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Transkript Oberflächenintegrale von Vektorfeldern – Theorie

Wir wollen uns die Oberflächenintegrale von Vektorfeldern anschauen. Allererste Grundlagen, Bemerkungen zur Rechentechnik und physikalische Interpretation. Erst mal die Terminologie: Oberflächenintegrale von Vektorfeldern, das ist dasselbe, wie vektorielle Oberflächenintegrale, das ist dasselbe, wie Flussintegrale. Also 3 verschiedene Namen bezeichnen denselben Integralbegriff. Was kommt da alles zusammen? Erstens, wir haben eine Fläche im Raum, die ist fixiert. Fläche S zum Beispiel, hier. Und jedem Punkt der Fläche ist ein Vektor zugeordnet. Das soll man sich so vorstellen, dass aus jedem Punkt der Oberfläche so ein Vektor ragt. Also, das deute ich in ein paar Punkten an. Das Vektorfeld hat einmal einen Winkel zur Fläche – hier oben werden die Vektoren tangential zur Fläche; dann können sie ruhig aus einer anderen Seite der Fläche zeigen … Also, diese Zuordnung ist relativ willkürlich. Und die Gesamtheit dieser Pfeile, die aus der Fläche ragen, die nennt man ein Vektorfeld, das auf der Fläche S definiert ist. Es ist möglich, ein Vektorfeld über die Fläche zu integrieren. Und wir werden diese Integration besprechen – erst mal die formalen Sachen, dann die inhaltliche Bedeutung. Also, die Fläche S wird wie gewohnt durch eine Parametrisierung Φ beschrieben. Die Parametrisierung Φ ist definiert auf einem Bereich Ω. Dann haben wir das Vektorfeld F^->, das heißt, jedem Punkt der Fläche wird ein Vektor zugeordnet. Und man kann das Vektorfeld über die Fläche integrieren. Das zugehörige Integral heißt Oberflächenintegral von F^-> über S oder auch Fluss des Vektorfeldes F^-> durch die Fläche S. Wir werden in diesem Beitrag erläutern, was das mit Flüssen zu tun hat. Und das Integral wird wie folgt berechnet: Man leitet die Parametrisierung der Fläche partiell ab nach den Parametern und berechnet das Kreuzprodukt von den partiellen Ableitungen. Dann wertet man das Vektorfeld auf der Parametrisierung aus und bildet das Skalarprodukt von beiden Vektoren. Dann wird dieses Skalarprodukt über den Parameterbereich integriert. Und das ist die Rechenformel für das vektorielle Oberflächenintegral. Diese Formel ist viel zu formal. Ich werde nicht sagen, wie sie zustande kommt, ich werde aber gegen Ende des Beitrags sagen, wie man diese Oberflächenintegrale versteht. Ich sage die ganze Zeit „Flussintegrale“ – die versteht man als Fluss. Und Ausführliches gibt es später dazu. Also, im blauen Rahmen ist die Rechenformel. Mit der Rechenformel wollen wir permanent arbeiten. Die soll man am besten auswendig lernen. Gut, nun die Notationsvarianten: Bei der Vektoranalysis gibt es leider keine einheitliche Notation. Je nachdem, wie man zählt, gibt es ja 6 Integralbegriffe, sage ich mal so. (Man kann es auch anders zählen.) Und für jeden Integralbegriff gibt es 2 bis 3 verschiedene Namen – in diesem Fall haben wir 3 verschiedene Namen – und 2, 3, 4 verschiedene Bezeichnungen. Bei vektoriellen Oberflächenintegralen ist es besonders schlimm. Also, die Bezeichnungen für Flussintegrale streuen komplett auseinander. Und dazu brauche ich die ganze Tafel, um diese Armee von verschiedenen Bezeichnungen desselben Integralbegriffs anzugeben. Also, als Nächstes besprechen wir die Notationsvarianten. Und die schlechte Nachricht ist, dass alle Notationsvarianten, die ich hier anschreibe, gebräuchlich sind. In der Literatur sieht man sie immer wieder, und alle. Deswegen wollen wir uns an sie gewöhnen. Notationsvarianten: Ich habe es folgendermaßen bezeichnet: ∫∫F^->•dO^->[über S]. Also, das Oberflächenintegral des Vektorfeldes F^-> über die Fläche S. Und wenn ihr das Theorievideo zu Oberflächenintegralen von Funktionen gesehen habt, dann gibt es Parallelen. Ich habe dort erläutert: dO^-> ist ein formaler Ausdruck; das „O“ steht für das deutsche Wort „Oberfläche“, es ist gebunden an den deutschsprachigen Raum. Im englischsprachigen Raum sieht man oft auch den Buchstaben „A“ – also, „A“ bedeutet „area“, das englische Wort für „Fläche“. Und manchmal schreibt man den Pfeil, manchmal schreibt man den Pfeil auch nicht. Aber ganz oft setzt man so einen dicken Punkt dazwischen, um anzudeuten. Also, wir haben ja gesehen, dass das Oberflächenintegral dann durch ein Skalarprodukt berechnet wird. Das war die Rechenformel. Um dieses Skalarprodukt anzudeuten, schreibt man einen dicken Punkt dazwischen. So, das ist noch nicht alles. Wenn über die Fläche S integriert wird, dann schreibt man nicht dA^-> oder dO^->, sondern dS^->; man schreibt noch einmal den Namen der Fläche. Und mit Pfeil oder ohne Pfeil. Hier steht die erste Verwechslung: Also, dS^->, so haben wir das Linienstreckenelement für Kurvenintegrale bezeichnet. Das ist gefährlich. Wenn wir das verwenden, dann laufen wir Gefahr, dass wir das mit Linienintegralen durcheinanderbringen. Insbesondere, wenn wir nicht 2 Integralzeichen schreiben, sondern ein Integralzeichen schreiben. Das ist auch möglich. Manchmal schreibt man nur ein Integralzeichen. Das bedeutet, das ist alles dasselbe, mit einem Integralzeichen oder mit 2 Integralzeichen. Bloß hier ist es gefährlich; hier laufen wir Gefahr, es mit einem Kurvenintegral zu verwechseln. Also, man muss immer genau schauen, auf den Zusammenhang, auf den Kontext. Das ist aber noch nicht alles. Es ist üblich, Folgendes zu machen: Wenn ich eine Oberfläche habe … so, Oberfläche S … und man zeichnet dort das Einheitsnormalenfeld, also ein Vektorfeld, das immer senkrecht auf der Oberfläche steht, und nun noch ganz wichtig, immer die Länge 1 hat. Das ist ein Vektorfeld n^->, mit der Eigenschaft, dass n^-> dem Betrage nach immer 1 ist. Wenn man dieses Vektorfeld hat, dann kann man dieses Vektorfeld in die Notation hinein beziehen. Also: ist n^-> das Einheitsnormalenfeld … (Also, „Normalenfeld“, das heißt, es steht senkrecht. „Einheitsnormalenfeld“, das heißt, es hat die Länge 1.) … Einheitsnormalenfeld auf S, so schreibt man: Oberflächenintegral [Skalarprodukt] F^-> × Einheitsnormalenfeld dO (Und dO jetzt nicht vektoriell, sondern skalar.) über die Fläche S. Und hier haben wir dieselbe Reihe von Notationsvarianten. Man kann es auch so schreiben: F^->, n^-> [Skalarprodukt] dA, für englisch „area“. Man kann auch schreiben: ∫∫[über S]F^->[Skalarprodukt mit]n^->dS. Also, das ist dasselbe wie hier. Das ist alles immer dasselbe Flussintegral; Fluss von F^-> durch S - Fluss des Vektorfeldes F^-> durch die Fläche S. Also, wir haben hier 3 Varianten mit 2 Integralzeichen, 3 Varianten mit einem Integralzeichen. Dann, mit dem Normalenfeld, haben wir jetzt 3 Varianten mit einem Integralzeichen. Das kann man alles natürlich mit einem Integralzeichen machen. (Also, ich habe jetzt wie viele? 4×3 macht … Ich habe jetzt 12 Notationsvarianten.) Es wird noch schlimmer. Also, man schreibt eigentlich das Skalarprodukt nicht in eckigen Klammern, sondern man schreibt es mit dem Punkt. Und das heißt, man kann es so schreiben: F^->•n^->.  Man kann das wieder mit doppeltem Integralzeichen oder mit einfachem Integralzeichen schreiben. Man kann dO schreiben; man kann dA schreiben; man kann dS schreiben. Und man kann das Skalarprodukt mit eckigen Klammern schreiben; man kann das Skalarprodukt mit einem Punkt schreiben. Das ist alles dasselbe. Da kommen wir schon auf mindestens 15 Bezeichnungen für dasselbe Integral. Das ist nicht alles, es gibt noch mehr Notationsvarianten. Dazu brauche ich wieder die ganze Tafel. Also, Leute, es tut mir sehr leid, aber es ist schlimm. Die Notationen streuen derart durcheinander. Wenn man physikalische oder ingenieurwissenschaftliche Literatur liest, dann sieht man diese Sachen. Und für den Anfänger besteht gerade die Schwierigkeit darin, zu verstehen, was man überhaupt mit diesen Integralzeichen meint. Also, es gibt so meiner Lesart nach 6 Integralbegriffe in der Vektoranalysis und 2, 3 Dutzend verschiedene Integralzeichen. Man muss damit leben. Gut, weitere Notationsvarianten: Vektorfelder sind sehr oft explizit gegeben, und mit kartesischen Koordinaten. Also, das Vektorfeld bildet von der Fläche nach R³ ab. So, es hat entsprechend 3 Komponenten: F1, F2, F3 und das alles hängt von Koordinaten ab, meinetwegen von kartesischen Koordinaten. Und anknüpfend daran gibt es noch weitere Notationsvarianten. Also, man schreibt das Flussintegral des Feldes F^-> durch die Oberfläche S so: Erst mal das Doppelintegralzeichen oder das Einfachintegralzeichen, dann schreibt man Folgendes: F1(x,y,z)dy. Man schreibt es so: ∫∫ (oder wie gesagt auch ∫) F1(x,y,z)dydz+F2(x,y,z)dzdx+F3(x,y,z)dxdy. Man kann es so schreiben und man kann es noch komischer schreiben. Praktisch dasselbe mit einem kleinen Unterschied – der kleine Unterschied kommt gleich: Zwischen diesen Differenzialen schreibt man so ein komisches Zeichen, so ein Hut, und dieser Hut heißt „Wedge“. Das ist ein englisches Wort. Man schreibt „Wedge“ so: dz∧dx+F3(x,y,z). So, wenn ihr so etwas seht, dann seid bitte nicht erschrocken. Das ist einfach nur der Fluss des Vektorfeldes F^-> durch die Fläche S; einfach nur wie ein vektorielles Integral über S. Und das vielleicht Unbegreifliche für den Anfänger beim ersten Mal ist, dass es wirklich wichtig ist, dass hier die dydz steht. Also, nicht dxdy, weil sie alphabetisch als Erstes kommen. Man darf hier nicht x, y schreiben und dann meinetwegen vorne bei der 3. Komponente y, z. Nein, das darf man nicht. Also, diese Buchstaben bei Differenzialen müssen so geschrieben werden, wie es hier steht. Also, eben dydz bei der 1. Komponente; bei der 2. Komponente dzdx. Eben nicht dxdz, sondern dzdx! In dieser Reihenfolge, das ist wichtig. Und warum das so ist, das hat tiefe Gründe. Ich versuche vielleicht zu sagen, woher das kommt, ohne in die Einzelheiten zu gehen. In der klassischen Vektoranalysis integriert man Vektorfelder und Funktionen über Kurven, über Flächen, über dreidimensionale Volumengebiete. Und Mathematiker sind damit nicht zufrieden. Man hat viel zu viele verschiedene Integralbegriffe. Sie wollen das vereinheitlichen. Sie wollen eine Theorie machen, sodass alle diese speziellen Integralbegriffe sich einheitlich aus dieser Theorie ergeben. Und diese hat man entwickelt: Man spricht von Integration von Differenzialformen über Mannigfaltigkeiten – was das auch immer ist. Also, wenn man Differenzialformen über Mannigfaltigkeiten integriert oder auch skalare Funktionen über Mannigfaltigkeiten integriert, entwickelt man ein bestimmtes Kalkül. Und aus diesem Kalkül folgt alles, was wir bisher gelernt haben als Spezialfall. Das ist schön, weil man eine Theorie aus einem Guss hat. Die Integration von Differenzialformen über Mannigfaltigkeiten. Und diese Notation für Flussintegrale kommt eben aus dieser Theorie. Die Integration von Differenzialformen über Mannigfaltigkeiten. Bei den Rechenregeln, die sich da ergeben, da ist diese Notation sinnvoll. Ohne die Integration von Differenzialformen über Mannigfaltigkeiten kann man überhaupt nicht klar machen, warum das alles sinnvoll ist. Deswegen ist das, was ich gesagt habe, einfach nur zur Kenntnisnahme und Information. Das kann man auch gar nicht verstehen, ohne sich in diese Theorie zu vertiefen. Aber das wollen wir gar nicht machen. Bloß: Für dieses Flussintegral gibt es eben eine solche Notationsvariante. Wenn ihr das seht, dann seid bitte nicht erschrocken. Das ist einfach nur das vektorielle Oberflächenintegral von F^-> durch S. Und diese Buchstabenfolge ist nicht willkürlich, das hat einen tiefen Sinn. Dieser tiefere Sinn erschließt sich aus der Theorie der Differenzialformen und Mannigfaltigkeiten. Und das ist Gegenstand einer eigenen Vorlesung. Das wollen wir gar nicht ansprechen. Gut. Das waren die Notationsvarianten. Und als Nächstes kommen die inhaltlichen Bemerkungen zu Oberflächenintegralen. In der Rechenformel ist ein gewisses Kreuzprodukt aufgetaucht; das Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen der Parametrisierung. Es ist sehr wichtig zu wissen, dass dieses Kreuzprodukt immer senkrecht auf der Oberfläche steht. Das ist der Gegenstand der 1. Bemerkung. Ich habe so lange über Notationsvarianten gesprochen. In diesen Videos verwende ich diese Notation hier. Nicht diese paar Dutzend Varianten, nur diese Notation hier. Das war eher für euch, damit ihr dann mit der Literatur klarkommt. Gut. Bemerkungen: 1. Der Vektor ∂Φ/∂u (Also, noch einmal, Φ(u,v), das war die Parametrisierung der Fläche S.) X ∂Φ/∂v, an der Stelle (u,v), steht senkrecht auf der Fläche S im Punkt Φ(u,v). Warum das so ist, das habe ich im Video zu skalaren Oberflächenintegralen erläutert. Es ist wichtig, dass man diesen Punkt verstanden hat. Und deswegen mache ich hier einfach nur ein Bildchen zu diesem Umstand. So verläuft meinetwegen die Fläche. Und hier ist der Punkt Φ(u,v). Das ist beispielsweise die partielle Ableitung nach u, dieser Vektor ist tangential an die Fläche S. Die Fläche heißt übrigens tatsächlich S. Die partielle Ableitung ∂Φ/∂v (nach der anderen Variable) ist auch tangential zur Fläche. Und das Kreuzprodukt aus diesen beiden Vektoren steht dann senkrecht auf der Fläche. So, bitte merkt euch dieses Bild, es ist wichtig für dieses Thema! Also, ∂Φ/∂uX∂Φ/∂v, das steht immer senkrecht auf der Fläche S. Wenn das nicht klar ist, schlagt bitte in dem Theorievideo zu skalaren Oberflächenintegralen nach, warum das so ist. 2. Dann gibt es auch so etwas wie ein vektorielles Oberflächenelement. Also, dieses Kreuzprodukt heißt Normalvektor, weil es senkrecht steht, und wenn man die Differenziale du, dv hinzuschreibt, dann bekommt man das vektorielle Oberflächenelement. Noch einmal: Der formale Ausdruck dO^->, also das Kreuzprodukt ∂Φ/∂u[Kreuz]∂Φ/∂v  - diesmal will ich die Abhängigkeit von (u,v) unterdrücken, sonst wird das alles unübersichtlich - du dv heißt das vektorielle Oberflächenelement. Und das ist leicht zu merken. Das skalare Oberflächenelement war eben die Norm von Kreuzprodukt und Normalvektor (du, dv). Unten steht das skalare Oberflächenelement, oben steht das vektorielle Oberflächenelement. Die Verwandtschaft ist klar. Dann, die 3. Bemerkung betrifft die Rechenregel. Also, wir sehen, das ist alles nicht ganz ohne. Um ein vektorielles Oberflächenintegral auszurechnen, da braucht man eine ganze Menge. Man braucht die Parametrisierung der Fläche; man muss das Kreuzprodukt ausrechnen und das dauert; und man muss integrieren. Das dauert wirklich, das werdet ihr in den Aufgaben sehen. Manchmal kann man diesen umständlichen Vorgang vermeiden. Manchmal weiß man von vorneherein, dass das Integral 0 ist und man gar nicht rechnen soll. Und diesen Spezialfall will ich euch erläutern. Und zwar ist das der Fall, wenn das Feld tangential zur Oberfläche ist. Also, noch einmal: Man hat eine bestimmte Rechenregel: Ist das Feld tangential zur Fläche S, so ist das Oberflächenintegral des Feldes über die Fläche gleich 0. Und gleich werde ich erklären, warum das so ist. Ist F^-> (das Feld) tangential zu Fläche S, so gilt: das Oberflächenintegral des Feldes F^-> über die Fläche S=0. So, wenn man weiß, dass das Feld tangential zur Oberfläche ist, dann braucht man nicht zu rechnen. Das Integral ist gleich 0. Nun kommt die Begründung. Ich erinnere euch daran, was man über Skalarprodukte weiß. Also, wenn 2 Vektoren senkrecht aufeinander stehen, dann ist ihr Skalarprodukt gleich 0. Und das wollen wir mal ausnutzen. So, Begründung zu Bemerkung Numero 3: Bekannt ist das Folgende: Wenn 2 Vektoren a^-> und b^-> senkrecht aufeinander stehen, dann folgt daraus, dass das Skalarprodukt a^-> und b^-> gleich 0 ist. Übrigens, es geht auch die Umkehrung. In die andere Richtung ist es auch richtig. Aber wir interessieren uns nicht dafür. Gut, nun haben wir unsere Oberfläche S und überall aus der Oberfläche ragt das Normalfeld ∂Φ/∂uX∂Φ/∂v. Und dann will ich gleich unser Vektorfeld ins Spiel bringen. Ich habe ja gesagt, dass das Vektorfeld tangential zur Fläche ist. Das heißt, überall aus der Fläche ragen Pfeile, aber diese Pfeile sind permanent tangential an die Fläche. So, ich hoffe, es ist plausibel geworden, dass die blauen Pfeile (das Vektorfeld F^->) tangential sind. Das ist die Voraussetzung. Und insbesondere, wenn wir das Vektorfeld F^-> aus dem Punkt zeichnen, aus dem wir auch den Normalvektor gezeichnet haben, so wird dieser Pfeil auch tangential an die Fläche sein. Und weil der Normalvektor senkrecht auf der Fläche steht, ist dieser Winkel zwischen dem Vektorfeld und dem Normalvektor ein rechter Winkel. Also, insbesondere hat man Folgendes: Das gilt für jeden Punkt. Wenn ich den roten Pfeil aus einem beliebigen Punkt zeichne, dann wird der rote Pfeil senkrecht auf dem blauen Pfeil stehen. Und das ist das, was hier wichtig ist. Also, was ich gerade bildlich angedeutet habe, das ist Folgendes: Das Normalvektorfeld ∂Φ/∂uX∂Φ/∂v steht immer senkrecht auf dem Vektorfeld F^->, und zwar ausgewertet an einem entsprechenden Punkt Φ(u,v). Also, noch einmal: Ich unterdrücke immer, wenn es möglich ist, die Abhängigkeit von Variablen, um es weniger umständlich zu machen. Der rote Pfeil ist an der Stelle (u,v) ausgewertet; der blaue Pfeil ist F^-> an der Stelle Φ(u,v). Also, wir haben das. Diese beiden Vektoren. Also, das ist der blaue Vektor und das ist der rote Vektor. Die stehen senkrecht aufeinander, man sieht es hier auf dem Bild. Und daraus folgt nach der allgemeinen Regel, dass das Skalarprodukt von den beiden Vektoren gleich 0 ist. Also, das Skalarprodukt von (∂Φ/∂uX∂Φ/∂v, F^->KringelΦ) ist 0. Nun kommen wir zum Integral. Das Integral F^-> über die Fläche S berechnet man nach der Formel: Das Skalarprodukt von F^->[Kringel]Φ mit dem Kreuzprodukt ∂Φ/∂uX∂Φ/∂v dudv. Und wenn das Vektorfeld tangential zur Fläche S ist, dann ist dieses Kreuzprodukt, wie wir uns überlegt haben, überall 0. Deswegen muss das Integral insgesamt 0 sein. Und daraus ergibt sich diese schöne Rechenregel. Ich fasse noch einmal zusammen: Wenn man weiß, dass das Vektorfeld F^-> tangential an die Fläche S ist, dann ist das Oberflächenintegral von F^-> über S gleich 0. Man braucht nicht zu rechnen. Und die Begründung ist hier. So, das ist eine schöne Rechenregel. Ich will auf diese Rechenregel noch einmal zurückkommen. Erst mal aber die physikalische Bedeutung von Oberflächenintegralen. Die vektoriellen Oberflächenintegrale nennt man auch gerne „Flussintegrale“. Und das ist nicht umsonst, weil es mit dem Fluss einer Flüssigkeit zu tun hat. Nun werde ich diesen Umstand mehr oder weniger ausführlich erläutern. Also, physikalische Interpretation: Auf dieser Seite gibt es Videos, wo ich die physikalische Bedeutung von Rotation und Divergenz erläutert habe. Hier möchte ich dasselbe Setting benutzen. Damals ging es um den Fluss einer Flüssigkeit. Hier werde ich genauso am Beispiel des Flusses einer Flüssigkeit diese physikalische Interpretation erläutern. Also, wir stellen uns vor, im Raum bewegt sich eine Flüssigkeit. Zum Beispiel, wir sind in einem Fluss, unter dem Wasser, und es fließt überall Wasser. Wenn wir ein Sandkörnchen irgendwo hernehmen und loslassen, dann wird das Sandkörnchen vor sich hingetrieben und läuft entlang einer Direktorie. Also, durch jeden Punkt des Raumes, wo die Flüssigkeit fließt, läuft eine Direktorie, die Flusslinie. An jedem Punkt einer jeden Direktorie kann man einen Tangentialvektor anlegen. So. Und die Gesamtheit von diesen Vektoren, das sind ja Geschwindigkeitsvektoren. Je länger dieser Vektor ist, desto schneller fließt die Flüssigkeit; je kürzer der Vektor ist, desto langsamer fließt die Flüssigkeit. Auf jeden Fall ist auf diese Art und Weise ist jedem Punkt des Raumes, wo die Flüssigkeit fließt, ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet. Und dieses Vektorfeld bezeichne ich durch v^->. Das ist das erst mal das 1. Objekt, das ich erst mal festhalten möchte. Also: Sei v^-> das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit. Wir hatten dasselbe gehabt bei der Interpretation vom Rotationsoperator und vom Divergenzoperator. Gut, als Nächstes stellen wir unter dem Wasser ein Netz hin, meinetwegen ein Fischernetz oder was weiß ich. Also, ein Netz kann man als Oberfläche deuten. Und jetzt ist folgende Fragestellung sinnvoll: wie viel Wasser fließt durch das Netz hindurch? Und die Antwort auf diese Frage gibt uns das vektorielle Oberflächenintegral. Noch einmal: Wenn man eine Fläche hat, irgendwo im Raum, so meinetwegen ein Fischernetz, dann gibt das Oberflächenintegral vom Geschwindigkeitsfeld v^-> über die Fläche S das Volumen der Flüssigkeit an, das pro eine Zeiteinheit durch die Fläche S hindurchtritt. Und das ist eben die physikalische Interpretation des vektoriellen Oberflächenintegrals. Deswegen heißt dieses Integral auch „Flussintegral“, weil es Flüsse beschreibt. Also: wenn man das Integral berechnet, ist es natürlich eine Zahl. Das Integral ∫∫v^->•dO^->[über S] gibt das Volumen der Flüssigkeit an, das pro eine Zeiteinheit durch die Fläche S hindurchtritt. Pro Sekunde sage ich mal. Da die Geschwindigkeit in m/s gemessen wird und die Fläche in m² gemessen wird, dann ist hier die Zeiteinheit die Sekunde. Aber die Zeiteinheiten kann man auch einander anpassen. Deswegen sage ich nicht „pro Sekunde“, sondern „pro eine Zeiteinheit“. So … gibt das Volumen einer Flüssigkeit an, das pro eine Zeiteinheit durch die Fläche S hindurchfließt. Das ist eine sehr wichtige Interpretation. Bitte merkt euch diese Interpretation! Wenn man das verinnerlicht hat, dann kann man ruhiger mit Oberflächenintegralen umgehen. Man versteht sie; man fühlt sie. Denn diese Rechenformel, die ich da am Anfang im Kasten angeschrieben habe, die sagt nichts – einfach nur Skalarprodukte, Kreuzprodukte, Parametrisierungen, Integration, die ist nicht anschaulich. Das ist hier schön anschaulich. Gut, und nun möchte ich zurück auf die Situation kommen, wo das Oberflächenintegral 0 ist. Das habe ich formal erläutert. Wenn wir das jetzt im Hinterkopf haben, dann kann man die Situation, wo das Integral 0 ist, besser verstehen. Also, insbesondere - hier ist eine Fläche - wenn das Vektorfeld überall tangential an die Fläche ist. Das heißt, das Vektorfeld fließt gar nicht durch die Fläche hindurch. Das Vektorfeld fließt entlang der Fläche, aber nicht durch die Fläche, wenn das Vektorfeld F^-> tangential ist. Und das ist auch intuitiv völlig klar, dass der Fluss des Vektorfeldes durch die Fläche gleich 0 sein muss. Jetzt, nachdem wir begriffliche Klarheit festgestellt haben, können wir das auch intuitiv bestätigen. Vielleicht sollte ich andersherum anfangen, zuerst mit der Interpretation, dann alles formal machen. Aber es ist schon gemacht. Also, wenn F^-> tangential an S liegt, dann folgt daraus, dass der Fluss des Feldes F^-> durch die Fläche S gleich 0 ist. Das Vektorfeld fließt nicht durch die Fläche, sondern längs der Fläche. Deswegen ist der Fluss 0. Es gibt eine ähnliche Situation mit Kurvenintegralen. Da gibt es eine Gefahr, dass man die Sachen verwechselt. Und deswegen möchte ich euch daran erinnern. Es ist gut, die Sachen nebeneinanderzustellen. Wenn man eine Kurve hat, sodass das Vektorfeld F^-> senkrecht auf der Kurve steht, dann ist das Kurvenintegral des Vektors wieder 0. Wenn das Vektorfeld so aussieht, immer senkrecht auf der Kurve. Also: F^-> steht senkrecht auf der Kurve γ, dann folgt daraus, man muss das Kurvenintegral des Feldes F^-> gar nicht rechnen. Man weiß, dass dieses Integral gleich 0 ist. Das ist eine schöne Parallele, bloß es besteht eine Verwechslungsgefahr. In einem Fall muss das Feld tangential sein, im anderen Fall muss das Feld senkrecht sein. Bitte verwechselt nicht diese beiden Situationen. Also, ist das Feld senkrecht zu einer Kurve, dann ist das Kurvenintegral 0. Ist das Feld tangential zu einer Fläche, dann ist das Oberflächenintegral gleich 0. So, und die Geschichte mit der Kurve ist auch sehr plausibel. Also, ich habe da in der physikalischen Situation erläutert, dass das Kurvenintegral das Maß dafür ist, wie stark das Feld entlang der Kurve fließt. Wenn das Feld senkrecht auf der Kurve steht, also gar nicht entlang der Kurve fließt, dann ist das Kurvenintegral gleich 0. Das Oberflächenintegral ist das Maß dafür, wie stark das Feld durch die Fläche fließt. Also, wenn das Feld entlang der Fläche fließt, also tangential an der Fläche, dann ist das Flussintegral 0. Und mit diesen physikalischen Interpretationen hat man ein gutes Gefühl für die Integrale. Setzt euch damit auseinander, das wird nützlich sein!  

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