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Transkript Parametrisierung von Kurven – Aufgabe 1

In dieser Aufgabe wollen wir eine Kurve parametrisieren, und zwar die folgende: In der x-y-Ebene betrachte ich das sogenannte Einheitsquadrat. Das heißt, das Quadrat über der Strecke von 0 bis 1 auf der x-Achse und seitlich der Strecke von 0 bis 1 auf der y-Achse. Hier ist dieses Quadrat Q und Quadrat Q hat eine Randkurve. Die habe ich hier rot markiert auf dem Bild und wir wollen für diese Kurve eine Parametrisierung angeben. Das ist die Aufgabe. Den Ansatz habe ich im theoretischen Teil besprochen. Hier handelt es sich um eine Zickzacklinie. Sie zerfällt ganz natürlich in 4 Teilstrecken. Wenn man die Eckpunkte des Quadrats mit A, B, C und D bezeichnet, dann haben wir die Strecke AB^->, BC^->, CD^-> und DA^->, und diese Strecken wollen wir alle nacheinander parametrisieren. Ich habe hier auch geschrieben, welche Koordinaten die Punkte A, B, C und D haben. Hier stehen sie an der Tafel. Nun implementiere ich den Ansatz, den ich im theoretischen Beitrag präsentiert habe. Ansatz: Wir starten zuerst natürlich mit der Strecke AB^-> und der Ansatz zur Parametrisierung der Strecke AB^-> ist die folgende Formel: A+t×(B-A), wobei t der Parameter ist. Ich mache noch einmal klar, warum denn diese Formel funktioniert. Am besten setzt man zuerst t=0 ein und schaut, was da passiert mit dieser Formel. Wenn man hier t=0 einsetzt, dann bleibt nur der Punkt A übrig. Dann als Nächstes setze ich t=1 ein und man bekommt A+B-A und es bleibt einfach nur B übrig. Also für t=0 haben wir A, für t=1 haben wir B und für t zwischen 0 und 1 haben wir Punkte auf der Strecke AB^->, Punkte dazwischen. Das ist ein sinnvoller Ansatz zur Parametrisierung einer Strecke. Die nächste Strecke parametrisieren wir dann ähnlich. Bevor ich die Parametrisierung für die nächste Strecke hinschreibe, möchte ich noch einmal auf eine Bedingung eingehen, die ich leider vergessen habe zu erwähnen bei der Aufgabenstellung. Es ist gefordert, dass man die Randkurve des Quadrats im mathematisch positiven Sinn orientiert und unter dem mathematisch positiven Sinn versteht man den Umgang, Umlauf gegen den Uhrzeigersinn. Also, wir sollen die Randkurve des Quadrats wie folgt parametrisieren: Zuerst laufen wir von A nach B, dann von B nach C, dann von C nach D und dann von D zurück zu A. Wir haben einen Umgang gegen den Uhrzeigersinn, und diesen Umgang nennt man auch den mathematisch positiven Umlaufsinn. Nun steht alles da. Ich habe auch die Buchstaben so alphabetisch vergeben, dass wir dann genau diese Umlaufrichtung haben. Nun habe ich ja alles besprochen. Nun machen wir weiter mit unserem Ansatz. Die nächste Strecke ist die Strecke von B nach C. Also ich schreibe eine ähnliche Formel. Der Anfangspunkt ist B, der Endpunkt ist C, also ich schreibe hier die Differenz, also Endpunkt minus Anfangspunkt, und diese Differenz wird noch mit einem von t abhängigen Faktor multipliziert. Diesmal ist es Faktor t-1. Warum das so ist, begreifen wir gleich. Diese Formel gilt für die Parameterwerte von 1 bis 2. Nun steht die Formel da. Ich möchte sie noch einmal kommentieren. Wenn sich der Parameter t zwischen 0 und 1 bewegt, dann bewegt sich der Bildpunkt der Parametrisierung der Kurve auf der Strecke AB^-> von A nach B. Für t=1 landen wir am Punkt B. Dann laufen wir weiter hoch auf der Strecke BC^->, also für t=1 sollen wir dann im Punkt B sitzen, für t=2 wollen wir dann beim Punkt C landen. Diese Formel leistet das Gewünschte. Wenn wir t=1 einsetzen hier, dann wird Vorfaktor t-1=0 und nur noch B bleibt übrig, wir sitzen tatsächlich im Punkt B. Wenn t=2 ist, also t-1 für t=2 ist 1, haben wir dann hier B+C-B, also bleibt C übrig. Wenn wir in diese Formel t=2 einsetzen, dann landen wir tatsächlich im Punkt C und das war in unserem Sinne. So war das gewollt. Und so weiter, und so weiter. Die Strecken CD^-> und DA^-> parametrisieren wir ganz entsprechend und das mache ich dann schneller. Also, die nächste Strecke CD^->, die entspricht den Parameterwerten zwischen 2 und 3. Anfangspunkt dieser Strecke ist C, dann kommt der Korrekturfaktor. Endpunkt dieser Strecke ist D, also haben wir hier die Differenz Endpunkt D minus Anfangspunkt C, und der Korrekturfaktor ist dann t-2. Man erkennt die Gesetzmäßigkeit. Am Anfang haben wir t für das für das Intervall von 0 bis 1, dann haben wir t-1 für das Intervall von 1 bis 2, für das nächste Intervall haben wir t-2, für das übernächste Intervall haben wir t-3 und die letzte Strecke von D nach A: D ist der Anfangspunkt, A ist der Endpunkt und dann der Korrekturfaktor ist t-3 und das gilt alles für Parameterwerte zwischen 3 und 4. Das ist die Zuordnungsvorschrift für unsere Parametrisierung und die nenne ich traditionell φ. So schreibt sich die Parametrisierung des Randes, der Randkurve des Quadrats. Als Nächstes soll ich in diesen Ansatz konkret die Punkte A, B, C und D einsetzen und dann diese Formeln durchrechnen. Da fange ich natürlich bei der 1. Formel an, das ist eine Zwischenrechnung. A+t×(B-A), und hier gibt es wenig zu rechnen. Der Punkt A ist (0,0). Wenn ich hier (0,0) einsetze, dann bleibt nichts übrig. Das bewirkt nichts. B ist von 0 verschieden und hat die Koordinaten 1 und 0. Dann habe ich also t×(1,0) und diesen Punkt fasse ich zugleich als Vektor auf. Wenn ich eine Zahl t mit einem Vektor multipliziere, wenn ich einen Vektor mit einer Zahl multipliziere, dann kann ich diese Zahl in den Vektor hineinschieben und das bewirkt, dass wir jeden Eintrag im Vektor mit einer Zahl, mit dieser Zahl t multiplizieren. Dann die nächste Formel. Hier gibt es ein bisschen mehr zu tun. Die Punkte B und C sind von 0 verschieden. Also, ich schreibe den Ansatz ab: B+(t-1)×(C-B). Nun setze ich die Punkte B und C ein und B war (1,0). Diesmal schreibe ich diesen Vektor als Spaltenvektor hin. Und dann t-1, der Korrekturfaktor. Dann kommt der Punkt C. Die beiden Einträge vom Punkt C sind Einsen. Und dann muss ich nach der Formel B subtrahieren, und B war (1,0). Noch eine Bemerkung zu Formalitäten: Sei bitte nicht dadurch irritiert, dass ich die Punkte beziehungsweise Vektoren mal als Zahlen, mal als Spalten schreibe. Wenn die Punkte oder Vektoren irgendwo alleine für sich stehen, dann ist es völlig egal, ob man sie als Zeilen oder als Spalten schreibt. Je nach Platzgründen eigentlich, wie es einem bequem ist. Wenn man Vektoren in einer Rechnung schreibt, in der Matrizen und Vektoren miteinander multipliziert werden, dann kommt es darauf an. Dann ist es wichtig, ob wir einen Vektor als Zeile oder als Spalte schreiben. In einer Rechnung mit Matrizenmultiplikation, das ist es wichtig. Wenn wir keine Matrizenmultiplikation, keine Matrizen-Vektoren-Multiplikationen haben, dann ist es egal, ob wir einen Vektor als Zeile oder also Spalte schreiben. Deswegen wechsle ich frei zwischen beiden Notationsvarianten und diesmal ist es mir bequemer, einen Vektor als Spalte zu schreiben. Nun berechnen wir diesen Ausdruck. Was bekommen wir da? Am besten mache ich das mit der sogenannten Wischmethode. Vektor (1,1) minus Vektor (1,0) macht den Vektor (0,1). Nun multiplizieren wir den Vektor (0,1) mit dem Vorfaktor (t-1) und addieren dazu den Vektor (1,0) und schließlich bekommen wir (1,t-1) und so weiter. Die 3. und die 4. Zeile will ich nicht mehr vorrechnen. Da macht ihr das ganz entsprechend. Ich schreibe einfach nur die Ergebnisse hin, die ich da bekommen habe. Die Ansatzformel wische ich weg und ich empfehle euch: Rechnet es immer nach, rechnet es nach, was man in der 3. Zeile bekommt und was man in der 4. Zeile bekommt. Hier in dieser Formel schreibe ich die Vektoren oder Punkte wieder als Zeilen hin, weil es ja aus Platzgründen so bequem ist. Für das Intervall t zwischen 0 und 1 haben wir die Formel (t, 0). Für das Intervall t zwischen 1 und 2 haben wir die Strecke von B nach C und die Parametrisierung dafür haben wir gerade ausgerechnet: (1, t-1). Für die nächste Formel, rechnet es bitte nach. Da haben wir folgende Situation. Ich muss mal kurz überlegen, was wir da bekommen. Wir bekommen (3-t, 1). Dann für die 4. Strecke. Wir rechnen es aus. Ich muss mal kurz schauen, was wir da bekommen. Für die x-Komponente bekommen wir 0 und für die y-Komponente bekommen wir 4-t. Das ist die fertige Parametrisierung. Das ist kein Ansatz mehr, deswegen wische ich die Überschrift "Ansatz" weg. Das ist die fertige Parametrisierung der Randkurve des Einheitsquadrates in mathematisch positiver Richtung durchlaufen. Ich schließe noch eine Bemerkung an: Eigentlich konnte man auch ohne diesen Ansatz rechnen, weil die Koordinaten der Punkte A, B, C und D einfach lauter Nullen und Einsen sind, und deswegen kann man die Sache auch einfacher nehmen. Die Strecken sind auch achsenparallel und solche Strecken kann man wie folgt bequem parametrisieren. Wir betrachten erst mal die Strecke AB^->. Die Strecke AB^-> liegt vollständig auf der x-Achse, deswegen ist die y-Koordinate auf der Strecke AB^-> immer 0. Ohne zu rechnen, schreiben wir dann für die 1. Strecke: Die y-Koordinate ist 0. Ohne zu rechnen. Die x-Koordinate läuft von A nach B, das heißt, x läuft in den Grenzen von 0 bis 1. Deswegen schreiben wir sofort für die x-Koordinate der Parametrisierung t, und t läuft zwischen 0 und 1. Ohne diesen Ansatz konnte man diese Parametrisierung auch sehen. Dann die nächste Strecke von B nach C. Wir merken, dass jeder Punkt auf der Strecke BC^-> die x-Koordinate 1 hat. Deswegen können wir sofort schreiben in der Parametrisierung: Die x-Koordinate ist 1. Wenn wir von B nach C hochgehen, dann steigt die y-Koordinate von 0 auf 1 an und da schreibe ich t-1 in der Formel und lasse t zwischen 1 und 2 laufen. Und tatsächlich steigt der Ausdruck t-1 an von 0 auf 1, wenn t zwischen 1 und 2 läuft. Da ist die Parametrisierung entsprechend, die Parametrisierung der Strecken CD^-> und DA^->. In diesem Fall konnte man das auch ohne den Ansatz rechnen. Man sieht die Parametrisierung sofort, wenn man versteht, worum es geht. Aber wenn die Koordinaten ein bisschen komplizierter sind und nicht nur lauter Nullen und Einsen, oder wenn wir mit Punkten zu tun haben, die im dreidimensionalen Raum leben, wenn man eine Zickzackkurve im dreidimensionalen Raum hat, dann kann man den Ansatz, den ich da angegeben habe, nicht umgehen. Wenn die Koordinaten durch unübersichtliche Zahlen gegeben sind oder die Kurve dreidimensional im Raum verläuft, dann kann man alles nicht so bequem sehen, wie bei dieser Randkurve des Quadrats. Je nach der Schwierigkeit der konkreten Aufgabe sehen wir entweder sofort die Parametrisierung mit der Methode des scharfen Blickes, oder wir benutzen den systematischen Ansatz. Ich bin leider immer noch nicht fertig. Ich möchte noch etwas dazu sagen. Ich habe die Parametrisierung der Randkurve als eine Abbildung φ gegeben, die auf 4 verschiedenen Intervallen durch verschiedene Formeln erklärt ist. Man kann alternativ 4 Parametrisierungen nehmen und jede Teilstrecke hat dann eine Parametrisierung für sich und das würde dann so aussehen: Alternativ: Die Parametrisierung der Strecke AB^-> bezeichne ich durch φ mit dem Index AB und werde dann genau dieselbe Formel haben, wie gehabt. (t,0) und der Parameter t läuft von 0 bis 1 und da leistet diese Formel das Gewünschte. Darüber haben wir uns schon unterhalten. Für die Strecke BC^-> nehme ich eine andere Parametrisierung: φBC und da schauen wir dann mal, wie wir diese Parametrisierung klug wählen sollen. Die x-Koordinate auf der Strecke BC^-> ist immer 1. Da schreibe ich 1. Die y-Koordinate steigt von 0 auf 1 an. Deswegen schreibe ich hier einfach nur t und lasse t zwischen 0 und 1 laufen. Merke bitte die Unterschiede zwischen diesen beiden Formeln. Die parametrisieren die gleiche Strecke, aber mit jeweils unterschiedlichen Definitionsbereichen für den Parameter. Hier in der Formel oben läuft der Parameter von 1 bis 2, in der Formel unten läuft der Parameter von 0 bis 1. Deswegen sehen die Formeln ein bisschen verschieden aus, obwohl sie die gleiche Teilstrecke parametrisieren. Das ist die Parametrisierung einer Kurve nicht eindeutig ist, das haben wir schon im theoretischen Beitrag besprochen. Und so weiter. Dann nehme ich die nächste Teilstrecke: φCD, und es leicht zu sehen, wie sie parametrisiert werden soll. Die y-Koordinate ist immer 1. Das schreibe ich hin. Die x-Koordinate nimmt ab. Wir fangen bei x=1 an und hören bei x=0 auf und da ist die entsprechende Formel dann 1-t. Wenn t=0 ist, dann ist x=1. Wenn t=1 ist, dann ist x=0. Das entspricht der Bewegung von C nach D in der x-Koordinate. Und ganz entsprechend die Parametrisierung für die letzte Teilstrecke von D nach A. Die x-Koordinate ist dort 0. Die y-Koordinate verringert sich von 1 auf 0. Sie fällt von 1 auf 0. Deswegen haben wir dann die Formel 1-t und für t von 0 bis 1. Wir haben also 2 alternative Möglichkeiten, die Randkurve zu parametrisieren. Entweder nehmen wir alle, Funktion φ, die dann alle 4 Strecken zugleich parametrisiert und da auf 4 verschiedenen Intervallen auf durch 4 verschiedene Formeln gegeben ist, oder wir nehmen 4 verschiedene Parametrisierungen. Man muss sehen, was einem bequem ist. Die Parametrisierung von Kurven brauchen wir, um Kurvenintegrale zu berechnen und es ist ja völlig egal, welche Parametrisierung wir nehmen. Wir nehmen diejenige, welche uns bequem ist. Was einem bequem ist, das ist zu einem gewissen Grad Geschmackssache. Also, hier sind die Möglichkeiten und ihr habt die Auswahl.

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