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Transkript Offene und abgeschlossene Mengen - Einführung

Hallo! In diesem Beitrag wollen wir uns mit topologischen Grundbegriffen beschäftigen, wie Offenheit, Abgeschlossenheit, Randpunkte und so weiter. Das ist wichtig für den Anfang. Ja und wie wollen wir uns denn dem Begriff der Offenheit oder Abgeschlossenheit nähern? Am besten, wir zeichnen ein Bildchen ein und versuchen die Dinge erst einmal anschaulich intuitiv zu verstehen. Ich habe dann in der zweidimensionalen Ebene, in der gewohnten x-y-Ebene, so eine Pfütze. Das wird eine Menge sein. Gut. Ich schraffiere die Menge ganz schön. Und die Menge soll auch einen Namen haben. Wir nennen die Menge M. Umgangssprachlich ist völlig klar, was Rand der Menge M ist. Das sind eben Randpunkte. Dazu gibt es nicht viel zu sagen vorerst. Ich will erst mal zeichnen. Das, was ich rot markiere, das ist Rand der Menge. Also umgangssprachliche und mathematische Begriffe fallen in dieser Situation zusammen. Rot ist der Rand der Menge M eingezeichnet. Und leider reicht es nicht für Mathematik. Das anschauliche intuitive Verständnis ist für Mathematik nicht ausreichend. Der Begriff des Randpunktes ist sehr wichtig. Den wollen wir uns genau definieren. Und bevor wir das genau machen, wollen wir das wieder über Anschaulichkeit versuchen. So, ich nehme hier einen Randpunkt. Der Punkt, ganz groß markiert, ist am Rand. Und wir machen ein kleines Experiment. Wir zeichnen eine Kugel um den Randpunkt hier herum, eine Kreisscheibe. Und wir sehen, dass diese Kreisscheibe sowohl die Punkte enthält, die zur Menge M gehören, als auch die Punkte, die nicht zur Menge M gehören. Und nun versuchen wir, den Radius der Kreisscheibe zu verkleinern. Wir ziehen die Kreisscheibe zusammen. Wir machen den Radius noch kleiner. Und die Beobachtung ist: Egal, wie klein wir die Kugel nehmen, sie wird immer die Punkte enthalten, die zu M gehören und immer die zugleich die Punkte enthalten, die nicht zu M gehören. Ja, das ist die entscheidende Eigenschaft des Randpunktes. Diese Eigenschaft wollen wir als Definition des Randpunktes verwenden. Und wir wollen uns klar machen, dass diese Eigenschaft nur die Randpunkte besitzen. Nehmen wir zum Beispiel einen Punkt, der nicht am Rand liegt (dieser). Der rote Punkt, den ich hier markiert habe, der liegt zwar nah am Rand, aber nicht ganz am Rand. Und es gibt klar eine Kugel mit dem Mittelpunkt um den roten Punkt, die sowohl die Punkte aus der Menge M enthält, als auch die Punkte enthält, die nicht zur Menge M gehören. Das geht, genauso wie am Randpunkt. Aber, wenn wir den Radius verkleinern, dann werden wir da hinreichend klein, so klein, dass die Kugel um den Punkt ganz in der Menge M enthalten ist. Mit einem Randpunkt kann so etwas nicht passieren. Und die Version des Randpunktes mit Kugel, die ist einzigartig. Die ist charakteristisch für den Randpunkt. Gut. Und an dieser Stelle sind wir reif, eine präzise Definition eines Randpunktes zu geben. Wir haben das Ganze auf der Tafel gemacht. Die Tafel ist ja bekanntlich zweidimensional. Aber es geht genauso in beliebiger Dimension. In Analysis 2 sind wir an der 2. und 3. Dimension interessiert. Aber es geht ja halt auch in der 1. Dimension und in der 10-ten. Und deswegen schreiben wir hier Definition für die n-te Dimension. Und wen der Buchstabe n in der Dimension stört, der soll denken, n=2 oder n=3. Mehr wird nicht vorkommen in diesem Kurs. Definition: Ein Punkt x0, das ist ein Punkt aus Rn. Jetzt nehme ich einfach einen besseren Stift. Ein Punkt x0 aus Rn heißt Randpunkt der Menge M. Ich schreibe hier der Menge M. Gemeint ist es so: Wir haben eine fixierte Menge M und einen fixierten Punkt x0. Wir wollen bestimmen, ob der Punkt x0 ein Randpunkt ist. Ein Punkt x0 heißt dann Punkt der Menge M, falls jede Kugel, ich betone jede - es ist wichtig, dass diese Eigenschaft für jede Kugel gilt -  um x0 - und wir wollen auch betonen: jede noch so kleine Kugel. Wir haben ja in unserem Experiment den Radius immer kleiner gemacht. Egal, wie klein die Kugel war, sie hat immer die Punkte aus der Menge M und zugleich die Punkte außerhalb der Menge M enthalten - falls jede noch so kleine Kugel um x0 sowohl die Punkte aus M als auch die Punkte aus dem Komplement Rn\M enthält. Also Komplement der Menge M sind einfach nur alle Punkte, die nicht zur Menge M gehören. Das wird so bezeichnet: Rn\M. Gut. Das ist unsere Definition vom Randpunkt. Okay. Und wenn wir schon diesen Begriff festgehalten haben, dann können wir Offenheit und Abgeschlossenheit definieren. Und das geht dann sehr einfach. So. (Mal schauen, ob wir nach unserem Plan gehen. Ja.) Aber vielleicht will ich noch kurz erwähnen: Wie verhalten sich denn die Randpunkte zu der Menge M? Mit dieser Definition ist nicht gesagt, ob der Punkt x0 in der Menge M enthalten sein soll oder nicht. Also es gibt Mengen, die ihre Randpunkte enthalten. Es gibt Mengen, die ihre Randpunkte nicht enthalten. Ein Randpunkt kann in der Menge enthalten sein, muss es aber nicht. Und es gibt Mengen, die einige ihrer Randpunkte enthalten, und andere nicht. Es kann vieles passieren. Also Randpunkte sind nicht irgendwie festgenagelt. Sie können zur Menge gehören, sie können auch nicht zur Menge gehören. Nun, wenn wir das gesagt haben, kommen wir bereits zur bequemen Definition der Offenheit und Abgeschlossenheit. Und das ist denkbar einfach. Also wenn eine Menge alle ihre Randpunkte enthält, so nennt man sie abgeschlossen. Wenn die Menge keinen ihrer Randpunkte enthält, so nennt man sie offen. Ja, das war es. Das halten wir erst mal noch fest. Also Definition: Eine Menge A, Teilmenge von Rn, heißt abgeschlossen, falls sie alle ihre Randpunkte enthält. Ja, das ist der 1. Punkt der Definition. Der 2. Punkt der Definition: Eine Menge heißt offen, falls sie keinen ihrer Randpunkte enthält. Eine Menge O heißt offen, falls sie keinen ihrer Randpunkte enthält. Also wir sehen, der Begriff Randpunkt ist hier zentral. Abgeschlossene Mengen enthalten alle ihre Randpunkte, und offene Mengen enthalten keinen von ihren Randpunkten. Gut. Nun haben wir auch das. Und wir wollen kurz ein paar leichte Beispiele besprechen und einige Konventionen, die im Zusammenhang mit diesen Begriffen bestehen. Gut. Die Konventionen betreffen die merkwürdige leere Menge, die uns oft ärgert. Also das, was wir hier besprochen haben, ist nicht wirklich auf die leere Menge anwendbar. Bezüglich der leeren Menge legt man deswegen fest, ob sie offen oder abgeschlossen ist, anscheinend willkürlich, scheinbar willkürlich. So. Und mit der leeren Menge ist auch der ganze Raum verwandt. Denn der ganze Raum ist Komplement der leeren Menge. Und bezüglich dieser 2 Mengen, der leeren Menge und des ganzen Raumes, gibt es Konventionen. Leere Menge ist sowohl offen als auch abgeschlossen. Der ganze Raum ist sowohl offen als auch abgeschlossen. Das klingt absurd, aber man kann es logisch zurechtlegen. Das wollen wir aber nicht machen, das würde uns zu weit führen. Lernt einfach nur auswendig: Leere Menge ist sowohl offen als auch abgeschlossen. Der ganze Raum ist sowohl offen als auch abgeschlossen. Konvention: Die leere Menge - bekanntlich wird die leere Menge so bezeichnet: Kreis mit / - ist offen und abgeschlossen zugleich. Und dasselbe betrifft den ganzen Raum. Ich schreibe es trotzdem aus. Der ganze Raum Rn, egal in welcher Dimension (also wir leben aber in Dimension n=2 oder n=3 in Analysis 2), ist offen und abgeschlossen zugleich.

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1 Kommentar
  1. Default

    Die relativ offen Mengen wurden leider nicht erklärt, genau das, wo ich meine Verständnisschwierigkeiten haben :-(

    Von Lesinka, vor etwa 6 Jahren