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Transkript Parametrisierung von Flächen – Aufgabe 1

In diesem Video üben wir die Parametrisierung von Flächen. Ich will hier vorrechnen, wie man den Graph einer Funktion als Fläche parametrisiert. Momentan geht es bei der Aufgabenstellung an der Tafel oberflächlich gesehen um keine Graphen. Wir lesen die Aufgabenstellung, und dann werden wir den Graphen hineininterpretieren, sozusagen. Also, was haben wir denn? Wir haben einen Zylinder, gegeben durch die Ungleichung x2+y2≤1. Ich habe mich nicht versprochen, diese Ungleichung habe ich als Zylinder bezeichnet. Es kommt auf die Dimension an: Wenn wir diese Ungleichung in der x-y-Ebene betrachten, dann handelt es sich um eine Einheitskreisscheibe. Wenn wir das im dreidimensionalen Raum betrachten, dann ist es ein Zylinder, der sich in der x-y-Ebene als Kreisscheibe projiziert. Also in der x-y-Ebene gibt diese Ungleichung x2+y2 diese Kreisscheibe vor, ich möchte, dass das glaubhaft geworden ist, dass das tatsächlich eine Kreisscheibe ist. Und dann, wenn man noch eine dritte Koordinate/ z-Koordinate ins Spiel bringt, dann beschreibt diese Gleichung keine Kreisscheibe mehr, sondern einen Zylinder oberhalb dieser Kreisscheibe - und der sieht so aus. So ist er unendlich ausgedehnt, den unteren Teil habe ich ja hier abgeknabbert, im oberen Teil habe ich auch etwas weggebrochen. So, und das ist der Zylinder, z ist eigentlich die Symmetrieachse des Zylinders, und die z-Achse sieht man nicht hinter dem Zylindermantel. Dann, der Bogen hier ist sichtbar, und dieser Zylinder hat den Radius 1. Nun haben wir es, das ist der Zylinder x2+y2≤1. Was passiert weiter? Wir betrachten eine Ebene mit einer bestimmten Gleichung 2x-y+3z=3, und die Ebene schneidet den Zylinder. Die Schnittfläche, die daraus entsteht, bezeichne ich mit S, und diese Schnittfläche wollen wir parametrisieren. Den Zylinder habe ich mehr oder weniger exakt veranschaulicht, nun kommen wir auf die Ebene zu sprechen. Die Ebene ist hier nicht so einfach zu veranschaulichen, weil es sind erst mal alle Koordinaten präsent in der Gleichung der Ebene, und da stehen irgendwelche Zahlen. Es ist ein ziemlicher Aufwand, diese Ebene exakt zu veranschaulichen, und ich verzichte auf diesen Aufwand. Wichtig ist, dass diese Ebene aus dem Zylinder eine Ellipse ausschneidet. Also wie herum geht diese Ebene? Ja, von schräg oben rechts oder von schräg oben links, das ist für diese Aufgabe nicht so wichtig. Deswegen zeichne ich einfach nur irgendeine Ebene, die den Zylinder schneidet, und begnüge mich damit. Meinetwegen eine Ebene im Raum, die aus dem Zylinder so eine Ellipse herausschneidet. Die schraffiere ich rot und bezeichne sie mit S. Ob die Ebene mit der Gleichung tatsächlich so verläuft, nach schräg unten, das weiß ich nicht, das will ich momentan auch nicht wissen. Für diese Aufgabe wird das nicht wichtig sein. Wir wollen diese Ebene S, diese Schnittfläche, erst mal inquirieren. Die Idee ist folgende: Wir fassen S als Graph einer Funktion auf über dem Definitionsbereich, den ich gerade in der x-y-Ebene schraffiere. Die Einheitskreisscheibe in der x-y-Ebene bezeichne ich mit Ω, und diese Einheitskreisscheibe erfasse ich als Definitionsbereich einer Funktion, und die rote Schnittfläche fasse ich auf als Graph einer Funktion. Nun wollen wir das formelmäßig realisieren, sozusagen. Wir wollen das ausrechnen. Hier ist die Idee; das, was ich gerade gesagt habe, möchte ich kurz an der Tafel festhalten. Die Idee ist die folgende: Die Ebene lässt sich als Graph einer Funktion auffassen. Und die Funktion, wie üblich: z=F(x,y). Und dann nehmen wir diesen Graphen, diese Funktion, und betrachten sie nur oberhalb des Definitionsbereichs Ω, und das wird uns eine Parametrisierung geben. Nun, zuerst würden wir aber die Funktion F bestimmen. Wir suchen die Funktion F, indem wir die Gleichung der Ebene nach z auflösen. Wir suchen diese Funktion F(x,y), indem wir die Gleichung der Ebene nach z auflösen. Und das ist diese Idee; nun wollen wir diese Idee implementieren. Die Gleichung der Ebene lautet 2x-y+3z=3, und nun das Übliche. Ich bringe 2x und das y auf die rechte Seite und dann teile ich alles durch 3. Es ergibt sich z=1-2/3x+1/3y. Und schon steht auf der rechten Seite meine Funktion F. Gut, das ist also unser Ergebnis: F(x,y)=1-2/3x+1/3y. Wunderbar. Dann ist die Schnittebene S ist der Graph dieser Funktion oberhalb vom Definitionsbereich Ω. Das fixiere ich auch auf der Tafel. Sind ja einfache Ideen, bloß ist es besser, wenn man alles schwarz auf weiß hat. Ich glaube, auf dem Bild ist das deutlich genug, dass das tatsächlich so ist, also die Schnittfläche ist der Graph von der Funktion F(x,y), und wir haben uns ja überlegt, welche Formel diese Funktion hat. 1-2/3x+1/3y. Die Fläche ist der Graph der Funktion F oberhalb des Definitionsbereichs Ω. Ja, und Ω wird durch diese Ungleichung beschrieben und wird zum Zylinder, bloß ist Ω flach, liegt in der x-y-Ebene, und insofern ist Ω einfach nur die Einheitskreisscheibe. Zu Ω gehören die Punkte x y, die der Ungleichung x2+y2≤1 genügen. Im Theorievideo habe ich ja erläutert, wie man Graphen von Funktionen parametrisiert. Ich wiederhole noch einmal, was denn da die Idee ist. Also, grundlegende Idee: Man nimmt einen Punkt im Definitionsbereich und liftet den Punkt hoch auf den Graphen. Also hat der Punkt im Definitionsbereich die Koordinaten x,y, so wird der Punkt (oberhalb von dem Punkt im Definitionsbereich) auf dem Graphen die Koordinaten x,y + irgendein z haben, und dieses z berechnet sich aus der Funktion. Das war die Idee, ich hoffe ihr seid hinreichend erinnert. Nun, aus dem Gesagten ergibt sich die Parametrisierung von S, die wie folgt aussieht: Die Parametrisierung benenne ich wie immer mit dem Buchstaben phi, die Variablen der Parametrisierung sind x,y, und wie gesagt, x-Komponente der Parametrisierung ist x, y-Komponente der Parametrisierung ist y – also ich nehme den Punkt x,y und dann hebe ich den Punkt hoch. Und die Höhe, auf den ich den Punkt x,y anhebe, bestimmt sich aus der Funktion F, also 1-2/3x+1/3y. Das ist die Zuordnungsvorschrift für die Parametrisierung. Ich muss natürlich sagen, was der Definitionsbereich der Parametrisierung ist, und diesmal kann man es nicht als zwei Ungleichheiten schreiben, „x ist in den Grenzen, und y ist in den anderen Grenzen“, das geht so nicht. Also wir müssen da ein bisschen komplizierter vorgehen (also das Paar x,y befindet sich in Ω). So, und somit ist die Aufgabe behandelt. Ich markiere: Das ist die gesuchte Parametrisierung vom Flächenstück S. Die Aufgabe ist nicht sehr aufwändig, das ging schnell und sieht sehr einfach aus. Nun kommt ein kleiner Zusatz, um sicherzustellen, dass ihr diesen Stoff verstanden habt. Ich stelle euch eine ähnliche Aufgabe und gebe euch die Möglichkeit, sie zu lösen, und dann schreiben wir die Musterlösung da hin. Ich hoffe, das ist sehr willkommen als Übung. Bevor ich da mit der neuen Übungsaufgabe anfange, möchte ich erst noch zu der Fläche was sagen. Die Aufgabe, die wir gerade behandelt haben, kann auch folgendermaßen gestellt werden, man kann das auch so schreiben: Die Fläche S ist gegeben durch folgende Gleichungen oder Ungleichungen. Also, man kann die Fläche S nicht verbal, wie ich das da oben gemacht habe, sondern formal in den Koordinaten beschreiben. Und das ginge so: S hat folgende Gestalt: z=1-2/3x+1/3y und x2+y2≤1. Das kann als Aufgabe dastehen, also „die Fläche S ist gegeben durch...“, da kommen die Zahlen, und die Aufgabe ist: Parametrisiere diese Fläche. Die Parametrisierung steht hier. Nun wollen wir sehen, wie die Parametrisierung durch die vorgegebene Formel entsteht. Also als 1. steht eine Gleichung, die sowohl z als auch x,y enthält, und diese Gleichung kann man als Funktionsvorschrift auffassen (z = eine Funktion von x,y), und sie dann in die 3. Komponente der Parametrisierung hineinquetschen. Und dann schreibt man in den 1. 2 Komponenten der Parametrisierung x,y, und dann ist die Formel fertig. Alles, was nach dieser Gleichung mit z steht, enthält nicht explizit die Koordinate z. Also alles, was da weiter steht, hat nur mit x,y zu tun. Man nimmt dann diese Gleichungen oder Ungleichungen mit x,y und lagert sie in den Definitionsbereich der Parametrisierung ein. Verzeihung, ich habe da Ω weggewischt, aber das werde ich noch ergänzen. Also: Ω besteht aus den Punkten x,y in R2, sodass x2+y2≤1 ist. So ist es vollständig. Alles, was nach dem Komma steht, enthält nicht explizit z; man nimmt das alles und schiebt das in den Definitionsbereich Ω ab. Und so kann man ohne jede Veranschaulichung die Parametrisierung einer solchen Fläche sofort hinschreiben, auch wenn man nicht so richtig versteht, wie Ω aussieht und wie die Fläche aussieht. Aber formal funktioniert das häufig, wenn man die Flächenbeschreibung in dieser Form hat. Um diese Vorgehensweise zu üben, stelle ich euch eine Aufgabe. Ich beschreibe eine Fläche in ganz ähnlichen Koordinaten auf diese Art und Weise wie die hier auf der Tafel, und die Aufgabe an euch ist eben, die Fläche zu parametrisieren. Na gut, was habe ich mir da überlegt? Parametrisiere die Fläche (ich nenne sie F, sie besteht aus den Punkten x,y,z im dreidimensionalen Raum), die die folgenden Gleichungen und Ungleichungen erfüllt. Ich sage mal x2+y2=1/z-1, und sage ich mal weiter: x ist zwischen -1 und 2 und y ist zwischen -x und 2-x2. Nun bitte, wenn du Lust und Zeit hast, auf die Pausetaste drücken und bitte diese Fläche parametrisieren. Schreibe die Parametrisierung hin, indem du die Technik verwendest, die ich gerade erläutert habe. Also Parametrisierung einer Fläche als Graph einer Funktion. Ich freue mich für dich, wenn du dir Zeit genommen hast. Nun schreibe ich die Musterlösung an die Tafel, und es ist ja sehr, sehr einfach. Was soll man denn machen? Die Parametrisierung sieht erst mal so aus, phi(x,y)=, weil wir das als Graph einer Funktion auffassen. Dann ist die x-Komponente der Parametrisierung x, y-Komponente der Parametrisierung ist y, nun die z-Komponente: Ich habe es absichtlich so gemacht, dass die erste Gleichung die z-Koordinate enthält; sie ist nicht explizit nach z aufgelöst. Also hier müssen wir noch ein bisschen arbeiten, wisst ihr, wir müssen diese Gleichungen nach z auflösen. Das mache ich mit der Wischmethode. 1 schiebe ich auf die linke Seite, und dann bekomme ich 1 + das ganze Zeug. Und dann multipliziere ich alles mit z und teile mit dem Ausdruck, der auf der linken Seite steht, und insgesamt ergibt sich Folgendes: z=1/(1+x2+y2). Das ist die Form, die uns besser passt, die uns eigentlich passt. Also die z-Komponente der Parametrisierung lautet 1/diese Klammer, (1+x2+y2). So. das ist die Parametrisierung, und dann müssen wir noch sagen, was der Definitionsbereich der Parametrisierung ist. Es ist sehr einfach. Den Definitionsbereich der Parametrisierung Ω (nenne ich gerne Ω, ist einer meiner Lieblingsbuchstaben) besteht aus den Paaren x,y, die einfach nur die beiden Ungleichungen erfüllen. Also, ohne über die Ungleichungen nachzudenken, schieben wir einfach mal diese Ungleichungen in den Definitionsbereich Ω ab und basta. Gut, das ist die Parametrisierung. Also dies ist die Zuordnungsvorschrift für die Parametrisierung, das ist der Definitionsbereich der Parameter der Parametrisierung. Das hat man alles gemacht, ohne sich zu überlegen, wie die Fläche aussehen soll. Um zu wissen, wie die Fläche aussehen soll, muss man ein bisschen mehr arbeiten, wisst ihr. Und ich empfehle euch als zweite Übungsaufgabe sozusagen in diesem Teil: Überlegt euch, wie diese Fläche aussieht. Damit ihr nicht einsam vor euch hinkämpft, deute ich euch an, wie das alles so geartet ist. Also in der x-z-Ebene hat man eine solche Kurve mit der Gleichung z=1/(1+x2), sieht so aus. Sie klingt ab gegen ∞ und hat dann den Hochpunkt bei 1. Wenn man diese Kurve um die z-Achse rotiert, dann bekommt man genau diese Fläche. Überlegt euch, warum da y2 hinzukommt, das ist eine interessante Frage. So wird diese Fläche aussehen, und dreidimensional will ich sie gar nicht zeichnen, das ist mir ziemlich klar, wie sie aussehen wird. Definitionsbereich, wenn ihr das Thema '2-fache Integrale' behandelt habt, dann könnt ihr aus dem Stegreif solche Definitionsbereiche veranschaulichen. Also für x hat man mittlerweile von -1 bis 2, und bei y hat man unten die Beschränkung durch die Funktion -x, sie hat einen solchen Graphen, und oben hat man die Beschränkung 2-x2, so. Also das ist die Parabel, mit den Zweigen nach unten, nach oben um 2 verschoben. Das ist also bei -1, das ist bei 2, das ist 2, und hier hat man -2; und das ist Ω. Das ist ziemlich kompliziert, das Flächenstück, das wir haben. Also 1. drehen wir diese Blöcke um die z-Achse, und dann bekommen wir die Fläche, und diese Fläche betrachten wir nicht über der gesamten x-y-Ebene, sondern wir betrachten das nur oberhalb des schraffierten Teils der x-y-Ebene (der schraffierte Teil ist Ω). Wir betrachten diese Glocke, also stellt euch vor, der Stift ist die z-Achse, und die Glocke dreht sich um diesen Stift. Daraus entsteht eine Fläche, und man betrachtet nur den Teil dieser Fläche, der sich oberhalb vom schraffierten Bereich Ω in der x-y-Ebene befindet. Und das wird die Fläche sein, die diese Parametrisierung hat. Gut, ich hoffe, ihr habt viel gelernt über die Parametrisierung von Flächen und die Veranschaulichung von Flächen, und in den nächsten Beispielen will ich die Parametrisierung von Rotationsflächen extra behandeln. Bis gleich!

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