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Transkript Parametrisierung von Flächen – Theorie Teil 1

In diesem Video besprechen wir die Parametrisierung von Flächen. Erst einmal ganz allgemein. Was ist eine Fläche, was bedeutet ihre Parametrisierung? Elementare Beispiele, allgemeine Bemerkungen und dann präsentiere ich euch die üblichen Parametrisierungstechniken. Also keine konkreten Beispiele sondern Ansätze für typische Situationen, wie man die Flächen parametrisiert.

Lasst uns anfangen. Was ist denn eine Fläche? Da muss ich nicht erläutern, Fläche wird umgangssprachlich verstanden. Meinetwegen nehmt euch so einen Wischlappen, ich stelle mir vor, dass der Wischlappen ideal dünn ist, und lasse den Wischlappen irgendwie im Raum in einer bestimmten Form erstarren. Der erstarrte Wischlappen, Φ in der bestimmten Form, meinetwegen so, das ist eine Fläche. Oder meinetwegen die Mantelfläche von einem Kegel, das ist hier auch eine Fläche im erstarrten Raum. Wir wollen uns mit Flächen befassen. Die erste Anwendungsfrage, die da aufkommt, ist: Welchen Flächeninhalt hat eine gegebene Fläche? Bei dem Wischlappen ist es ja ganz einfach. Wir können den Wischlappen auseinanderbiegen, die Länge messen, die Breite messen, die beiden Zahlen miteinander multiplizieren und dann bekommen wir das Flächenmaß vom Wischlappen. Und egal wie wir den Wischlappen krümmen, das Flächenmaß wird dasselbe sein. Das ist aber nicht immer so billig, wenn wir eine echt gekrümmte Fläche haben. Wenn ich eine Fläche perfekt auseinanderbiegen kann, dann ist die Fläche nicht wirklich gekrümmt gewesen. Es gibt aber Flächen, die echt gekrümmt sind, also zum Beispiel die Oberfläche einer Kugel, oder wie hier auf dem Bild ein Stück des Kegelmantels. Die Flächen sind echt gekrümmt und da ist die Frage welches Flächenmaß sie haben nicht so ganz trivial. Zum Beispiel, wenn wir aus der Kugeloberfläche so ein Fleckchen raus nehmen, und da fragen, welches Flächenmaß das gegebene Fleckchen hat, dann ist die Frage nicht so ganz klar. Wir wollen lernen, wie man zum Beispiel die Flächeninhalte von gekrümmten Flächen berechnet. Das ist eine sinnvolle Anwendung und da kommt man auf den Begriff des Integrales über einer Fläche. Um das Flächenmaß einer Fläche zu berechnen, muss man über die Fläche integrieren. Also wozu braucht man die Flächen? Um über sie zu integrieren. Eine allererste Anwendung, auf die man kommt, ist die Berechnung von Flächenmaßen. Nun gibt es noch eine weitere Anwendung, zum Beispiel im Raum fließt eine Flüssigkeit - Wasser - und wir haben eine Fläche aufgestellt, diese fixiert im Raum und da ist die Fragestellung sinnvoll: wie viel Wasser fließt pro 1 Sekunde durch die Fläche? Solche Fragen kann man auch beantworten, wenn man über die Fläche integriert. Diesmal werden Vektorfelder über Flächen integriert, um Flussvolumen zu berechnen. Ein großes Fazit ist, dass wir Flächen dazu brauchen, um über sie zu integrieren. Wir können Funktionen über Flächen integrieren, wir können Vektorfelder über Flächen integrieren, genauso wie mit dem Kohn. Damit man Integrale ausrechnen kann, reicht es nicht die Fläche verbal zu beschreiben. Man muss die Fläche schon exakter beschreiben, man braucht eine formelmäßige Beschreibung. Eine solche formelmäßige Beschreibung heißt genau genommen Parametrisierung. Lasst uns zuerst auseinandersetzen mit dem Thema Parametrisierung. Ich habe eine formale Definition hier an die Tafel geschrieben, wir wollen die Definition gemeinsam lesen. Ich habe eine Fläche im dreidimensionalen Raum, ich betrachte die Fläche nur im dreidimensionalen Raum. Die habe ich mit S bezeichnet, meinetwegen ist so ein Stück des Zylindermantels die Fläche S. Und wir haben ein Gebiet Ω, Gebiet Ω ist flach, Gebiet Ω ist eben. Hier ist auch eine Ebene Gebiet Ω eingezeichnet, meinetwegen ein Rechteck. Eine fiktive Abbildung vom Gebiet Ω auf die Fläche S, nennt man Parametrisierung der Fläche S. Ich habe ihnen ja in Aussicht gestellt, dass Parametrisierung grob gesagt eine formelmäßige Beschreibung ist. Die Abbildung Φ, diese Fiktion von Gebiet Ω auf die Fläche S, die wird eine Zuordnungsvorschrift enthalten. In der Zuordnungsvorschrift steckt eine Formel drin, und deswegen habe ich so grob die Parametrisierung als formelmäßige Beschreibung der Fläche bezeichnet. Was bedeutet Bijektivität? Dieser Begriff ist schwierig, ich möchte den Begriff noch einmal auseinandersetzen. Wir nehmen erst mal einen Punkt A auf dem Gebiet Ω. Gebiet Ω nennt man auch gerne Parameterbereich. Hier ist der Punkt A. Und der Punkt A wird unter der Abbildung Φ auf einen weiteren Punkt auf der Fläche S abgebildet, meinetwegen auf den Punkt P. Hier ist der Punkt P, das ist der Bildpunkt von A unter der Abbildung Φ. Also P=Φ (A). Auf diese Weise gibt es eine Entsprechung zwischen dem Punkt A und P, in dem Sinne, dass der Punkt A auf den Punkt P unter Φ abgebildet wird. Diese Entsprechung muss bijektiv sein, das bedeutet Folgendes, ich benutze folgendes Sinnbild: der Punkt A wird mit dem Punkt P verheiratet sozusagen, mithilfe der Abbildung Φ. Φ ist die Partnervermittlung. Und diese Partnervermittlung funktioniert folgendermaßen: 1. Auf der Fläche S wird jeder Punkt auf diese Weise verheiratet. 2. Jeder Punkt P auf der Fläche S kriegt genau einen Ehepartner aus dem Gebiet Ω. Und wenn diese zwei Bedingungen erfüllt sind, dann nennt man die Abbildung Φ bijektiv. Noch einmal: jeder Punkt P wird verheiratet, das nennt man technisch Surjektivität, 2. Jeder Punkt P kriegt genau einen Ehepartner aus Ω, das nennt man technisch Injektivität. Beides zusammen nennt man Bijektivität. Wenn das erfüllt ist, dann wird jeder Punkt A im Gebiet Ω genau einem Punkt P auf der Fläche S entsprechen. Und umgekehrt, jedem Punkt P hier auf der Fläche S entspricht genau einem Punkt A im Gebiet Ω. Eine solche Abbildung nennt man bijektiv. Wenn man den Punkt A auf dem Gebiet Ω bewegt, dann erreicht man jeden Punkt auf der Fläche S. Das ist Bijektivität. Wir wollen viele konkrete Beispiele dafür noch anschauen. Für dieses Bild hier will ich keine konkrete Formel schreiben, obwohl das machbar ist. So eine Kegelmantelfläche werden wir parametrisieren und die Parametergebiete werden auch genauso aussehen. Dieses Beispiel ist nicht einfach ins Blaue hinein gepinselt, sondern es gibt konkrete Formeln, wo die entsprechenden Bilder genauso aussehen. Dann, nicht ganz wichtig aber ich erwähne es: man setzt stillschweigend voraus, dass die Abbildung Φ differenzierbar ist. Das sagt man nicht explizit, das ist eine stillschweigende Voraussetzung. Wir werden brav die partiellen Ableitungen von Φ verwenden. Dann will ich als Nächstes ein kleines Beispiel anbringen. Das habe ich so vorgesehen. Als Nächstes kommt dann ein Beispiel. Wir wollen jetzt nicht so kompliziert anfangen, wie es auf dem Bild steht. Wir wollen uns nun ein paar konkrete Formeln anschauen. Wie können denn Parametrisierungen von Flächen aussehen? Wie kann man das alles veranschaulichen? Jetzt kommen zwei Einstiegbeispiele, die sind elementar. Beispiel. Wir betrachten folgende Parametrisierung: Parametrisierung Φ. Ich definiere erst einmal das Gebiet Ω. Das Gebiet Ω ist das kartesische Produkt von zwei Intervallen. Intervall von 0-1 kartesisches Kreuzintervall von 0-1 wieder. Das ist so ein Gebiet, das Einheitsquadrat auf der Ebene. Wem das nicht so angenehm ist, dieses Kreuz, die analoge Beschreibung ist die Folgende: Menge Ω besteht aus den Paaren (u,v), mit der folgenden Eigenschaft, das u zwischen 0 und 1 liegt und v ebenfalls zwischen 0 und 1 liegt. Das sind zwei völlig gleichbedeutende Beschreibungen von dem Gebiet Ω. Die erste Beschreibung ist bloß kürzer. Dann betrachten wir eine Parametrisierung Φ, die wie folgt arbeitet. Sie bildet von Ω nach R3 ab und die Zuordnungsvorschrift ist die Folgende. Der Punkt (u,v) aus dem Gebiet Ω wird abgebildet auf dem folgenden Punkt im dreidimensionalen Raum (u,v,1). Diese Notation ist ja ein bisschen zu ausführlich. Sie ist vollkommen korrekt, bloß in dieser Form schreibt man die Parametrisierungen kaum, das zu ausführlich. Man schreibt am besten: Φ(u,v)=(u,v,1), und u ist zwischen 0 und 1, v ist zwischen 0 und 1. Meist benutzt man diese Form. Wir brauchen jetzt nicht so explizit die Menge Ω, weil sie jetzt so einfach aussieht. Das ist die ausführliche Beschreibung. Das ist kürzer beschrieben, die Parametrisierung. Die Frage lautet: welche Fläche wird durch diese Abbildung parametrisiert? Nun, in diesem Fall ist die Formel sehr, sehr, sehr einfach, in diesem Fall können wir alles noch sehr schnell an die Tafel hier zeichnen. Also erst mal Koordinatenkreuz, hier ist die x-Achse, hier ist die y-Achse. Im allerersten Bild in diesem Video habe ich den Definitionsbereich der Parametrisierung Ω und die Fläche S auf getrennten Koordinatensystemen gezeichnet. In diesem Fall mache ich Alles im gleichen Koordinatensystem, weil diese Formeln so einfach sind. Also in diesem Fall kann man es so machen. Noch einmal, wenn ich noch nicht klar gesagt habe, was ich mit diesem Beispiel will, die Aufgabenstellung ist die Folgende: Hier ist die Formel für eine Parametrisierung, die Frage lautet: wie sieht die Fläche aus, die eine solche Parametrisierung hat? Wir sehen, dass die Formel für Φ ja nicht viel macht. Sie nimmt die Koordinaten (u,v), u wird an die x-Stelle hingeschrieben, v wird an die y-Stelle hingeschrieben und an der z-Stelle, da schreibt man 1. Das heißt, alle Punkte (u,v,1), alle Bildpunkte dieser Parametrisierung, liegen im dreidimensionalen Raum auf der Höhe 1, z=1. Also relevant ist hier Ebene, die parallel zur xy-Ebene verläuft, und die die z-Achse bei 1 schneidet. Relevant ist aber nicht die ganze Ebene, die ins Unendliche ausgestreckte Ebene, sondern nur ein bestimmter Teil dieser Ebene. Welcher Teil denn? Also, wir sehen die x-Koordinate des Bildpunktes u läuft zwischen 0 und 1, die y-Koordinate des Bildpunktes läuft ebenso zwischen 0 und 1. Also auf dieser Ebene, parallel zur xy-Ebene und die z-Achse bei 1 schneidend, ist das Einheitsquadrat relevant. Also so sieht die Fläche S aus, die durch die Parametrisierung Φ vorgegeben ist. Wie kann man sich die Parametrisierung vorstellen? Noch einmal, ich habe angekündigt, dass ich den Definitionsbereich bei der Parametrisierung Ω und die Fläche S im selben Koordinatensystem zeichne. Dann mache ich das. Hier unten habe ich das Einheitsquadrat in der xy-Ebene, das schraffiere ich rot, und das ist Ω. Was macht die Parametrisierung Φ? Sie nimmt einen Punkt (u,v) in der Menge Ω. Hier ist u, hier ist v und hebt diesen Punkt auf die Höhe 1. Also hier der Punkt unten ist (u,v), der Punkt oben ist Φ(u,v). Wenn wir den Punkt (u,v) unten in Ω bewegen, dann erreichen wir alle Punkte auf der Fläche S. Und das macht die Parametrisierung. Das ist ein elementares Beispiel, wie man Einheitsquadrate auf der Höhe z=1 parametrisiert. Nun möchte ich dieses Beispiel weiterführen. Ich betrachte eine weitere Parametrisierung, nämlich Ψ, die folgende Formel hat: statt u nehme ich u2, statt v nehme ich \sqrt(v), und z ist nach wie vor auf dem Niveau 1. Der Definitionsbereich der Parametrisierung ist der alte: u ist von 0 bis 1 und v ist auch von 0 bis 1. Meine Aufgabe an euch besteht darin, bitte veranschaulicht die Fläche, durch die die Parametrisierung Ψ beschrieben ist. Drückt auf die Pause und denkt ein bisschen nach. Wenn ihr entsprechendes Video zur Parametrisierung von Kurven gesehen habt, da mache ich ja ziemlich ähnliche Beispiele. Und rein psychologisch könnt ihr erraten, welche Fläche mit der Parametrisierung Ψ beschrieben ist. Entweder überlegt ihr es euch ganz ehrlich, oder ihr könnt es erraten. Durch die Parametrisierung Ψ ist genau dieselbe Fläche S gegeben, obwohl die Formeln anders aussehen. Damit ist genau die gleiche Fläche parametrisiert. Warum ist das so? Was hat man da mit Wurzelfunktion und Quadratfunktion? Bei u habe ich ja Quadratfunktion, also der Graph sieht so aus. Insbesondere das Intervall, die Funktion S=u2 hat folgenden Graphen und dabei wird wieder auf das Intervall von 0 bis 1 abgebildet. Auf der u-Achse Intervall von 0 bis 1 unter der Abbildung u2, landet wieder auf dem Intervall von 0 bis 1 auf der s-Achse. Und dasselbe betrifft die Wurzelfunktion. Also so sieht die Wurzelfunktion aus und sie hat dann das Intervall von 0 bis 1 auf der v-Achse, wirft diese Funktion auf dasselbe Intervall auf der s-Achse. Also der Effekt ist der Folgende: u2 durchläuft die Werte von 0 bis 1 in der x-Komponente der Parametrisierung, \sqrtv durchläuft die Werte von 0 bis 1 in der y-Komponente der Parametrisierung. Weil eben u und v sich in Grenzen von 0 bis 1 befinden. Deswegen wird die Parametrisierung mit diesem Ψ(u,v) ebenso jeden Punkt des Quadrates S auf der Höhe z=1 erreichen. Das ist gut. Bloß dieses Bildchen wird nicht so einfach sein, weil bei Φ, gehen wir parallel zur z-Achse nach oben, entlang einer Strecke, parallel zur z-Achse. Bei Ψ wird der Punkt (u,v) nicht nach einer Geraden abgebildet nach oben, sondern die Strecke wird ein bisschen gekrümmt, die Punkte oben sind ein bisschen versetzt. Also wir sehen die Funktionen u2 und \sqrtv haben als Graphen keine geraden Strecken, sondern gekrümmte Linien und das bewirkt eine Versetzung der Punkte auf der Fläche hier oben. Aber egal. Sowohl Ψ als auch Φ sind zwei verschiedene bijektive Abbildungen des Einheitsquadrats auf die Fläche S. Das sind beides Parametrisierungen. Das große Fazit von diesem Beispiel ist, dass die Parametrisierung einer Fläche nicht eindeutig ist. Die Fläche S hier in diesem Beispiel ist durch zwei verschiedene Parametrisierungen gegeben. Das ist meine erste Bemerkung. Parametrisierung, zu einer gegebenen Fläche S gibt es nicht nur eine einzige Parametrisierung. Hier haben wir eine Fläche S mit zwei Parametrisierungen angeschaut, es gibt aber unendlich viele Parametrisierungen. Ich werde euch das aber nicht begründen, warum das unendlich viele Parametrisierungen gibt. Also wir brauchen nie unendlich viele Parametrisierungen, aber jetzt zur allgemeinen Information, es gibt unendlich viele Parametrisierungen. Dieser Umstand, das die Parametrisierung in diesem Sinne nicht eindeutig ist, wird bei dem Thema Orientierung von Flächen wieder eine Rolle spielen. Nach dem Beispiel kommen jetzt Bemerkungen. Zu einer Fläche S gibt es unendlich viele Parametrisierungen. Dazu sagt man, dass die Parametrisierung einer Fläche nicht eindeutig ist. Umso besser. Bei einer bestimmten Fläche stehen uns mehrere Varianten der Parametrisierung zur Verfügung. Und wie man sich für eine bestimmte Parametrisierung entscheidet, und wie man sie konstruiert, davon wird die Rede sein hier in diesem Video, im nächsten Video und den Übungsaufgaben. Die zweite Bemerkung ist die folgende: Parametrisierung Φ ist eine Abbildung, die immer von zwei Variablen abhängig ist. Das war schon deutlich genug aus dem Stoff, den ich bis hier im Video präsentiert habe. Aber in Hausaufgaben, in Klausuren sieht man immer wieder Leute - nicht viele aber ein ziemlich konstanter Anteil - die ihre Parametrisierung einer Fläche, also die dann sagen, dass sie von drei Buchstaben abhängig ist, (r,θ,Φ). Das kommt daher, dass man die Parametrisierung einer Fläche oft mit der Transformation auf Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten verwechselt. Also, merkt euch einmal für den Rest des Kurses: Parametrisierung einer Fläche hängt von 2 Variablen ab. Nicht von einer, nicht von drei, sondern immer von 2 Variablen. Sicher ist sicher, das schreibe ich hin. Jede Parametrisierung einer Fläche, es gibt ja unendlich viele Parametrisierungen, aber jede hängt von 2 Variablen ab. Das hat tiefe mathematische Gründe, die aber jetzt auch nicht erläutern will. In anderen Worten: es ist nicht möglich eine Fläche durch eine Funktion zu parametrisieren, die von einer Variablen abhängig ist. Oder es ist nicht möglich durch eine Funktion zu parametrisieren, die echt von 3 Variablen abhängig ist. Jede Parametrisierung einer Fläche ist von 2 Variablen abhängig. Man schreibt dann: Φ(u,v), oder Φ(r,Φ), oder Φ(x,y). Also Φ ist eigentlich mein Lieblingsbuchstabe. Man sieht auch in der Literatur: g(u,v), manche finden es lustig die Parametrisierung durch x^-> zu bezeichnen, x^ (">->(u,v). Aber nie von einer Variablen oder nie von drei Variablen. Was habe ich sonst noch für ein Programm? Wie gesagt, die typische Aufgabenstellung ist, dass man eine Fläche verbal beschrieben bekommt und die Aufgabe ist irgendetwas mit dieser Fläche anzustellen. Den Fluss eines Vektorfeldes durch diese Fläche zu berechnen, oder den Oberflächeninhalt zu berechnen. Und damit man das tun kann, muss man erst mal die Fläche parametrisieren. Als Nächstes präsentiere ich die Parametrisierungstechnik. Dazu habe ich 3 große Themen. Erst mal Parametrisierung von Flächen, die sich als Graph einer Funktion mit 2 Variablen darstellen lassen. Dann 2. bespreche ich wie man die Standardkoordinaten bei der Parametrisierung von Flächen benutzt. Das heißt Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten. Und 3. Bespreche ich wie man die Rotationsflächen parametrisiert. In diesem Video schaffe ich nur noch die Graphen, und im zweiten Teil kommt der Rest. Parametrisierungstechnik. Teil 1, Fläche, die als Graph einer Funktion in zwei Veränderlichen darstellbar ist. Wie habe ich das genannt? Graph einer Funktion mit 2 Variablen als Fläche. Zuerst erinnere ich euch kurz daran, wie wir es bei den Kurven haben. Bei den Kurven hatten wir eine ähnliche Situation. Wir haben dann Graph einer Funktion f(x), f ist eine Funktion von einer Veränderlichen, ist definiert auf der ??? Bei ab und hat so einen Graphen, das ist eine bestimmte Kurve. Und den Graphen dieser Funktion kann man nun als Kurve auffassen. Wie parametrisiert man eine solche Kurve? Man fixiert einen Parameter t im Definitionsbereich ab. Dann hat der entsprechende Punkt auf der Kurve die Höhe f(t). Daraus ergibt sich die Parametrisierung der Kurve: also Φ(t)=(t und f(t)), und t läuft in den Grenzen von a bis b. Also den Graphen einer Funktion kann man als eine Kurve auffassen, und die Parametrisierung gibt es in dieser offensichtlichen Weise. Bei Flächen haben wir dasselbe. Also wenn wir Graph einer Funktion in 2 Veränderlichen haben, dann ist es natürlicherweise als Fläche auf fassbar. Jetzt ganz schnell ein Bild dazu. Hier sind die Koordinatenachsen, und der Graph einer Funktion mag meinetwegen so aussehen, so eine Rutsche. Ja also ich zeichne etwas ganz Billiges, weil ich hab ja nicht so viel Zeit zur Verfügung, um schönere Bilder zu zeichnen. Also das ist Graph einer Funktion über einen gewissen Definitionsbereich. Und Definitionsbereich ist wieder ein Rechteck hier unten. Ich markiere dann den Definitionsbereich unten, das ist unser Ω und die Funktion nenne ich F und der Graph ist beschrieben durch die Gleichung z=F(x,y), das ist der Graph dieser Funktion. Und noch einmal die Achsen benennen. Keiner hält uns davon an den Graphen dieser Funktion als Fläche aufzufassen, es ist auch eine Fläche. Jetzt überlegen wir, wie wir diese Fläche parametrisieren. Das geht genauso wie bei den Kurven. Also wir nehmen dann einen Punkt unten verschieben diesen Punkt parallel zur z-Achse nach oben, bis dieser Punkt auf der Fläche landet - auf dem Graphen. Das ist die anschauliche Idee hinter der Parametrisierung, die ich jetzt hinschreibe. Nun kommt die Ausführung. Zu einer Funktion F in 2 Veränderlichen, die auf dem Definitionsbereich von Ω definiert ist. Sie geht von R2 nach R reellwertig, betrachte die Fläche S, die ist ja folgendermaßen gegeben: das ist die Menge der Punkte (x,y,z) im dreidimensionalen Raum, sodass der Punkt (x,y) im Definitionsbereich Ω liegt. Also hier ist der Punkt (x,y) und der entsprechende Punkt (z) hier auf dem Graphen liegt. Für z gilt: z= F(x,y). Diese Fläche S, das ist der Graph der Funktion F. Diese Fläche hat folgende Parametrisierung: Parametrisierung Φ(x,y) und es ist ja ganz einfach, x-Koordinate der Parametrisierung ist x, y-Koordinate der Parametrisierung ist y, und z-Koordinate, oder z-Komponente ist F(x,y). Anschaulich bedeutet das, dass wir einen Punkt im Definitionsbereich auf den Graphen hochheben. Der Punkt (x,y) liegt eben in Ω, das ist der Definitionsbereich der Parametrisierung. Und das ist ein sehr wichtiger Ansatz, also mit diesem Ansatz werden viele Aufgaben behandelt. So parametrisiert man Flächen, die sich als Graph einer Funktion darstellen lassen, der Funktion F. Im nächsten Teil präsentiere ich euch die Benutzung von Zylinder- und Kugelkoordinaten bei der Parametrisierung von Flächen und die Parametrisierung von Rotationsflächen. Bis gleich!

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5 Kommentare
  1. Default

    Nicee

    Von Pada, vor fast 5 Jahren
  2. Default

    Zum ersten Mal verstehe ich, was es mit Parametrisierung auf sich hat. Danke!

    Von Ichmussmathelernen, vor fast 6 Jahren
  3. Default

    Herausragend! Ganz lieben Dank.

    Von Inchenbinchen, vor fast 6 Jahren
  4. Default

    zum Kommetar auf der Zeitleiste:

    Definition eines Diffeomorphismus: ein "Diffeomorphismus ist eine bijektive stetig differenzierbare Abbildung, deren Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar ist".

    Von Chr. W., vor fast 7 Jahren
  5. Default

    Super gemacht. 1000 x DANKE. Sehr einfach und verständlich erklärt.

    Von Seven87, vor fast 7 Jahren