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Transkript Oberflächenintegrale von Funktionen – Theorie

In diesem Video wollen wir die allerersten Grundlagen zu skalaren Oberflächenintegralen erläutern. Ich präsentiere zuerst die Rechenformel, hier steht sie im blauen Kasten, für Oberflächenintegrale und Funktionen. Dann erläutere ich die Terme, die in der Rechenformel auftreten. Sie haben wichtige geometrische Interpretationen. Und als Letztes sage ich, wie man das skalare Oberflächenintegral versteht, das heißt, welche physikalische, welche geometrische Interpretation dieses Integral hat. Gut, nun alles der Reihe nach. Welche Bausteine haben wir? Es ist 1. eine Fläche S gegeben im Raum, zum Beispiel hier. Also ich habe so einen Bogen im Raum irgendwo fixiert. Und dann ist es denkbar, dass jedem Punkt dieser Fläche eine Zahl zugeordnet ist. Diese Zuordnung wird durch eine Funktion f beschrieben. Das heißt, jedem Punkt der Fläche ist eine Zahl zugeordnet. Zum Beispiel stellt euch vor, die Fläche S ist ein Stück Blech, das elektrisch aufgeladen ist, und in jedem Punkt kann man eine Ladung messen. Auf diese Weise entsteht auf der Fläche S, auf dem Blechstück, eine Ladungsfunktion, die jedem Punkt dann Ladungsdichte zuordnet. Wie auch immer. Aber wir wollen uns jetzt nicht an irgendwelche Physik klammern. Es ist also eine Fläche im Raum. Und jedem Punkt wird eine Zahl zugeordnet durch die Funktion f. Und die Fläche S ist beschrieben durch die Parametrisierung Φ, wie es üblich ist. Wenn man das alles hat, dann kann man die Funktion f über die Fläche S integrieren. Und das zugehörige Integral heißt Oberflächenintegral der Funktion f über die Fläche S. Dieses Integral werde ich in diesen Videos so bezeichnen: ∫∫(über S)fdO. Und dieses Integral wird berechnet mithilfe der Parametrisierung nach der Formel, die im blauen Kasten steht. Man nimmt die Parametrisierung Φ, bildet die partiellen Ableitungen nach der Variablen, bildet das Kreuzprodukt von diesen partiellen Ableitungen und berechnet die Länge von diesem Kreuzprodukt. Dann wertet man die Funktion f auf der Parametrisierung aus und integriert anschließend diesen Ausdruck über den Definitionsbereich der Parametrisierung. Das ist die Rechenformel für das Oberflächenintegral. Also ich werde gar nicht darauf eingehen, warum diese Formel sinnvoll ist. Ich werde aber sehr viel dazu sagen, wie man das Oberflächenintegral versteht. Diese Formel habe ich hier ein kleines bisschen abgekürzt. Eigentlich ist die Funktion überall, wo Φ steht (Φ ist ausgewertet überall), an der Stelle (u,v). Also hier muss man (u,v) schreiben, hier muss man (u,v) schreiben, hier muss man (u,v) schreiben. Ich habe das vermieden; ich habe die Abhängigkeit von (u,v) unterdrückt, damit die Formel übersichtlich bleibt. Nun eine Kleinigkeit: die Notationsvarianten. Es ist so, dass der Begriff Oberflächenintegrale von Funktionen oder skalares Oberflächenintegral ja sehr üblich ist. Und in der Literatur haben sich einige verschieden aussehende Notationsvarianten eingebürgert. Also ich möchte dieses Integral mit dem Zeichen bezeichnen: ∫∫(über S)fdO. Also S ist klar, ist ja die Angabe der Fläche, über die integriert wird. f ist die Funktion, die wir integrieren. dO, das ist ein Symbol; es ist gebunden an den deutschsprachigen Raum, O steht für "Oberfläche". Zum Beispiel im englischsprachigen Raum, da kann man das anders schreiben, also ∫∫(über S)fdA, und A steht für "area", also das englische Wort "area" für Fläche. Und man macht es auch anders. Man schreibt ∫∫(über S)fdS. S steht für die Fläche, über die man integriert. Und wenn die Fläche anders heißt, zum Beispiel die Fläche heißt F, dann würde man nach dieser Notation dF schreiben. Oder wenn die Fläche B heißt, dann würde man nach dieser Notation dB schreiben und so weiter. Ja, das ist alles dasselbe. Und dabei bleibt es nicht. Manche Autoren schreiben dann ein einfaches Integralzeichen, dabei meinen sie dasselbe Doppelintegral. So etwas sieht man auch ganz oft in der Literatur. Seid dadurch nicht verwirrt. Man muss ja auf den Zusammenhang schauen. Da muss man schauen, was der Autor meint, und sich nicht an Buchstaben klammern. Ich bleibe aber bei zweifachen Integralen, weil die Fläche ein zweidimensionales Objekt ist. Und für die Notation zweidimensionaler Objekte benutze ich 2 Integralzeichen. Das ist aber mein persönlicher Geschmack, das muss nicht sein. Man sieht das auch ganz oft. Gut. Dann, der nächste Teil ist: Wir wollen die Bestandteile dieser Formel erläutern. Und der ganz wichtige Bestandteil ist das Kreuzprodukt von partiellen Ableitungen der Parametrisierung. Dieses Kreuzprodukt hat eine wichtige geometrische Interpretation. Also Φ(u,v), das ist ein Vektor. Wir sehen, Φ bildet nach R3. Φ(u,v), das ist ein Vektor, bestehend aus 3 Komponenten: Φ1, Φ2, Φ3 und (u,v) jeweils. Und die partielle Ableitung nach u ist auch ein Vektor. Die partielle Ableitung nach v ist auch ein Vektor. Man kann das Kreuzprodukt bilden. Das Kreuzprodukt ist wieder ein Vektor mit 3 Komponenten. Und das Kreuzprodukt wird ein ganz besonderer Vektor sein. Das Kreuzprodukt wird immer senkrecht auf der Oberfläche S stehen. Und das ist der Gegenstand der 1. Bemerkung. Zuerst formuliere ich diese Bemerkung schriftlich an der Tafel und das will ich auch begründen. Es ist durchaus nützlich, dass man versteht, warum denn dieses Kreuzprodukt senkrecht auf der Oberfläche steht. Und diese Tatsache wird Konsequenzen haben für die Bearbeitung von Übungsaufgaben bei weiteren Themen. Wir haben jetzt Funktionen integriert über die Oberfläche. Wir können auch Vektorpfeile über Oberflächen integrieren. Dann tauchen diese Begriffe beim Integralsatz von Gauß, beim Integralsatz von Stokes auf. Dabei wird ab und zu wichtig sein zu wissen, dass das Kreuzprodukt der partiellen Ableitung der Parametrisierung senkrecht auf der Oberfläche steht. Also wollen wir ein bisschen Zeit in diese Tatsache investieren. Also, Bemerkungen habe ich 2 Stück. Die Bemerkung Nr. 1 ist die Folgende: Der Vektor ∂Φ/∂u an der der Stelle (u,v), diesmal unterdrücke ich nicht die Abhängigkeit und schreibe sie explizit hin, (Kreuz) ∂Φ/∂v(u,v) steht senkrecht auf der Fläche S im Punkt Φ(u,v). Das will ich begründen. Zuerst vielleicht eine Veranschaulichung. Jetzt habe ich die Fläche - ungefähr dieselbe, die ich schon vorher gezeichnet habe. Ungefähr so wird sie aussehen. Das ist die Fläche S und sie liegt im dreidimensionalen Raum. Definitionsbereich, sage ich mal, um es einfach zu machen, ist ein Rechteck. Der Definitionsbereich der Parametrisierung liegt auf einer Ebene. Und die Abbildung Φ, die Parametrisierung, bildet Ω bijektiv auf S ab. Und da möchte ich Folgendes machen: Also zum Beispiel, wenn ich hier einen Punkt im Definitionsbereich fixiere, meinetwegen (u0,v0), und dann betrachte ich entsprechende Linien parallel zu den Achsen, die durch den Punkt (u0,v0) gehen. Diese Linien werden abgebildet auf die Fläche durch die Parametrisierung. Und die nennt man gerne Koordinatenlinien. Meinetwegen, die Koordinatenlinien bezüglich v, wenn u fixiert und v variabel ist, dann kriege ich senkrechte Koordinatenlinien. Sie wird meinetwegen so abgebildet. Und der Bildpunkt von (u0,v0) landet irgendwo hier. Also hier ist der Punkt im Definitionsbereich der Parametrisierung und wird durch Φ irgendwo hierher transportiert auf die Fläche S. Moment, Moment, Moment, ich habe mich kurz verplappert. Also ich möchte es anders machen. Wenn ich v0 festhalte und u variierte, dann kriege ich diese blaue Linie, eine waagerechte Linie parallel zur u-Achse. Und diese waagerechte Linie wird auf diese Linie auf der Fläche hier abgebildet. Ich möchte es so haben, erst mal. Nun wollen wir uns mit dieser Kurve auf der Fläche ein wenig beschäftigen. Also, ich fixiere einen Punkt (u0,v0) im Parameterbereich der Fläche. Und dann machen wir Folgendes: Ich halte v bei v0 fest und u lasse ich laufen. Dann bekomme ich eine waagerechte Strecke in der u-v-Ebene. Und ich betrachte dann das Bild dieser Strecke auf der Fläche S. Und das fasse ich formal folgendermaßen: Dann ist das die Funktion, die dabei entsteht, ich nenne sie φ(u). Und sie entsteht folgendermaßen: Ich nehme die Parametrisierung Φ, u läuft frei, v0 ist ja fixiert. Dann ist eine solche Funktion, wo u frei läuft, die Parametrisierung einer Kurve, die sich in der Fläche befindet, weil die Abbildung Φ immer in der Fläche S landet. Deswegen entsteht daraus eine Kurve. Das ist eine sehr wichtige Kurve. Sie hat auch einen eigenen Namen: Koordinatenlinie heißt sie, aus naheliegenden Gründen. Im Video über Linienintegrale von Funktionen oder Kurvenintegrale von Funktionen habe ich erläutert, wenn ich eine Parametrisierung einer Kurve nach dem Parameter ableite, dann bekomme ich den Tangentialvektor an die Kurve. Und das mache ich hier. Also dann als Nächstes, wenn ich dieses φ nach u ableite, das ist das dasselbe wie Φ partiell nach u ableiten, dann bekomme ich einen Vektor. Und dieser Vektor liegt tangential an der Kurve. Das ist der ∂Φ/∂u, im Punkt (u0,v0) natürlich, ich unterdrücke hier die Abhängigkeit. Nach dem, was wir über Kurven wissen, also φ'(u0) (das ist dasselbe wie die partielle Ableitung ∂Φ/∂u) im Punkt (u0,v0) ist tangential zu der Kurve, zu der Koordinatenlinie. Weil die Koordinatenlinie in der Fläche liegt, dann ist auch dieser Vektor tangential an die Fläche. Also, dieser Ableitungsvektor ist tangential an die Fläche S. Nun führe ich eine analoge Betrachtung durch. Dann fixiere ich u0 und lasse v variieren. Dann bekomme ich eine senkrechte Linie, hier die senkrechte Strecke im Parameterbereich Ω. Und diese senkrechte Strecke wird auf eine Koordinatenlinie abgebildet in der Fläche. Ich bekomme die Kurve, die ich gerade markiere, die Koordinatenlinie. Und dann mache ich dasselbe. Also, ich werde das nicht neu schreiben. Dann ist, sage ich mal, ψ(v), wobei u bei u0 festgehalten ist und v variabel, die Parametrisierung einer Kurve in S. Hier ist diese Kurve, die Koordinatenlinie. Wenn ich diese Parametrisierung nach dem Parameter ableite, ψ'(v0), das ist dasselbe wie die partielle Ableitung von ∂Φ/∂v, dann würde dieser Vektor tangential an der Fläche liegen. Die Ableitung der Parametrisierung einer Kurve ist der Tangentialvektor an die Kurve. Hier ist er. Das ist die partielle Ableitung von ∂Φ/∂v. Also, nun haben wir geklärt, dass die partiellen Ableitungen der Parametrisierung der Fläche nach den Parametern Vektoren sind, die tangential auf der Fläche liegen . Nun erinnern wir uns daran, was wir über Kreuzprodukte wissen. Das Kreuzprodukt von 2 Vektoren steht immer senkrecht auf den beiden Vektoren. Wenn ihr das nicht frisch in Erinnerung habt, dann steht auf dieser Seite so ein Crashkurs zu Kreuzprodukten; alles, was man über Kreuzprodukte wissen soll. Und dort haben wir gelernt, dass das Kreuzprodukt aus beiden Vektoren senkrecht auf den Vektoren steht. Das heißt, wenn ich das Kreuzprodukt von ∂Φ/∂u und ∂Φ/∂v bilde (Hier ist das Kreuzprodukt (∂Φ/∂u Kreuz ∂Φ/∂v).), steht das Kreuzprodukt senkrecht auf beiden roten Vektoren. Wenn beide roten Vektoren tangential an der Fläche liegen, dann wird das Kreuzprodukt senkrecht auf der Fläche stehen. So, und das ist die Begründung. Das fasse ich noch einmal zusammen: Also, das Kreuzprodukt von (∂Φ/∂u Kreuz ∂Φ/∂v) ...
Ach, und die gesamte Betrachtung habe ich im fixierten Punkt (u0,v0) durchgeführt. Nun sind u0 und v0 wirklich beliebig; diese Betrachtung gilt in jedem beliebigen anderen Punkt der Fläche. Und somit haben wir begründet, dass das Kreuzprodukt in jedem Punkt senkrecht auf der Fläche steht. Das ist eine sehr wichtige Eigenschaft von diesem Kreuzprodukt. Die wird nicht bei diesem Thema benutzt, aber dann beim Thema Oberflächenintegrale von Vektorfeldern und bei Integralsätzen. Das wird man sehr oft benutzen, also bitte merkt euch das, das ist wichtig. Also das Kreuzprodukt steht senkrecht auf ∂Φ/∂u und auf ∂Φ/∂v. Weil ∂Φ/∂u und auf ∂Φ/∂v tangential auf der Fläche liegen, folgt daraus, dass (∂Φ/∂u Kreuz ∂Φ/∂v) senkrecht auf S steht. Das war die 1. Bemerkung, und die ist wichtig.   Die 2. Bemerkung ist nicht so wichtig, das sind eher formale Sachen. In der Rechenformel für Oberflächenintegrale gibt es so einen Ausdruck, also die Länge des Normalvektors × dO dv, und diesen Ausdruck nennt man das skalare Oberflächenelement. Also: Den formalen Ausdruck dO, das ist die Länge vom Normalvektor. Und wenn wir das schon erläutert haben, dass das Kreuzprodukt senkrecht auf der Fläche steht, dann nenne ich dieses Kreuzprodukt der partiellen Ableitung der Parametrisierung immer Normalvektor. Also, die Länge vom Normalvektor, die uns die Parametrisierung gibt, du dv, den formalen Ausdruck dieser Gestalt, nennt man das skalare Oberflächenelement. Das ist erst einmal formal, weil du und dv an sich haben ja keine Bedeutung. Also wenn ∫du da steht, dann bedeutet das, das bezüglich du integriert wird. Wenn Integral nicht dabei steht, dann ist du sinnlos. Deswegen ist das einfach nur ein formaler Ausdruck. Man kann das deuten, indem man du und dv als kleine Inkremente in den Variablen u und v versteht. Also man kann eine infinitesimale Betrachtung durchführen und dann zeigen, dass dieser Ausdruck infinitesimal mit Flächeninhalten zu tun hat. Das möchte ich aber nicht vertiefen, weil das braucht man praktisch bei den Aufgaben nicht. Also wenn ihr Lust habt, dann könnt ihr in der Literatur nachschlagen. Auf dieser Seite, in diesen Videos werde ich das stets als formalen Ausdruck betrachten. Das wird nie inhaltliche Bedeutung haben. Gut, das sind jetzt 2 Bemerkungen.   Nun kommt wohl eine sehr wichtige Sache. Wie versteht man Oberflächenintegrale? Jetzt reden wir ein wenig über die physikalische und geometrische Bedeutung von skalaren Oberflächenintegralen. Und die Bedeutung ist 1:1 analog zu den physikalischen Bedeutungen von Kurvenintegralen von Funktionen. Also wenn ihr euch daran erinnert, dann könnt ihr leicht die physikalische Deutung von Oberflächenintegralen wiederherstellen. Also, physikalische Interpretation: Das sind immer dieselben Ideen, die hinter dem Integralbegriff stehen. Stellt euch vor, wir haben eine Oberfläche und über die Oberfläche ist Masse verteilt. Und die Massendichte sei mit einer Funktion μ beschrieben. Wenn man die Massendichte über die Oberfläche integriert, dann bekommt man die Gesamtmasse der Oberfläche. Das ist die physikalische Interpretation. Dasselbe hatten wir bei Kurven: Wenn über eine Kurve Masse verteilt ist und die Verteilung durch die Massendichte beschrieben ist, wenn ich die Massendichte über die Kurve integriere, dann bekomme ich die Gesamtmasse der Kurve. Völlig dasselbe. Nun schreibe ich das hin. Über die Fläche S sei Masse mit der Massendichte μ verteilt. Und Massendichte ist natürlich eine skalare Funktion. Sie ist definiert in jedem Punkt der Fläche, also die Fläche liegt im dreidimensionalen Raum und hat einen nicht negativen Wert. Oder, Moment mal, sogar echt positiven Wert, das ist doch Massendichte. Über die Fläche S sei Masse mit der Dichte μ verteilt. Dann ist das Oberflächenintegral ∫∫ der Dichte über die Oberfläche S die Gesamtmasse der Fläche S. Und das steht hinter jedem Integralbegriff. Wenn ich Massendichte bei einer Kurve integriere, dann bekomme ich die Gesamtmasse der Kurve. Wenn ich Massendichte bei einer Fläche integriere, dann bekomme ich die Gesamtmasse der Fläche. Wenn ich Massendichte über einen Volumenbereich integriere, das Dreifachintegral bekomme, dann bekomme ich die Gesamtmasse vom Volumenbereich. Wenn Masse über ein ebenes Gebiet verteilt ist, meinetwegen Ω, und wenn ich Massendichte über Ω integriere, dann bekomme ich die Gesamtmasse vom ebenen Gebiet. Das ist eine einheitliche Linie, eine rote Linie durch alle Integralbegriffe. Wenn man das für einen Integralbegriff verstanden hat, dann versteht man es auch für einen anderen. Es ist wichtig, dass man diese Parallele, diese einheitliche Idee, diese rote Linie erkennt, in der Vektoranalysis. Gut fürs Verständnis. Und nun folgt eine übliche Bemerkung. Ich mache das alles analog zu Kurvenintegralen. Bei Kurvenintegralen habe ich eine Kurve γ und ich habe Massendichte μ. Wenn ich Massendichte μ über die Kurve γ integriert habe, dann ist das hier Gesamtmasse. Wenn ich aber annehme, dass Massendichte 1 ist (also man muss μ gar nicht schreiben), dann enthält das Integral hier die Länge der Kurve. Und ihr könnt schon mal raten, was bei Oberflächenintegralen passiert. Und zwar völlig analog. Also wenn ich eine Oberfläche habe, S mit der Massendichte μ, wenn ich die Massendichte über die Oberfläche integriere, dann bekomme ich die Gesamtmasse der Oberfläche. Wenn ich μ=1 setze, dann ist dieses Integral, wo man die 1-Funktion integriert, das Flächenmaß der Oberfläche. Völlig analog. Die 2. Bemerkung, das ist eine wichtige Konsequenz aus der 1. Bemerkung. Insbesondere berechnet man den Flächeninhalt von S nach der Formel: Flächeninhalt, das schreibe ich ja kurz Fläche(S)= einfach nur Oberflächenintegral der 1-Funktion über die Oberfläche. Und ich erinnere noch einmal, wie man das ausrechnet. Man nimmt die Parametrisierung der Fläche S, die ist meinetwegen Φ, die ist erklärt auf dem Gebiet Ω. Dann berechnet man das Kreuzprodukt aus den partiellen Ableitungen der Parametrisierung. Dann berechnet man die Länge von diesem Kreuzprodukt, und diese Länge integriert man über Gebiet Ω. Das ist ein Spezialfall der Rechenformel, die ich am Anfang angeschrieben habe im blauen Rahmen. Bloß hier gibt es keine Funktion f. Funktion f ist identisch mit 1. Diese Formel ist wichtig, die ist es wert, dass man noch einen Rahmen dazu macht. Also das ist Flächeninhalt von S, den berechnet man nach dieser Formel. Und auf dieser Seite stehen Beispiele, Aufgaben. Ich berechne dann nach dieser Formel Flächeninhalte für konkret gegebene Flächen. So, das ist die Theorie zu skalaren Oberflächenintegralen.  

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1 Kommentar
  1. Default

    Inhaltlich gut aber rhetorisch schlecht umgesetzt.

    Von Heinzzzzzz, vor mehr als 7 Jahren