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Transkript Parametrisierung von Flächen – Aufgabe 3

In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Parametrisierung von Rotationsflächen. Die Aufgabe steht an der Tafel. Es passiert hier Folgendes: In der xy-Ebene hat man einen Graphen, eine Funktion, die lautet y=\sqrt(x). So sieht der Graph aus und x läuft von 0 bis 4. Wenn die Funktion y=\sqrt(x) lautet und x von 0 bis 4 läuft, dann muss y offenbar von 0 bis 2 laufen. Das ist unsere Funktion. Was passiert mit diesem Graphen? Wir rotieren diesen Graphen, die Kurve, um die x-Achse. Es entsteht dadurch eine Rotationsfläche und die Fläche bezeichnen wir mit S. Die Fläche S entsteht durch Rotation von diesem Graphen um die x-Achse. Und wir wollen 2 Sachen damit anstellen, 1. die Fläche parametrisieren, sodass man damit auch integrieren kann und 2. die Fläche in kartesischen Koordinaten beschreiben, um besseren Umgang mit parametrisierten und kartesischen Koordinaten zu verstehen. Ja, die Aufgabe ist zweierlei. Dann, das Allerbeste, womit man anfängt, ist natürlich Veranschaulichung. Jeder kann sich hier so ungefähr vorstellen, wie die Rotationsfläche aussehen wird. Ich möchte es aber sicherheitshalber auf einem getrennten Bild zeichnen, dreidimensional. Und zwar wird das so aussehen: Hier ist die z-Achse, ganz oben und hier ist die x-Achse, hier ist die y-Achse. Und wo war denn unsere Wurzelfunktion? Sie ist in der xy-Ebene. Ungefähr so wird die Wurzelfunktion im dreidimensionalen Bild aussehen. Und nun rotieren wir diese Wurzelfunktion und bekommen folgende Rotationsfläche: Das ist so eine Schale, die x-Achse, Symmetrieachse, ungefähr so wird sie aussehen, diese Schale. Vielleicht kann ich die Schale besser zeichnen. So, und das ist die Schnittlinie mit der xy-Ebene. Hier weiter die Schnittlinie mit der xy-Ebene und die x-Achse sieht man ab hier ganz deutlich. Das ist 0 und das ist die Rotationsfläche S, so sieht die Fläche S aus. Und die Fläche wollen wir parametrisieren, weil sie die Rotationsfläche ist. Dann haben wir einen Standardansatz für die Parametrisierung, im Theorievideo habe ich ja erläutert, wie der Standardansatz für die Parametrisierung aussieht. Nun gibt es hier ein paar Feinheiten, und zwar, die Folgenden: Wir schauen uns noch einmal die Fläche AA an. Per Konstruktion, die Fläche ergibt Kreise, wenn man die Fläche mit Ebenen schneidet, parallel zur yz-Ebene. So ist sie halt konstruiert. Wenn ich die Fläche mit einer Ebene schneide, parallel zur xy-Ebene, dann bekomme ich eine Linie, die zeichne ich rot ein in das Bild. In der Konstruktion ist das ein Kreis. Das heißt, bezüglich y und z-Koordinate haben wir Kreise, und wie man Kreise parametrisiert, das ist ja bekannt. Beim Thema Parametrisierung von Kreisen, da gibt es so einen Standardansatz r cos φ, r sin φ. So, also sollen wir dann r cos φ und r sin φ, hier in die Parametrisierung hinschreiben. Wir sollen aber aufpassen, wo wir r cos φ, r sin φ hinschreiben, denn in der Theorie habe ich dann r cos φ, r sin φ, ganz oben hingeschrieben, in der x und y-Komponente, das wird in diesem Fall aber falsch sein. Wir müssen hier sehen, wo die Kreise sich befinden. Hier auf dem Bild mit der Fläche S, ist der rote Kreis parallel zur yz-Ebene. Also Projektion auf die yz-Ebene ergibt einen Kreis, eine Kreislinie. Deswegen muss die Standardparametrisierung des Kreises in den y und z-Komponenten der Parametrisierung landen. Also, den Standardansatz müssen wir auch vernünftig anwenden, nicht automatisch nur ganz oben schreiben, ist nicht immer richtig. Und in dieser Situation r cos φ und r sin φ, landen in der yz-Komponente. Das Wichtigste, das ist Standard, das ist fast geschenkt, müssen nur noch überlegen, in welchen Komponenten r cos φ und r sin φ hineinkommen. Worüber wir uns noch Gedanken machen müssen, ist die x-Komponente der Parametrisierung. Und darum wird es in den nächsten 3-5 Minuten gehen. Und wie will ich da vorgehen? Zuerst eine kleine Konstruktion, ich sage mal, der rote Kreis auf dem Bild hat den Radius r und hat die Parametrisierung r cos φ, r sin φ. Dann mache ich hier Folgendes, ich projiziere den roten Kreis auf die x-Achse, und weil der rote Kreis parallel zu der yz-Ebene ist, dann projiziert sich jeder Punkt des Kreises auf den gleichen Punkt der x-Achse. Das ist auch der Mittelpunkt von diesem Kreis, sage ich mal hier, und diesen Mittelpunkt bezeichne ich mit P. Das ist Projektionspunkt des roten Kreises auf die x-Achse und Radius würde ich hier auch bezeichnen, hier ist der Radius-Vektor von diesem roten Kreis. Wir wissen ja, dieser Kreis hat den Radius r, klein, der ist ja parametrisiert. Die Aufgabe ist die Folgende: Wenn wir wissen, dass der rote Kreis den Radius r hat, wir sollen ja die Koordinate des Punktes P auf die x-Achse, in Abhängigkeit vom Radius r, bestimmen. Es ist ja offenbar, wenn wir den Radius ein bisschen kleiner machen, wenn wir uns zur yz-Ebene nähern, mit dem Kreis, dann wird der Punkt P sich bewegen, auf der x-Achse. Es ist ja offenbar, dass der Punkt P, die Koordinate des Punktes P, einzig und allein vom Radius r abhängig ist. Und diese Abhängigkeit wollen wir rauskriegen. Wenn wir diese Abhängigkeit geklärt haben, dann schreiben wir hier oben, in der Parametrisierung, diese Abhängigkeitsformel hin. Wir schreiben hier die Koordinate des Punktes P auf der x-Achse, in Abhängigkeit von dem Radius r hin, in die x-Komponente der Parametrisierung, dann sind wir fertig. Damit es alles übersichtlich bleibt, möchte ich diese Aufgabenstellung noch einmal an der Tafel festhalten, damit jedem klar ist, was wir hier gerade machen. Vielleicht habe ich jetzt nicht so gut erklärt, aber ich habe mir überlegt, wie man das noch einmal kurz und bündig an die Tafel schreiben kann. Das Problem, dass wir haben, kann ich ja wie folgt beschreiben: Also, der rote Schnittkreis parallel zur yz-Ebene, habe den Radius r, sei P der Projektionspunkt von diesem Kreis auf die x-Achse. Und wir haben folgendes Ziel: Drücke die x-Koordinate von P durch r aus, und das wird die x-Komponente der Parametrisierung sein. Ziel: Drücke die x-Koordinate von P durch r aus, und das wird die x-Komponente von φ sein. Nun, das ist die Aufgabenstellung und wenn ihr Lust habt, dann könnt ihr selbst das in Angriff nehmen und die Parametrisierung vervollständigen. Also, diejenigen, die Kampflust haben, können dann auf die Pausetaste drücken und diese Aufgabe erfüllen. Ich mache aber für alle Anderen weiter. Zum Vergleich, das ist das Ziel. Nun, wie wollen wir dieses Ziel erreichen? Wir erreichen dieses Ziel, indem wir uns wieder ins 2-dimensionale begeben, und ich brauche wieder die 2-dimensionale Zeichnung. Also, in der xy-Ebene hatten wir eine Wurzelfunktion, der Graph projiziert sich auf das Intervall von 0 bis 4, auf der x-Achse und das Intervall von 0-2, auf der y-Achse. Nun zeichnen wir den Punkt P ein, den wir da haben. Hier ist der Punkt P und den Radiusvektor, der ist hier. Nach Vorrausetzung ist der Radius hat den Radius r. Also hier ist die Länge r. Also der entsprechende Punkt auf dem Graphen, oberhalb des Punktes P, projiziert sich auf r, auf der y-Achse. Einerseits und andererseits wissen wir, dass der Graph durch die Funktion y=\sqrt(x) gegeben ist. Nun, wenn wir wissen, dass der rote Pfeil, der rote Strich, die Länge r hat, parallel zur y-Achse verläuft und ganz schön unter den Graphen passt. Die Frage ist, was ist die x-Koordinate des Punktes P in Abhängigkeit von r? Überlegt es euch. Und die Antwort ist natürlich r2. Ich nenne den Punkt auf dem Graphen A, wo die Spitze des Pfeiles landet, denn, wenn der Punkt A auf dem Graphen landet, dann müssen Koordinaten des Punktes A die Gleichung des Graphen erfüllen. Also A hat die Koordinaten r2 und r und tatsächlich, wenn y=r ist und x=r2, dann ist die Gleichung y=\sqrt(x) erfüllt. Und so haben wir unser Problem geklärt. Der Punkt P hat die Koordinate r2, wenn der rote Pfeil die Länge r hat. Und das landet dann in die x-Komponente der Parametrisierung. So, das ist die ganze Kunst. Das Schwierigste haben wir schon damit bewältigt. Nun, zur Parametrisierung gehört auch die Angabe des Definitionsbereichs für Parameter. Und wir sehen, dass x zwischen 0 und 4 läuft, das soll uns aber nicht verwirren, wenn x zwischen 0 und 4 läuft. Aus dem Bild ist ja erkennbar, dass der rote Pfeil die Längen von 0 bis 2 haben kann, aufgrund unserer Wurzelfunktion. Das skizzieren wir also, r läuft von 0-2 und φ ist der Winkel bekanntlich, damit wir den vollen Umlauf bekommen, hier auf dem Kreis, da muss ein Winkel von 0 bis 2 φ laufen. Also, Winkel läuft von 0 bis 2 φ. Und nun ist meine Parametrisierung komplett. Das hier ist die Parametrisierung der Fläche S, das ist der 1. Teil unserer Aufgabe. Also, wir haben die Fläche S parametrisiert, Rotationsfläche. Wunderbar, nun der 2. Teil der Aufgabe. Beschreibe die Fläche in kartesischen Koordinaten. Was meine ich denn damit? Ich meine damit Folgendes: Also, wir wollen die Fläche wie folgt schreiben, mengenmäßig schreiben. Die Fläche S={(x,y,z)} aus dem dreidimensionalen Raum, sodass die Koordinaten x, y, z, bestimmte Relationen erfüllen. Hier schreibe ich weiter, in der 2. Zeile, das Bild möchte ich abtrennen. Das x, y, z, bestimmte Gleichungen und Ungleichungen erfüllen. Ich will halt die Fläche S als Menge hinschreiben und basierend auf kartesischen Koordinaten. Wie geht denn das? Greifen wir wieder auf unsere dreidimensionale Zeichnung, wir sehen dann wieder den roten Kreis, der rote Kreis, wie Kreisgleichungen aussehen, das ist ja bekannt. Es ist hinreichend bekannt, dass x2+y2=R2, das ist Gleichung der Kreislinien, der xy-Ebene mit dem Radius r und dem Mittelpunkt im Ursprung. Das ist der Standard der Kreisgleichung, und wir sollen das übernehmen. Bloß, wir haben da mit anderen Kreisen zu tun, diese Kreise sind nicht parallel zur xy-Ebene, deswegen x2+y2 ist schon kein guter Ansatz. Die Kreise, die roten Kreise, sind parallel zur yz-Ebene. Bezüglich yz haben wir Kreise, deswegen ist der Ansatz y2+z2. Das wird dann die Gleichung des roten Kreises sein. Nun, Radius möchten wir noch klären. Radius habe ich immer mit r bezeichnet, Radius möchten wir noch klären. Also, einfach nur r in der Gleichung stehen lassen, das schickt sich nicht, weil wir möchten ja die Flächen in kartesischen Koordinaten beschreiben und kartesische Koordinaten sind x, y, z. Also r ist da irgendwie nicht dabei. Wir wollen dieses r durch x, y, z ausdrücken und wie geht das? Wir sehen momentan, dass der Radius von diesem roten Kreis, ist, nur mit der x-Koordinate des Punktes P verbunden. Also, der Radius r hängt nur von x ab, nicht von y, z. Wir sollen diesen Radius durch irgendeinen Ausdruck von x ersetzen. Jetzt haben wir was Ähnliches, was wir vorher gehabt haben, nur anders rum. Jetzt haben wir von den kartesischen Koordinaten auf diese rφ Koordinaten umgerechnet, hier wollen wir das zurückmachen. Wie können wir da vorgehen? Der Trick ist wieder derselbe, wir gehen ins Zweidimensionale zurück, also wir gehen in die xy-Ebene. In der xy-Ebene ist die z-Koordinate=0, nicht wahr? Also in der xy-Ebene, aber nichtsdestotrotz, die Gleichung sollte auch in der xy-Ebene erfüllt sein, und die xy-Ebene ist z=0. Also z kann ich ja wegwischen, das ist 0 in der xy-Ebene. In der xy-Ebene z=0, da habe ich z durch 0 ersetzt. Was bleibt, soll Beschreibung der Wurzelfunktion sein. Sonst haben wir nicht die Fläche S beschrieben. Also, Schnitt der Fläche S, mit der xy-Ebene, ist für positives y, Graph unserer Wurzelfunktion. Die Gleichung, die sich ergibt, wenn wir z=0 setzen, soll genau die Gleichung der Wurzelfunktion sein. Und die Wurzelfunktion war y=\sqrt(x). Also, hier haben wir y2, wenn wir y2 haben, dann muss hier x stehen, auf der rechten Seite. Das ist dasselbe wie y=\sqrt(x), wenn wir das quadrieren. Nun gehen wir zurück ins Dreidimensionale. Im Dreidimensionalen haben wir wieder die z-Koordinate und die Gleichung sieht so aus: y2+z2=x, das ist die Gleichung, die die Fläche S in kartesischen Koordinaten beschreibt. Und ich erinnere euch, um zu checken, dass die Gleichung stimmt. Das können wir so machen, wenn wir z=0 setzen, in dieser Gleichung, dann erhalten wir y2=x, und das ist im Endeffekt das Gleiche wie y=\sqrt(x). Auf diese Weise kann man checken, dass die Gleichung stimmt. Also, die Fläche S wird ja beschrieben in kartesischen Koordinaten, erst mal durch die Gleichung y2+z2=x, das ist aber nun noch nicht alles, es kommt noch etwas dazu. Und zwar, wenn ich einfach nur diese Gleichung so stehen lasse, dann habe ich eine Schale, die sich nach unendlich ausstreckt. Das muss ich aber beschränken, also unsere Wurzelfunktion, dann projiziert sie sich auf die x-Achse, auf das Intervall von 0 bis 4 und das soll ich in der Beschreibung der Fläche auch fixieren. Damit wir wirklich diese Schale mit endlicher Höhe haben. Also x ist zwischen 0 und 4 und die geschweifte Klammer zu. Das ist unsere Aufgabe. Wir haben wieder gestartet von einer einfachen Beschreibung, Graph einer Funktion rotiert um die x-Achse und daraus haben wir zweierlei gemacht. 1. haben wir die Fläche parametrisiert, wir haben Parametrisierung hergestellt, die man für Integrationen bei Flächen braucht, 1. und dann, um das Verständnis zu vertiefen, haben wir auch die Fläche S in kartesischen Koordinaten dargestellt. So sieht sie aus. Wir sehen, die Beschreibungen, die formal oberflächlich sind, sehen verschieden aus. Hier haben wir y=\sqrt(x) mit bestimmten Angaben, hier haben wir y2+z2=x, ist auch sehr verschieden von dem, was wir hatten und hier haben wir Parametrisierung der Fläche. Sie sieht wieder total anders aus, aber das ist alles dasselbe. Und man muss die x-Achse von der einen Beschreibung zur anderen Beschreibung wechseln. Gut, das war die Aufgabe und für diejenigen von euch, die diese Technik noch üben möchten. Aber das muss man auch können, jede 4. Klausuraufgabe zum Thema Parametrisierung von Flächen, hat mit Rotationsflächen zu tun. Um diese Technik zu üben, schlage ich vor, eine ähnliche Aufgabe. Die neue Aufgabe ergibt sich aus der alten Aufgabe, in dem ich ein paar Sachen geringfügig modifiziere. Betrachte den Graphen der Funktion y=\sqrt(x), für x zwischen 0 und 4. Die Fläche F, jetzt wechseln wir ins Deutsche, nicht surface, sondern Fläche. Die Fläche F entsteht durch Rotation von diesem Graphen um die jetzt nicht um die x-Achse, sondern um die y-Achse. Parametrisiere die Fläche F und beschreibe sie in kartesischen Koordinaten. Also Leute, bitte schön. Hier die Aufgabe macht bitte selber. Bloß der einzige Unterschied, dass wir die Rotation bezüglich der y-Achse haben. Wer will kann auf die Pausetaste drücken, wer nicht will, der berichtet kurz, wie die Lösung aussieht. Natürlich mache ich das jetzt nicht ausführlich. Also, die Fläche wird dann so aussehen. Wenn wir erst mal veranschaulichen, ohne Veranschaulichung ist es schlecht. Hier ist die z-Achse, hier ist die y-Achse, nein Moment quatsch. Hier ist die x-Achse und dann hier irgendwo wird die y-Achse sein, hier so unsere Wurzelfunktion in der yx-Ebene, alles wie gewesen. Bloß, dieser Graph rotiert nicht mehr um die x-Achse, sondern um die y-Achse und das ergibt so ein Gebilde, so ein Megafon meinetwegen, so ein Sprachtrichter. Das ist die y-Achse und das ist die Fläche F, das ist natürlich der Ursprung. Und die Parametrisierung, die Parametrisierung nenne ich meinetwegen Ψ von der Fläche F und die rφ-Koordinaten und ja, dasselbe. Wir sehen, wenn die Fläche mit Ebenen schneidet, parallel zur xz-Ebene, dann bekommen wir Kreise. Also, bezüglich x und z haben wir Kreise. Dann schreiben wir getrost hin, r cos φ für x und r sin φ für z. Also, man muss hier überlegen, welche Komponenten man r cos φ, r sin φ, hinschreibt. Vorher war es bei uns anders. Bei der 1. Version der Aufgabe, für die Fläche S, da war cos φ, sin φ, waren unten, ganz unten in der yz-Komponente. Jetzt ist es anders, weil wir Kreise anders hinbekommen, wenn wir mit xy und xz-Ebenen, mit Ebenen parallel zur xz-Ebene schneiden, dann bekommen wir keine. Deswegen landet die Standardparametrisierung des Kreises eben in der xz-Komponente. Der ganze Anspruch besteht darin, dann die y-Komponente auszurechnen und das macht man genau so. Hier ist der rote Kreis mit dem Radius r, also die Zeichnung ist nicht perfekt, Verzeihung, mit dem Radius r. Das zweidimensionale Bild, was hatten wir im zweidimensionalen Bild? So, hier ist das zweidimensionale Bild, wo ist dann unser Pfeil? Hier ist der Pfeil. So rum, die Rotation erfolgt dann um die y-Achse und hier ist unser Pfeil. Der Pfeil hat die Länge r, das heißt, die x-Koordinate vom Punkt, ich habe in der alten Version den Punkt A benannt, also der Punkt A hat die x-Koordinate r und die y-Koordinate, damit natürlich die Gleichung stimmt y=\sqrt(x), die y-Koordinate muss \sqrt(r) sein, von Punkt A. Und damit haben wir das alles bekommen, \sqrt(r). Und so soll man auch die Aufgaben selbstständig bearbeiten können, ohne diesen Schleim, den ich da mit der Aufgabe, mit der Fläche S gemacht habe, sehr ausführlich gemacht habe. Aber eigentlich muss man das so machen, dynamisch, also schnell. Und was passiert mit Radien? Radien laufen natürlich offenbar, nach der Aufgabenstellung, Radien laufen von 0 bis 4 diesmal, nicht von 0 bis 2, wie vorhin. Und Winkel, klar, von 0 bis 2. Das ist die Musterlösung für die Parametrisierung. Jetzt wollen wir die Fläche in kartesischen Koordinaten beschreiben. Derselbe Ansatz, F={(x,y,z)} im dreidimensionalen Raum, die durch folgende Bedingungen gegeben ist: Bezüglich xz haben wir Kreise, also x2+z2 muss ja in und dann haben wir, Radius ist ja nur von y abhängig, also wie können wir y auschecken? In dem wir z=0 setzen und schauen, dass die Gleichung der Wurzelfunktion erfüllt ist. Und was kommt dann hier? y natürlich, mit gleicher Potenz. Raten, raten, raten, mit welcher Potenz? 4. Wenn ich z=0 setze, dann bekomme ich x2=y4, also \sqrt(x)=y, nicht? Also y4. Ich hoffe, deine ist da geschockt. Und natürlich, es wird unendlich ausgedehnter Sprachtrichter sein, das wollen wir nicht. Also, y-Koordinate ist natürlich beschränkt, auf das Intervall von 0 bis 2. So schnell muss man die Aufgaben bearbeiten können. Ich hoffe, das hat euch geholfen. Das war es.

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