punkt t=1 nach B ab. Also die Parametrisierung von φ ist durch einen linearen Ausdruck von t gegeben. Das heißt, dazwischen ist es eine gerade Strecke. Damit ist die Sache erledigt. Man hat Anfangspunkt A und Endpunkt B und dazwischen ein Stück Gerade. Deswegen kann man diese Strecke mit so welchen Formeln parametrisieren.

Aber es ist nicht die einzige Möglichkeit die Strecke zu parametrisieren. Man kann auch andere Formeln mit anderen Definitionsbereichen schreiben. Aber das ist Standard, ist sehr bequem. 2. Wir wollen die Situation ein bisschen komplizierter machen. Wir betrachten jetzt nicht eine Strecke, sondern mehrere Strecken, die aneinander geklebt sind. Eine sogenannte Zickzackkurve. Die Zickzackkurve ist vollständig beschrieben durch Angabe der Eckpunkte, der Knickpunkte. Die bezeichne ich mit P0, P1, P2, P3 usw. Wissenschaftlich nennt man solche Zickzackkurven Polygonzug. Polygon vom griechischen, also poly bedeutet viele und gon bedeutet Winkel, also viele Winkel. Polygonzug auf Deutsch Zickzackkurve. Also Polygonzug mit Eckpunkten oder Knickpunkten P0, P1,...PN. N ist die Anzahl der Knickpunkte ist dann N+1. Wir sehen, dass die Zickzackkurve aus Strecken besteht, und die Strecken können wir schon parametrisieren. Die Parametrisierung von Zickzackkurven wird daher so ähnlich aussehen wie die Parametrisierung von Strecken. Ich habe leider nicht mehr soviel Platz an der Tafel, deshalb werde ich den 1. Punkt abwischen, unsere Parametrisierungstechnik. Und setzte den 2. Punkt: Wir wollen Polygonzug mit Ecken parametrisieren. 2. Polygonzug: Abgekürzt schreibe ich nur die Knickpunkte P0, P1, ..., PN. Und das ist nicht schwer. Also wir haben ja gesehen, wie man die Strecken parametrisiert. Wir nehmen die 1. Teilstrecke von P0 bis P1. Die Parametrisierung dafür ist: P0+t(P1-P0), 0≤t≤1. Mit dieser Formel ist die erste Teilstrecke parametrisiert. Dann, was machen wir? Wir parametrisieren die nächste Teilstrecke mit derselben Idee. Wir sollen aber ein bisschen die Formel anpassen. Bei der nächsten Teilstrecke ist der Anfangspunkt P1 und der Endpunkt P2. Also: P1+t(P2-P1). Die Struktur Anfangpunkt, Endpunkt; die Struktur der Formeln, die mit Anfangpunkt und Endpunkt verwandt ist, übernehme ich von der 1. Formel in die 2. Dann muss ich noch mit t multiplizieren. Da Parameter t sich weiter fortbewegen soll, ist sinnvoll: 1≤t≤2. Nun sollen wir sehen, ob diese Formel funktioniert. Wir stellen fest für t=1 sollen wie P1 gleich 1 und P2 gleich 2 setzen. Das wird hier leider nicht der Fall sein. Wenn t=1 ist, dann haben wir P2 hier. Und das ist nicht das, was wir wollten. Und wenn man hier t=2 setzt, dann hat man einfach nur eine lineare Kombination aus beiden Punkten. Aber die Situation können wir verbessern, indem wir (t-1) schreiben. Und dann ist wieder alles gut. t=1 einsetzen, ergibt Punkt P1, den Anfangspunkt und t=2 einsetzen, ergibt P2, den Endpunkt. Und so hangeln wir uns mit dieser Idee von Strecke zu Strecke weiter. Die nächste Strecke hat Anfangspunkt P2 und Endpunkt P3 und Parameter muss weiterlaufen: P2+(t-2)(P3-P2), 2≤t≤3. Und so parametrisieren wir jede Teilstrecke. Und dann hören wir irgendwo bei der letzten Strecke auf. Die geht von PN-1 bis PN. Ich übernehme einfach diese Formel. Also: PN-1+(t-N+1)(PN-PN-1), N-1≤t≤N. Die Gesamtheit dieser Formel ist dann φ(t). Also wenn t zwischen 0 und 1 liegt, dann nimmt man die 1. Formel, und wenn t zwischen 1 und 2 liegt, dann nimmt man die 2. Formel, usw. Diese Abbildung φ bildet das Intervall von 0≤t≤N. Dieses Intervall von 0 bis N wird durch diese Formel φ durch die Abbildung, die durch diese Formel definiert ist auf den Polygonzug abgebildet. So parametrisiert man Polygonzüge. Und nächsten Teil des Beitrags möchte ich noch die Parametrisierung von Kreisen in verschiedenen Durchlaufrichtungen und die Parametrisierung von Graphen von Funktionen besprechen.

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2 Kommentare
  1. Default

    Bei 31:20 sollte es P_n-1 + (t-(n-1))*(P_n - P_n-1) heißen.
    Danke für die sehr guten und ausführlichen Erklärungen!

    Von Tastenschlingel, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    tausend Dank für die guten Erklärungen!

    Von Deleted User 20989, vor fast 6 Jahren