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Transkript Offen, abgeschlossen, beschränkt, kompakt - Aufgabe 2 Teil 1

Noch ein paar Beispiele zu topologischen Grundbegriffen: Ich habe hier 4 Mengen angeschrieben, und die alle wollen wir veranschaulichen, und auf Offenheit abgeschlossene Beschränktheit und Kompaktheit untersuchen. Ja, und auch die Ränder davon ausrechnen. Also, rauf und runter deklinieren. Wir machen alles, was nur geht bei diesem Thema. Ja, die Menge A: wir sehen wieder eine Kreisgleichung mit dem Mittelpunkt 3/3 und r ebenfalls 3. Das haben wir schon im ersten Beispiel besprochen; und dann gibt es noch eine bestimmte Bedingung an die Koordinate z. Das wollen wir alles uns anschauen. Gut: (x-3)2+(y-3)2=9, das ist eine Kreislinie auf der xy-Ebene, das ist x, das ist y, mit dem Mittelpunkt 3/3. Hier ist 3 auf der x-Achse, hier ist 3 auf der y-Achse. Hier ist der Mittelpunkt, und der Radius ist ebenfalls 3, also 32 ist 9. Hier ist die Figur, die durch die Gleichung mit xy beschrieben wird. Das ist eine Kreislinie. Dann: Was bedeutet nun z den Betrag nach <3? Wir erinnern uns: Die Definition des Betrages, das war Standardthema in Analysis 1, will das nicht viel zu ausführlich machen. Also: IzI<3, das ist gleichbedeutend damit, dass z sich zwischen -3 und 3 befindet. Das heißt: wenn wir keine Bedingung an die Koordinate z hätten, dann würde die Menge A so aussehen: Wir nehmen dann die Kreislinie in der xy-Ebene und bewegen sie herauf und herunter, parallel zur z-Achse. Die Spur, die die Kreislinie hinterlässt, wird dann die Menge A sein, ohne Bedingungen an z. Die Bedingungen an z sagen, dass die Koordinate z zwischen -3 und 3 sich befindet, also es sind nur die Bewegungen zugelassen, die zwischen -3 und 3 relativ der z-Achse gehen. Auf diese Weise erhalten wir folgendes Gebilde: wir erhalten einen Zylindermantel. Die mittlere Kreislinie will ich wegwischen, die würde uns das Bild nur verwirren, das war nur Hilfskonstruktion. Dann: die z-Achse sieht man ja nicht ganz, die z-Achse sieht man nur bis hierher.  Und somit ist die Menge A veranschaulicht.Das ist 3 auf der z-Achse, das ist -3 auf der z-Achse, diesen dicken Punkt brauchen wir nicht mehr. Das ist die Menge A. Also: die Menge A ist Zylindermantel, und der obere und der untere Rand gehören zu diesem Zylindermantel nicht, deswegen habe ich sie gestrichen markiert. Das ist die Menge A, und was der Rand der Menge A ist, das ist ja ähnlich wie in dem obigen Beitrag. So, da haben wir eine schwebende Kreisscheibe im dreidimensionalen Raum betrachtet, und da haben wir den Rand diskutiert von dieser Menge. Hier ist es ähnlich, also Rand der Menge A: Erst mal alle Punkte, die zur Menge A gehören, und zusätzlich diese gestrichen markierten Randpunkte. Das ist auch der Rand. In diesem Fall ist der Rand der Menge A wieder größer als die Menge A selbst.  Nun halten wir es fest: also, Rand der Menge A={(x,y,z)3 I mit folgenden Bedingungen: (x-3)2+(y-3)2=9, das ist Zylindermantel. Und jetzt kommt die Bedingung an z: z ist zwischen -3 und 3. Man könnte es kürzer schreiben: z, dem Betrage nach, ist kleiner gleich 3, das wäre dasselbe. Es ist egal, was wir wählen, also, Hauptsache, man kommt klar damit. Das ist der Rand der Menge A. Gut, nun topologische Begriffe: die Menge A geschnitten mit dem Rand ist nicht leer. Es gibt Randpunkte, die zur Menge A gehören einerseits, das heißt: die Menge A ist nicht offen. Andererseits: nicht alle Randpunkte sind in der Menge A enthalten. Die Inklusion "Rand enthalten in A" geht nicht. Also, diese roten Randpunkte sind in der Menge A nicht enthalten. Das heißt: die Menge A ist nicht abgeschlossen. Gut, die Menge A ist weder offen, noch abgeschlossen. Außerdem: wir sehen, dass man die Menge A in eine große Kugel von ähnlichem Radius einsperren kann. Das bedeutet: die Menge A ist beschränkt. Dann gibt es zu der Menge A nicht mehr zu sagen. Die Menge A ist beschränkt, das werde ich nicht hinschreiben, das sieht man. Nach der Menge A kommt bekanntlich die Menge B, die wollen wir auch schnell veranschaulichen, und da ist Veranschaulichen ein bisschen subtiler. Wir sehen: x2+y2=irgendwas, das heißt: wir haben wieder mit Kreisen zu tun. Aber auf der rechten Seite steht z2, nicht eine feste Zahl zum Quadrat, sondern z2. Das heißt: der Radius ist nicht ganz so einfach. Der Radius ist ja keine feste Zahl. Gut, wir wollen die Menge B veranschaulichen. Wir stellen uns vor, dass z bei einem Bestimmten Wert z0 fixiert ist, also: fixiere z=z0. Wir können denken: z0 ist 1, oder z0 ist 10. z0 ist irgendeine feste Zahl. Dann ist x2+y2=z02, das ist ein Kreis. Kreis mit dem Mittelsprung im Ursprung und dem Radius z0. Jetzt wollen wir z bewegen, jetzt wollen wir z0 ändern. z0 ist nicht mehr fixiert. Das heißt: Radius wird größer, wenn z größer wird, Radius wird kleiner, wenn z kleiner wird. Nun wollen wir sehen, was das in 3 Dimensionen bedeutet. Also, nun haben wir unsere Achsen, und wenn z=1 ist (das ist hier; das ist z-Achse, x, y), so haben wir einen Kreis mir dem Radius 1 um die z-Achse. Wenn z=1/2 ist, dann haben wir einen Kreis mit dem Radius 1/2 um die z-Achse. Wenn z=2 ist, dann haben wir einen Kreis mit dem Radius 2 um die z-Achse, und so weiter. Je höher die gehen, desto größer sind die Kreise, und wenn wir die Kreise ganz dynamisch bewegen, dann hinterlassen sie eine Spur im dreidimensionalen Raum. Diese Spur ist klar Kegel. Dasselbe passiert unten. Ich habe hier keine Beschränkungen bezüglich der z-Koordinate zugelassen bei der Beschreibung der Menge B, das heißt: z kann beliebig groß werden. Das heißt: Kegel ist nach oben unbeschränkt. Wir haben ungefähr ein solches Bild: das ist so ein Kegel. Die Kreise deute ich noch einmal an. Der Punkt ist: der Kegel ist ja unbeschränkt. Ich habe sozusagen diesen unendlichen Kegel abgeknabbert, und das deute ich mit diesen unregelmäßigen Konturen an. Es ist ja unendlicher Kegel nach oben und nach unten, und hier sind die Achsen z, x, y. Das ist die Menge B. Die Diskussion der Randpunkte ist straight forward. Bitte schaut euch den ersten Beitrag mit der Theorie und dem Beispiel an, da ist die Diskussion der Randpunkte genau dieselbe, und man erkennt, dass die Menge B nur aus den Randpunkten besteht. Also: ?B=B, und wenn alle Randpunkte der Menge B in der Menge B enthalten sind, dann ist die Menge abgeschlossen, nach der Definition. Also, insbesondere: Alle Randpunkte der Menge B ist in B enthalten, das heißt: B ist abgeschlossen. Da die z-Koordinate beliebig groß werden darf, ist die Menge B nicht beschränkt. Zur Offenheit: Alle Randpunkte gehören zu der Menge B, das heißt: die Menge B ist nicht offen. Und damit die Menge offen ist, darf sie keine ihrer Randpunkte enthalten. o. k., das war die Menge B. Nun die Menge C. Um die Menge C zu veranschaulichen, muss man einiges wissen, ich erinnere. Ich erinnere eine Grundtatsache aus der analytischen Geometrie. Vielleicht haben einige das in der Schule gemacht, wenn das Leistungskurs gewesen war. Wer das nicht gesehen hat, der sieht das gleich jetzt. Erinnerung: x2/a2+y2/b2+z2/c2=1, wobei a, b, c feste Zahlen sind, mit a, b, c feste positive Parameter. Das ist eine Ellipse - genau genommen nicht Ellipse, sondern Ellipsoid. Das ist Ellipsoid-Oberfläche, die x-Achse bei a und -a schneidet, y-Achse bei b und -b, und z-Achse bei c und -c schneidet. Wir können anhand der Gleichung für die Menge C sehen, dass Parameter a ist gleich 1. Zu der Menge C: Parameter a=1. Parameter b ist nicht 4, sondern 2, also b2 steht hier, ja? Also: wenn b2=4 ist, dann ist b=2. Und Parameter c ist wieder 1. Außerdem: da wir echte Ungleichung haben, <1, haben wir nicht Oberfläche des Ellipsoids, sondern das Gebiet, das von dem Ellipsoid umfangen wird, umschlossen wird. Gut, na also. Hier haben wir unsere Achsen wieder. Die Menge C ist ein Ellipsoid, das die x-Achse bei 1 und -1 schneidet, die y-Achse bei 2 und -2, und die z-Achse bei 1 und -1 schneidet. Und dann versuchen wir, diese Figur zu veranschaulichen: Das ist erst mal Schnitt mit der xy-Ebene, so ungefähr. Als nächstes erst mal als Schnitt mit der xz-Ebene, das ist ein Kreis. Daraus können wir schon Ellipsoid wieder herstellen. So wird's aussehen. o. k., das ist C, ja? Und da wir eine echte Ungleichung hier haben, <1, das heißt: die Oberfläche vom Ellipsoid gehört zu der Menge C nicht dazu. Das kann man aber schlecht einzeichnen. Gut, der Rand der Menge C, das ist in diesem Fall dasselbe wie... Der mathematische Randbegriff stimmt mit dem anschaulichen Randbegriff überein, der Rand der Menge C ist einfach die Oberfläche der Ellipse C. Also, Rand der Menge C sind Punkte (x,y,z), die der Gleichung x2+y2/4+z2=1 genügen, das ist der Rand. Keiner der Randpunkte gehört zu der Menge C, das heißt: Schnitt des Randes mit der Menge C ist leer. Das heißt: die Menge C ist offen, und die Menge C ist auch nicht abgeschlossen. Die Menge D unterscheidet sich von der Menge C nur dadurch, dass der Rand des Ellipsoids zu der Menge D gehört, und das macht dann die Menge D abgeschlossen.

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1 Kommentar
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    @DonQuijote: Wenn mich nicht alles täuscht, sollte die graphische Darstellung so aussehen, dass die Kreisscheibe rund um den Mittelpunkt immer kleiner wird für z-->0, jedoch im negativen Bereich (von den z-Achse aus betrachtet) auch Werte annimmt. Den selbstverständlich kannst du auch negative Werte für z einsetzten. Dementsprechend groß oder klein wird dann die Kreisscheibe. Stell dir das ganze als eine Art unendlich große Sanduhr vor, deren obere Hälfte an der x-y-Achse gespiegelt wurde.

    Von Jonas Kapitza, vor etwa 2 Jahren