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Transkript Parametrisierung von Kurven – Aufgabe 5

 Hier haben wir eine interessante Aufgabe zur Parametrisierung der Kurven. Und die Aufgabenstellung ist ein bisschen verwickelt: Als Erstes haben wir einen Einheitswürfel in dem dreidimensionalen Raum. "Einheitswürfel" bedeutet, dass da die Kanten jeweils 1 sind und dieser Würfel ist so in die Ecke geschoben, also er stützt sich auf das Koordinatenkreuz. Also, den Würfel hatte ich hier gezeichnet. Die eine Kante ist die Strecke von 0 bis 1 auf der x-Achse, die andere Kante ist die Strecke von 0 bis 1 auf der y-Achse, und noch eine Kante ist die Strecke von 0 bis 1 auf der z-Achse. So sieht der Würfel aus. Den Würfel habe ich W genannt. Nun nehmen wir eine Ebene und schneiden den Würfel mit dieser Ebene. Und es ist klar, dass die Ebene aus dem Würfel eine Figur ausschneiden wird, eine Fläche. Und Ziel dieser Ausgabe ist, den Rand der herausgeschnittenen Fläche zu parametrisieren. Und die Ebene, die den Würfel schneidet, habe ich mit E bezeichnet. Und es ist vorgegeben, dass diese Ebene E durch die Gleichung () beschrieben wird. Also, die Gleichung dieser Ebene ist 2x+2y+z-4=0. Das ist die Gleichung der Ebene E.   Nun wollen wir uns klar machen: Wie sieht denn die Schnittfläche aus? Was haben wir da zu erwarten? Wir überlegen mal: Wie sehen denn die Schnitte aus? Zum Beispiel nehmen wir eine Ebene, die parallel zur z-Achse verläuft. Dann wird sie den Würfel zum Beispiel so schneiden, längs der roten Linie. Eine solche Ebene schneidet aus dem Würfel ein Viereck heraus. (Auch ein Quadrat vielleicht ... Nein, ein Quadrat gibt es nicht.) Oder man kann den Würfel anders schneiden: Man kann einfach nur eine Ecke schräg abschneiden. So. Wenn man eine Ecke einfach nur so abgeschnitten hat, dann ist die Schnittfläche ein Dreieck. Und mehr bekommt man nicht, soviel ich jetzt erkennen kann. Also als Schnittflächen des Würfels mit einer Ebene kommen nur Vierecke oder Dreiecke in Betracht. Nun nehmen wir die konkrete Ebene E, die durch die Gleichung () beschrieben ist, und machen uns klar: Was wird denn da herausgeschnitten? Ein Dreieck oder ein Viereck? Und wenn wir klären, ob es ein Dreieck oder ein Viereck ist, dann wollen wir dieses Dreieck auch konkret beschreiben (oder Viereck), indem wir die Koordinaten der Eckpunkte angeben. Wie soll man da anfangen? Am besten soll man damit anfangen, dass man sich klar macht, wie die Ebene E aussieht; in welcher Beziehung sie zu dem Würfel steht. Da ist einfach nur eine Formel - als Nächstes wollen wir diese Formel in ein Bild verwandeln. Es ist nicht sofort klar, wie diese Ebene aussieht. Und deswegen fangen wir am besten damit an, dass wir folgende Überlegung machen: (Ich bin da ein bisschen umständlich, Entschuldigung.) Ebene E wird nicht nur den Würfel schneiden, sondern sie wird auch die xy-Ebene schneiden. Und aus der xy-Ebene wird die Ebene E im Allgemeinen eine Gerade herausschneiden. Und wir wollen überlegen: Wie sieht denn diese Schnittgerade aus? Die Schnittgerade der xy-Ebene und der Ebene E, das ist unsere erste Überlegung. Also: "Schnitt der xy-Ebene und E." Als Erstes wollen wir uns darüber Gedanken machen. Die xy-Ebene ist charakterisiert dadurch, dass die z-Koordinate auf dieser Ebene überall 0 ist. Und wir wollen mal sehen, welche Punkte mit der z-Koordinate 0 in der Ebene E enthalten sind. Dazu setzten wir einfach nur den Wert z=0 in die Gleichung der Ebene ein. Also: "Setze z=0 in die Gleichung der Ebene ... (ich habe diese Gleichung mit () bezeichnet) ... in () ein." Noch einmal: Warum? Wir wollen die xy-Ebene mit der Ebene E schneiden. Ebene E ist durch die Gleichung () gegeben. Die xy-Ebene ist durch die Gleichung z=0 gegeben. Um die beiden Sachen zu kombinieren, setzen wir z=0 in die Gleichung der Ebene ein. Nun machen wir das: 2x+2y+0(statt z schreibe ich 0)-4=0. Der Vorteil ist hier, dass wir nun eine Gleichung mit 2 Variablen haben, x und y. Und solche Gleichungen können wir besser veranschaulichen. Hier kann ich die Gleichung durch 2 teilen und sie nach y umstellen. Und ich bekomme dann: y=2-x. Also, die Ebene E schneidet aus der xy-Ebene eine Gerade aus, die durch die Gleichung y=2-x beschrieben ist. Und diese Gerade können wir gut zeichnen. Das mache ich als Nächstes. (Dazu opfere ich die Aufgabenstellung und ein Stück von der z-Achse. Und ich hoffe, es ist jedem klar, wie man dann diese Gerade veranschaulicht. ... Nun bekomme ich Platz. Die Gleichung der Ebene möchte ich an der Tafel behalten. Wir werden mit der Gleichung noch etwas machen.) Und hier kommt ein zweidimensionales Bild: die xy-Ebene. Also, die Gerade y=2-x hat eine negative Steigung (-1) und schneidet die y-Achse bei 2. Mit diesen Daten haben wir dann diese Gerade. Hier ist 2 auf der x-Achse; hier ist 2 auf der y-Achse; und hier ist diese Gerade. Der Würfel E - der Würfel, mit dem wir zu tun haben, hat mit der xy-Ebene eine gemeinsame Fläche. Und diese gemeinsame Fläche will ich auf dem zusätzlichen Bild auch bezeichnen. Das ist hier die Markierung. Das ist der Würfel W. Der Würfel hat den Namen W. (Also, wo soll ich dann seinen Namen anschreiben? ... Hier.) Also, so sieht das Bild zweidimensional, in der xy-Ebene, aus. Nun übertrage ich die Ergebnisse der zweidimensionalen Zeichnung in die dreidimensionale Zeichnung. Die Gerade, die ich neulich gezeichnet habe, das ist der Schnitt der Ebene E mit der xy-Ebene. Und so haben wir ein bisschen Information gewonnen, wie die Ebene E aussieht. Nun wollen wir unseren Kenntnisstand erweitern. Wir wollen die Ebene veranschaulichen. Und das Nächste, was sich anbietet anzuschauen, ist: Welchen Schnitt hat die Ebene mit einer anderen Koordinaten-Ebene? Als die andere Koordinaten-Ebene wähle ich die yz-Ebene. Und dann machen wir dieselbe Betrachtung in der yz-Ebene. Ich betrachte den Schnitt der yz-Ebene mit E. Die Strategie ist dieselbe: In der yz-Ebene ist die x-Koordinate gleich 0. Um zu wissen, wie der Schnitt der Ebene E und der yz-Ebene aussieht, setze ich x=0 in die Gleichung der Ebene ein. Also, die Gleichung der Ebene, das ist die Gleichung () - steht an der Tafel, habe ich behalten. Und in diese Gleichung setze ich x=0 ein. Ich bekomme dann: 2×0 plus der Rest. Die Strategie ist dieselbe: Das, was an der Tafel geblieben ist, löse ich nach z auf: z=4-2y. Also, in der yz-Ebene schneidet die Ebene E die Gerade aus, die die Gleichung z=4-2y hat. Nun, als Nächstes veranschaulichen wir diese Gerade. (Und wo habe ich dann Platz? Dann opfere ich vielleicht doch die Gleichung der Ebene. Die Gleichung der Ebene habe ich mir gemerkt.) Das ist die y-Achse; das ist die z-Achse. Hier ist eine Seite von unserem Würfel. Würfel W hat mit der yz-Ebene ebenfalls eine gemeinsame Seite - die habe ich hier markiert. (Hier ist 1.) Und dann schauen wir mal, wie die Gerade aussieht: Die Gerade hat die Steigung -2 und schneidet die z-Achse bei 4. So, hier ist 1, hier ist 2 ... 4 ist dann irgendwo ganz oben. Und wenn y=2 ist, dann ist z=0. Also wird diese Gerade die y-Achse bei 2 schneiden und geht dann so nach oben und schneidet die z-Achse bei 4. (Hier ist 2, hier ist 3, und bei 4 ist der Schnittpunkt, aber das zeichne ich nicht mehr. Das ist zu hoch.) Und hier ist sehr anschaulich klar, dass diese Gerade den Würfel W gar nicht mehr schneiden wird. Deswegen ergänzen wir unser dreidimensionales Bild folgendermaßen: Ungefähr so. Und dann haben wir auch schon genug Informationen über die Ebene E. Ebene E enthält die beiden neulich eingezeichneten Geraden und dadurch ist die Ebene E vollständig beschrieben. Also, durch 2 Geraden gibt es genau eine Ebene, die sie enthält. Und wir sehen, dass, wenn wir die Ebene E durch diese 2 Geraden vorstellen, dann sehen wir sofort, dass die Ebene E den Würfel in den beiden oberen Kanten schneiden wird. (Nun bin ich in der Notationsnot, um die Kanten, die geschnitten werden, zu benennen. Ich muss sie bezeichnen. Ich muss irgendwelche Namen da vergeben. Und da bezeichne ich kurzerhand die Eckpunkte der einen Seite durch P, Q, R, S - alles schön alphabetisch. Und die gegenüberliegenden Eckpunkte bezeichne ich durch P', Q', R' und S'.) Nun wieder: Also, die Ebene E, die die beiden neu eingezeichneten Geraden enthält, wird unseren Würfel W auf den Kanten RR' und SR schneiden. Also ungefähr hier liegen dann die Schnittpunkte. Und natürlich ist Q auch ein gemeinsamer Schnittpunkt. An dieser Stelle haben wir herausgefunden, dass die Ebene E aus dem Würfel W ein Dreieck herausschneidet. Hier ist es, dieses Dreieck. Und den Rand von diesem Dreieck müssen wir parametrisieren.   Damit wir den Rand des Dreiecks parametrisieren können, müssen wir die Koordinaten von seinen Eckpunkten kennen. Die Koordinaten vom Punkt Q sind offensichtlich: das ist (1, 1, 0). Weil es eben ein Eckpunkt des Würfels in der xy-Ebene ist. Das ist offenbar. Was ja nicht offensichtlich ist, sind die Koordinaten der anderen Eckpunkte. Die Koordinaten der anderen Eckpunkte sind nicht offensichtlich, deswegen will ich sie ausrechnen. Also, den einen Punkt bezeichne ich mit A, den anderen Punkt bezeichne ich mit B. So, nun habe ich ein ganz schreckliches Bild hier - sehr viele Buchstaben - aber wir interessieren uns momentan nur für die Buchstaben A und B. Als Nächstes wollen wir ihre Koordinaten konkret ausrechnen. Und die Technik ist genau dieselbe. Wir gehen von der Gleichung der Ebene aus, das war die Gleichung (). (Vielleicht brauche ich nicht mehr die zweidimensionalen Zeichnungen. Die wische ich weg von der Tafel.) Und ausgehend von der Gleichung () ... Also, wir wissen, dass der Punkt A einerseits auf der Kante des Würfels liegt, andererseits ist er in der Ebene enthalten. Insbesondere bedeutet das, dass die Koordinaten des Punkts A die Gleichung der Ebene erfüllen sollen. Und aus dieser Information heraus, berechnen wir konkret die Koordinaten des Punkts A. (Bevor ich diese zweidimensionalen Bilder wegwische, merkt euch bitte, das ist ein sehr standardisiertes Vorgehen. Wenn wir uns im Dreidimensionalen etwas anschaulich klar machen sollen, dann ziehen wir uns zuerst ins Zweidimensionale zurück. Wir schneiden das dreidimensionale Bild mit bequemen Ebenen - bequeme Ebenen sind Koordinatenebenen oder Ebenen, die parallel zu Koordinatenebenen verlaufen - und machen uns klar, was dann in den zweidimensionalen Schnittebenen passiert. In der 2. Dimension können wir mehr ausrechnen, können wir mehr veranschaulichen. Wenn wir da im Zweidimensionalen Informationen gewonnen haben, übertragen wir sie in das Dreidimensionale. Das ist ein sehr typisches Vorgehen. Nicht nur bei dieser Aufgabe. Überhaupt, bei jeder Veranschaulichungsaufgabe. Das muss man beim Thema Vektor-Analysis immer wieder machen, dreidimensionale Bilder herstellen. Und am besten schneidet man mit geeigneten Ebenen, was ich hier vorexerziert habe, für dieses Beispiel. Das ist eine sehr typische Vorgehensweise.) (Nun brauchen wir diese zweidimensionalen Bilder nicht mehr. Sie haben ausgedient.) Als Nächstes wollen wir die Koordinaten der Punkte A und B ausrechnen. Vielleicht bringe ich noch einmal die Gleichung der Ebene an die Tafel. Ebene E hat die Gleichung: 2x+2y+z-4=0. Diese Gleichung haben wir mit () bezeichnet. Und mit dieser Gleichung wollen wir noch arbeiten. Wir fangen mit dem Punkt A an, in der alphabetischen Reihenfolge. Punkt A ist der Schnitt der Ebene E mit der Kante RR'. Also: "Schnitt von E mit der Kante RR'." Nun schauen wir genau auf das Bild: Die Kante RR' ist achsenparallel - parallel zur x-Achse. Das heißt, überall auf der Kante RR' haben die Koordinaten y und z einen konstanten Wert. Und weil wir einen Einheitswürfel haben, sind die Koordinaten sehr bequem. Überall auf der Kante RR' sind die y- und z-Koordinate gleich 1. Also, jeder Punkt auf dieser Kante RR' projiziert sich auf dem Punkt R' der yz-Ebene, und der Punkt R' hat die Koordinaten y=1 und z=1. Einerseits. Andererseits ... Also, wir haben ja geklärt, der Punkt A hat die y-Koordinate 1 und die z-Koordinate 1. Nun müssen wir die x-Koordinate des Punktes herausfinden. Das finden wir aus der Information heraus, dass der Punkt A in der Ebene E enthalten ist, und somit seine Koordinaten die Gleichung () erfüllen sollen, die die Ebene E auch beschreibt. Und um konkret die x-Koordinate des Punkts A auszurechnen, da setzen wir  y=1 und z=1. Das sind ja offensichtliche Zahlen, die sieht man daraus, dass der Punkt A auf der RR'-Kante liegt. "Setze diese Zahlen in die Gleichung der Ebene ein". Dann machen wir das: 2x+2×1 (statt y habe ich hier 1 gesetzt) +z (z ist in diesem Fall 1) -4; das ist 0. Und wir haben eine Gleichung bezüglich x. Diese Gleichung lösen wir auf. Was habe ich da? 2+1-4 ... das macht 2x-1; das ist gleich 0. Also, x=½. Somit haben wir die Koordinaten des Schnittpunktes ausgerechnet und den Schnittpunkt haben wir mit A bezeichnet. Also dann halten wir dieses Ergebnis fest: Der Punkt A hat die Koordinaten ½ für x und (1, 1) für die übrigen Koordinaten. Nun sollen wir die Koordinaten des Schnittpunkts B ausrechnen. Da machen wir dasselbe. Wir fangen genauso an. Und daher werde ich nicht mehr viele Worte verschwenden. Also, wir schneiden die Ebene E mit der Kante SR. Auf der Kante SR sind offensichtlich die x-Koordinate gleich 1 und die z-Koordinate ebenso gleich 1. Die unbekannte Koordinate vom Punkt B ist in diesem Fall y. Um die y-Koordinate auszurechnen, setzen wir die bekannten Koordinaten in die Gleichung der Ebene ein, weil die Koordinaten des Punkts B die Gleichung der Ebene erfüllen müssen, weil der Punkt B in der Ebene E enthalten ist. Also: 2×x (x ist in unserem Fall gleich 1) +2y (y ist vorerst unbekannt) dann +z (z ist in unserem Fall gleich 1) -4; das ist gleich 0. Und wir haben dieselbe Gleichung wie vorher. Die Lösung davon ist: y=½. Da haben wir die Information gewonnen, dass der Punkt B die Koordinaten (1, ½, 1) hat. Und damit ist der anspruchsvolle Teil dieser Aufgabe zu Ende.   Wir haben geklärt, dass die Ebene E aus dem Einheitswürfel ein Dreieck herausschneidet. Wir haben die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks berechnet. Also, die Koordinaten von A und B musste man berechnen, und die Koordinaten des Punkts Q sieht man einfach nur. Das ist (1, 1) in der xy-Ebene und 0 für die z-Achse, weil der Punkt auf der xy-Ebene liegt. Na also, da haben wir das Dreieck. Damit wollen wir den Rand von diesem Dreieck parametrisieren. Den Rand des Dreiecks kann man als Zickzack-Linie auffassen, also "Polygon" heißt das auf Griechisch. Also, als Zickzack-Linie auffassen ... Und wie man Zickzack-Linien parametrisiert, dafür haben wir einen allgemeinen Ansatz. In dem theoretischen Teil zu diesem Themenkreis habe ich diesen Ansatz eingeführt. Und dann benutze ich diesen Ansatz. Also, "Parametrisierung der Kurve ABQ." Nun müssen wir uns natürlich festlegen, wie wir die Kurve durchlaufen. Und ich schlage vor, im mathematisch positiven Sinn, das heißt gegen den Uhrzeigersinn von oben gesehen. Die Umlaufrichtung der Randkurve der Schnittfläche deute ich mit Pfeilen an. (Vielleicht werde ich noch die Schnittfläche schraffieren. Und nun ist das Bild perfekt.) Parametrisierung hat den Ansatz: Wir haben erst mal die Strecke AB - der Ansatz dazu ist: A+t×(B-A), wobei der Parameter zwischen 0 und 1 läuft. Dann die nächste Strecke, von B nach Q, hat den Ansatz: Also, B ist der Anfangspunkt, dann kommt der Faktor t-1, dann der Endpunkt ist Q, und dann minus den Anfangspunkt, und das gilt dabei für das Parameterintervall 1 bis 2. Und schließlich die letzte Strecke von Q nach A: Q ist der Anfangspunkt, A ist der Endpunkt, und der Korrekturfaktor ist t-2 (Das ist kein Korrekturfaktor, das nenne ich so spontan. Der Faktor ist t-2.), und der Parameter läuft dann von 2 bis 3. Und das ist der Ansatz für die Parametrisierung des Rands der Schnittfläche. Wunderbar. Die Koordinaten der Punkte A, B und Q stehen da an der Tafel. Da setzen wir diese Koordinaten in den Ansatz ein und bekommen konkrete Formeln für die Parametrisierung. Und die erste Formel rechne ich noch vor: Also, zur Zwischenrechnung: A+t×(B-A)= ... Nun setze ich die Dinger ein. Der Punkt A hat die Koordinaten (½, 1, 1), das haben wir ausgerechnet, +t× ... Der Punkt B hat die Koordinaten (1, ½, 1), das haben wir ausgerechnet, und der Punkt A hat die Koordinaten (½, 1, 1). Nun rechnen wir das alles zusammen: (½, 1, 1)+t× (berechnen wir die Differenz: 1-½ macht ½; ½-1 macht -½; und 1-1 macht 0). Das ist die Formel. Und vielleicht rechnen wir noch die beiden Vektoren zusammen. Da habe ich t/2+½; dann habe ich -t/2+1 in der y-Komponente; und 1. Dass die z-Komponente der Parametrisierung 1 ist, das ist sehr plausibel. Das ist richtig so, weil die Strecke AB in der Fläche SRR'S' liegt und dort ist die z-Koordinate überall 1. Und so weiter. Punkte einsetzen; ausrechen. Ich schreibe euch das Ergebnis an. Die erste Formel haben wir komplett durchgerechnet. Also, das ist: (Nun schreibe ich diesen Vektor nicht als Spalte, sondern als Zeile. Aus Platzgründen. Das ist erlaubt.) (t/2+½, -t/2+1, 1). Das war die erste Formel. Und als Übung rechnet bitte die nächsten 2 Formeln aus! Die habe ich dann nachgerechnet und sie sind: (1, t/2, -t+2) und die 3. Formel ist (-t/2+2, 1, t-2).   Ja und auf diese Weise haben wir die Randkurve der Schnittebene parametrisiert. Und die Schnittebene haben wir dadurch gewonnen, dass wir den Einheitswürfel mit einer Ebene geschnitten haben. Aber der interessante Teil der Aufgabe war natürlich, den Schnitt herauszufinden. Die Parametrisierung der Kurve das war eine sehr simple Rechnung.
Ich hoffe, ihr habt das genossen.  

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