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Transkript Parametrisierung von Kurven – Aufgabe 2

In dieser Aufgabe wollen wir Ellipsen parametrisieren. Wir lesen gemeinsam den Text der Aufgabenstellung. Betrachte die in das Rechteck so und so eingebettete Ellipse. Was heißt denn eingebettete Ellipse. Das soll man buchstäblich verstehen. Da haben wir ein Rechteck und die eingebettete Ellipse sieht ungefähr so aus. Und dann parametrisiere die linke Hälfte des Randes der Ellipse. Der Rand der Ellipse ist eben die Randlinie und wir wollen die linke Hälfte dieses Randes. Also wir teilen das Rechteck in zwei Teile, und daraus entsteht natürlich die linke und die rechte Hälfte des Randes. Und wir parametrisieren die linke Hälfte. Das ist die Aufgabenstellung. Nun, bevor wir nun konkret diesen Teil des Randes parametrisieren, wollen wir darüber reden, wie man allgemein Ellipsen parametrisiert. Die Parametrisierung von Ellipsen entsteht aus der Parametrisierung von Kreisen. Also wir wollen uns das im ersten Schritt allgemein anschauen, und dann zurückkehren zu der konkreten Aufgabenstellung. Wir starten mit dem vertrauten Einheitskreis. Der sieht ungefähr so aus. Wir wollen glauben, dass es eine Kreislinie ist, mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt im Ursprung. Sie haben die Gleichung x2+y2=1. Das ist die Kreisgleichung. Nun, wir wollen daraus eine Ellipse machen. Dazu nehmen wir zwei Parameter A und B, zwei feste Zeilen und dividieren x2 und y2 durch a2 und b2. Das sieht konkret so aus, x2/a2+y2/b2=1. Wir haben eine solche Gleichung, und diese Gleichung wird dann eine Ellipse beschreiben. Auf dem Bild sieht diese Ellipse so aus. Man diffuniert die Kreislinie mit diesen Parameter a und b. Im Endeffekt wird es ungefähr so aussehen. Ich habe die Gleichung mit a und b, die beschreibt eine Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung, und sie schneidet die x-Achse an den Stellen a und -a, und die y-Achse an den Stellen b und -b. So sehen die Ellipsen aus. Nun als Nächstes wollen wir die Ellipse verschieben, aus dem Mittelpunkt verschieben. Wir wollen daraus eine willkürliche Ellipse machen. Jetzt habe ich hier ja wenig Platz, na gut, ich mache das Beste daraus, was ich habe. Ich betrachte die Ellipse wie vorher, bloß verschoben, meinetwegen so soll die Ellipse aussehen. Und Mittelpunkt der Ellipse ist nicht mehr der Ursprung, sondern ein Punkt mit allgemeinen Koordinaten, x0 und y0. Die Gleichung der verschobenen Ellipse wird wie folgt aussehen. Ich nehem dann die alte Gleichung und modifiziere sie ein bisschen und bekomme dann die richtige Gleichung. Das würde dann im einzelnen so aussehen. (x-x0)2/a2+(y-y0), die Koordinate des Mittelpunkts ^2/b2=1. So haben wir von der Einheitskreislinie ausgehend haben wir eine deformierte Kreislinie bekommen, das heißt Ellipse, mit einem willkürlichen Mittelpunkt. Das ist erst mal analytische Geometrie. Nun, unser Ziel ist, solche Ellipsenlinien zu parametrisieren. Und da wollen wir dieselben Schritte durchziehen. Wir starten mit der Standard Parametrisierung des Kreises, der Kreislinie und Schritt für Schritt kommen wir zur Parametrisierung der Ellipse, der verschobenen Ellipse. Wie die Parametrisierung der Kreislinie aussieht, das ist wohl bekannt. Phi(t)=cos(t), sin(t). Das ist Standard. Wenn der Parameter t von 0 bis π läuft, dann bekommen wir die ganze Einheitskreislinie. Nun wollen wir, ich bezeichne diese Formulierung mit dem Index K, das steht für Kreis. Als nächstes wollen wir die Ellipse mit Parametern a und b parametrisieren und dem Mittelpunkt im Ursprung. Die Parametrisirung der Ellipse gewinnen wir aus der Parametrisierung des Kreises, indem wir an Cosinus Parameter a multiplizieren und an Sinus, Parameter b ranmulitplizieren. Das ist Phi_E, das ist die Parametrisierung der Ellipse mit Parametern a und b. Wir haben dann entsprechend das Bild, die Gleichung, die Parametrisierung. Dann in der zweiten Zeile haben wir dieselbe Entsprechung, Bild, Gleichung und die Parametrisierung. Als letztes wollen wir die verschobene Ellipse parametrisieren. Und ihr könnt euch schon vorstellen, da müssen wir dann die Parameter x0 und y0 und die Parameter des Mittelpunktes irgendwie einbauen in die alte Parametrisierung. Und Phi_VE, VE steht für verschobene Ellipse, sieht dann so aus. Also wir addieren einfach nur die Komponente x0 und die y Komponente addieren wir y0. Und so sieht die Parametrisierung der verschobenen Ellipse aus. In der allgemeinsten Form. Mit den Parametern x0 und y0, das sind ja Koordinaten des Mittelpunktes. Und a und b sind die Deformationsparameter. Das ist die Gleichung, die wir brauchen. Ich hoffe, das ist nachvollziehbar, wie aus der altbekannten Parametrisierung der Einheitskreislinie hier die Parametrisierung der willkürlich verschobenen Ellipse entstanden ist. Nun, das war der erste Teil unserer Überlegung. Als nächstes wollen wir schauen, wie die Ellipse aus der Aufgabenstellung aussieht, welche Parameter sie hat und dann für sie die Parametrisierung, in der letzten Form, VE schreiben. Dann brauche ich diese Zwischenschritte nicht mehr. Wir interessieren uns nur für das Endergebnis, diese allgemeine Parametrisierung der verschobenen Ellipse. Diese Formel lasse ich stehen an der Tafel. Nun beschäftigen wir uns unmittelbar mit der Aufgabenstellung. Wir haben jetzt hier ja einen Ansatz. Jetzt wollen wir diesen Ansatz implimitieren. Zuerst schauen wir uns an, welches Rechteck wir da haben. Hier sind unsere Achsen. X-Achse und y-Achse. Das Rechteck ist Intervall von [0, 4]x[0, 2]. Ich sage mal, hier ist das Intervall von [0, 4] auf der x-Achse und hier ist das Intervall von [0, 2] auf der y-Achse. Nun zeichne ich das entsprechende Rechteck, da brauche ich nicht zu erläutern was das heißt. Hier ist das Rechteck. Nun zeichne ich die eingebettete Ellipse. Sie wird ungefähr so aussehen. Nun wollen wir überlegen, welche Parameter diese Ellipse hat. Die Aufgabe ist ziemlich anschaulich gestellt. Aus der Zeichnung erkennen wir, dass die Ellipse den Mittelpunkt mit den Koordinaten (2,1) hat. Also Mittelpunkt, das fixieren wir, die Koordinaten x0, y0, die Koordinaten des Mittelpunktes brauchen wir, deswegen fixiere ich das an der Tafel. Mittelpunkt (x0, y0) hat die Koordinaten (2,1). Dann interessieren wir uns für die Parameter a und b. a ist die Hälfte des Durchmessers in x-Richtung. Und wo ist der Parameter auf dem Bild? Das ist die Länge von dieser Strecke hier, die ich rot markiere. Diese Strecke hat die Länge, offensichtlich von 2, also Abstand von 2 bis 4. Und das ist der Parameter a. Also wie nenne ich das? Halber Durchmesser in x-Richtung. Ziemlich langes Wort. Mir fällt aber kein anderes Wort ein. Entschuldigung. Also halber Durchmesser in x-Richtung. Das ist Parameter a, und Parameter a beträgt 2. Ja dann halber Durchmesser in y-Richtung, ist hier, senkrecht. Und der Abstand, die Länge von dieser senkrechten Strecke, die ich gerade markiere, beträgt 1. Gut, also halber Durchmesser in y-Richtung beträgt 1. Das ist Parameter b. Nun haben wir alle Informationen, die wir brauchen. Fast alle. An dieser Stelle setze ich dann bei x0, y0 konkrete Zahlen ein und für a und b, in den Parametrisierungsansatz. Ja dann mache ich das. Damit haben wir die Parametrisierung Phi(t)=, für x0 habe ich 2, für a habe ich wieder 2, dann cos(t),  für y0 habe ich 1, für b habe ich wieder 1, und dann sin(t). So das ist die Parametrisierung der ganzen Ellipsenlinie. Wenn Parameter t von 0-2π läuft, dann machen wir den vollständigen Umlauf. Das ist aber nicht ganz die Aufgabenstellung. Nach der Aufgabenstellung sollen wir die linke Hälfte des Randes der Ellipse parametrisieren. Nun also sollen wir überlegen, wie wir das hinkriegen, wie wir die Parametrisierung nur der linken Hälfte des Randes hinbekommen. Die Überlegung ist nicht kompliziert. Wir denken wieder an die Standardsituation. Ich erinnere euch daran, wenn ich eine Einheitskreislinie habe, und die Standardparametrisierung der Einheitskreislinie, mit cos(t) und sin(t). Wenn ich Parameter t fixiere, dann bekomme ich einen Punkt auf der Einheitskreislinie. Hier ist meinetwegen dieser Punkt. Wenn ich den Polarwinkel dieses Punktes betrachte, dann ist es ja genau t. Das war die Erinnerung, das sollte man wissen. Wenn ich dann wünsche, dass der Punkt auf der Kreislinie nur die linke Hälfte der Kreislinie durchläuft, also hier lang, wenn ich nur diese Gegend wünsche, dann muss ich mit dem Parameter t nicht von 0 an starten, denn 0 wäre dann hier, auf der x-Achse, sondern vom rechten Winkel starten. Also t muss bei π/2 starten. Dann weiter gehen, den Wert π annehmen und dann bei 3π/2 aufhören. Also wenn t von π/2 bis 3π/2 läuft, dann erwischen wir die linke Hälfte der Kreislinie. Und dann bei der Ellipse verhält es sich nicht anders. Wir haben ja gesehen, die Ellipsen entstehen aus der Einheitskreislinie, durch Deformation, erstens, und durch Verschieben. Aber der Parameter t hat ungefähr dieselbe Rolle. Nun mit dieser Überlegung schreiben wir dann das Ergebnis hin. Damit wir genau die Aufgabe lösen, die ja gestellt wurde, müssen wir sagen, dass der Parameter t die Werte zwischen π/2 und 3π/2 haben muss, damit wir die linke Hälfte des Randes der Ellipse erwischen. Das ist die Lösung für unsere Aufgabe. Also hier ist die Parametrisierung Phi(t), und hier ist der Definitionsbereich des Parameters. Somit haben wir die Aufgabe vollständig behandelt.

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