Textversion des Videos

Transkript Oberflächenintegrale von Funktionen – Aufgabe 1

In dieser Aufgabe wollen wir die Fläche des Nordpolgebietes berechnen. Ich meine Nordpolgebiet auf unserem Planet Erde, ja hier ist die Mutter Erde, in guter Nähe an einem Kreis, auf dem 66 Grad der nördlichen Breite befindet sich der Polarkreis, und alles oberhalb des Polarkreises habe ich Nordpolgebiet genannt und die Fläche davon wollen wir ausrechnen. Also Eingangsdaten habe ich schon mal nachgeschlagen, Radius der Erde ist ungefähr 6378 km und noch einmal die nördliche Breite vom Polarkreis habe ich auch nachgeschlagen und diese Daten reichen aus, um die Fläche des Nordpolgebietes auszurechnen. Und mit welchem Ansatz machen wir das? Wir benutzen die Oberflächenintegralfunktionen ja, damit kann man Flächen berechnen, das haben wir besprochen und Nordpolgebiet nenne ich auch P für meine Zwecke brauche ich einen Namen für Nordpolgebiet, hier das blau markierte Gebiet ist Nordpolgebiet P und seine Fläche berechne ich mit dem  Folgenden Ansatz: Also Fläche von P ist bekanntlich, die Theorie sagt uns, wir müssen einfach nur die Funktion 1 Funktion über der Fläche integrieren. Wir sollen dieses Integral der Oberfläche, Skalares Oberflächenintegral, ausrechnen. Wenn wir dieses Integral ausgerechnet haben, dann haben wir die Fläche und wie tut man das? Wir suchen eine Parametrisierung des Nordpolgebiets P und dann benutzen wir folgende Rechenformel. Omega als Definitionsbereich der Parametrisierung und Parametrisierung nenne ich traditionell Phi  und die Variablen der Parametrisierung nenne ich uv. Also ich soll Parametrisierung finden, und ja dieses Doppelintegral ausrechnen und dann bekomme ich die Fläche vom Nordpolgebiet. Gut, nun wollen wir das in Einzelheiten durchführen, erstens Parametrisierung. Und weil Nordpolgebiet sich auf der Oberfläche der Sphäre mit einem gewissen Radius r befindet, dann ist am bequemsten die Kugel Koordinaten zu benutzen, ja also das natürlichste für solche Gebiete. So, Parametrisierung von P. Wir nehmen einfach nun die Kugelkoordinaten und die Parametrisierung selbst will ich mit Phi bezeichnen, aber die Variablen nicht mehr mit uv, wir im Ansatz angekündigt, sondern mit theta phi - die kalonischen Namen für die Parameter der Kugelkoordinaten. Radius r ist fixiert bei 6378 km und dann haben wir die üblichen Ausdrücke sinus, delta, cosinus phi, R sinus theta, sinus phi und R cosinus theta. Also da brauchen wir gar nicht zu arbeiten, die Parametrisierung ist schon fertig. Die Formel, wir müssen uns überlegen, wie die Parameter laufen. Die Z-Achse, wo ist die wo liegt die? Natürlich stimmt meine Z-Achse mit der Achse der Erde überein und hier irgendwo auf der Äquatoreben habe ich ja X/Y Achsen ja, natürlich. Und wenn wir die Achsen so gelegt haben, wie sonst kann man sie legen, das ist die bequemste Art und Weise, die Achsen zu verlegen, dann sehen wir, dass der Winkel phi, der Polarwinkel phi, muss dann die volle Umdrehung machen, weil Nordpolgebiet ist symmetrisch bezüglich der Z-Achse, ja es ist immer das Gleiche. Wobei Phi läuft zwischen 0 und 2Pi und der Winkel theta wird etwas mit dieser Breite zu tun haben, der Winkel theta wird sich in bestimmten Grenzen befinden und vielleicht ganz spontan könnte man so schreiben θ ist zwischen 0 und 66,55 Grad, wenn man das spontan so schreibt ist das falsch. Der erste hanebüchene Fehler ist, dass der Winkel Theta wird bei Kugelkoordinaten in Radialen gemessen, nicht in Grad, also man muss diese Angabe in Radiale umrechnen, andererseits muss man genauer schauen, wie der Winkel Theta gemessen wird. So das ist hier falsch, ja. Um das richtige hier rauszubekommen, noch einmal erinnern wir uns wie die Kugelkoordinaten erklärt waren, so hier ist Schnitt der Erdoberfläche durch die XZ-Ebene und wenn ich auf Punkt, wie soll ich den Punkt nennen, A ja, also habe, der Winkel Theta ist der Winkel zwischen der positiven Richtung der Z-Achse und der Radiusvektor des Punktes A. Hier ist der Winkel Theta. Und irgendwo haben wir die Punkte auf der Erdoberfläche, die dem Polarkreis entsprechen. Hier ist irgendwo Polarkreis, so rund um die Z-Achse und auf dem Schnittboden hinterlässt der Polarkreis 2 Punkte. Und der Winkel Theta soll eben von 0 bis zu diesem roten Punkt gehen, maximal bis zum roten Punkt. Der Winkel Theta soll sich so ändern, dass der Punkt A zwischen der Z-Achse und dem roten Punkt hier unten wandert, ja, nicht weiter. So, nun kommt eine weitere Einzelheit, die Sache ist die, so wird der Winkel Theta in Kugelkoordinaten gemessen. Die nördliche Breite wird aber bisschen anders gemessen in der Geographie. Also die nördliche Breite wird vom Äquator gemessen, Äquator hat 0 Grad nördliche Breite und dann nördlich vom Äquator steigt die nördliche Breite an. Das heißt die nördliche Breite beim Polarkreis ist 66,55 Grad. Das heißt Winkel Theta läuft - noch einmal was haben wir überlegt: Winkel Theta wird von der Z-Achse aus gerechnet, gemessen, aber nördliche Breite wird von X-Achse ausgehend gemessen. Und das ist eine kleine Diskrepanz zwischen geographischer Breite und Winkel Theta in Kugelkoordinaten. So jetzt müssen wir die Dinge irgendwie zusammenreihen, ja. Also dafür müssen wir Komplementärwinkel ausrechnen, so Komplementärwinkel von 66,55 Grad nenne ich Theta(0) so und unser Theta in Kugelkoordinaten läuft dann von 0 bis max. Theta(0). Also Theta läuft von 0 bis maximal Theta(0), wobei Theta(0) ist der Komplementärwinkel zu 66,55 Grad. Wobei Theta(0) ist 90 Grad - 66,55 Grad. Also diese Umrechnung für diese äußere Grenze von Theta ergibt sich aus der Diskrepanz zwischen Winkelmessung bei der Geographie und Winkelmessungen der Kugelkoordinaten, ja. Und nun rechnen wir den Winkel um, also 90-66,55=23,45 Grad, also der Winkel Theta darf maximal von 0 bis maximal 23,45 Grad gehen, ja, hier runter, das ist der Komplementärwinkel, das ist das eine, und außerdem Winkel Theta soll Winkel Theta(0) wird bei Kugelkoordinaten in Radialen gemessen. Also nicht in Graden. Und da nehme ich hier die bekannte Formel zur Umrechnung von Graden in Radialen. Also ich soll die Zahl, also Winkelmaß in Graden mit Pi multiplizieren und dann mit 180 dividieren. So 180 Grad und dann bekomme ich eine Zahl in Radialen. Das ist die aus der Schule bekannte Umrechnungsformal, also die kann man sich merken. Also der Winkel 180 Grad ist Pi in Radial, und aus diesem Ansatz ergibt sich diese Formel, aber gut. Diese Formel ist da und dann kann man diese Zahlen sind unbequem, wie es so der Fall ist bei wirklichen Daten, nicht bei irgendwelchen gekünstelten Aufgaben, sondern, ja und dieses Zahlen muss man dann mit einem Taschenrechner umrechnen und das habe ich hier zuhause gemacht. Also wenn ich 23,45÷180 dividiere und die Zahle etwas kürze, auf hübsche, dann bekomme ich 469÷3600Pi. Ja, die Zahl ist jetzt ziemlich hässlich, aber weil wir eine echte, wirkliche Aufgabe lösen, da sollen wir diese hässliche Zahl nun aufnehmen. Gut, ja und dann haben wir Parametrisierung bestimmt, das schwierigste an dieser Parametrisierung war Bestimmung der Grenzen für Theta, diese Aufgabe haben wir gemeistert, so, gut. Nun ist die Parametrisierung da, Definitionsbereich der Parametrisierung ist auch da, jetzt können wir anfangen mit der Flächenberechnung, dazu, ich habe euch den Ansatz angeschrieben, da in dem Ansatz ist folgender Ausdruck präsent: Die Länge des normalen Vektors, also wir müssen als nächstes Kreuzprodukt ausrechnen. Kreuzprodukt von partiellen Ablenkungen in der Parametrisierung und dann die Länge von diesem Kreuzprodukt, das wollen wir demnächst ausrechnen, das ist unser Ziel. Und dann, wenn wir diesen Ausdruck ausgerechnet haben, diesen Ausdruck integrieren wir in den gegebenen Grenzen bezüglich Theta und bezüglich Phi dann haben wir die Fläche. Ok, dann mache ich das, so das schöne Bildchen werde ich opfern, ich brauche Platz für diese Rechnung. Also Berechnung der Länge des normalen Vektors, der zu der gegebenen Parametrisierung gehört. Also, wir erinnern uns aus dem theoretischen Beitrag, das Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen der Parametrisierung einer Fläche, der normal Vektor auf der Fläche ist, und wir berechnen nun seine Länge. Dazu ist es ja ganz nützlichen wenn wir die Formel für die Parametrisierung vor Augen haben, dann schreibe ich sie noch einmal, das sind ja die ganz normalen Kugelkoordinaten, bloß der Radius ist fixiert. Also Sinus Theta, Sinus Theta, Cosinus Theta, Cosinus Phi, Sinus Phi und ×R. Und den gemeinsamen Vorfaktor R kann man nach vorne ausklammern, aus dem Vektor, das geht. Gut, das ist unsere Parametrisierung und wir wollen die langsam aber sich das Kreuzprodukt ausrechnen und dann seine Länge. Und ich empfehle euch, drückt auf die Pause Taste und zieht diese Rechnung selbstständig durch, weil es ist einfach nur rechnen und es gibt hier keine Stellen wo man irgendwo nachdenken soll und Entscheidungen treffen soll, das ist eine maschinelle Rechnung. Gut, also nun leite ich diese Spalte nach Theta ab, bekomme Cosinus Theta, Cosinus Theta - Sinus Theta dann Cosinus Phi, Sinus Phi. Dann leite ich dieselbe Spalte nach Phi ab, also die 3. Komponente ist von Phi unabhängig, dann weiß ich schon, dass die Ableitung der 3. Komponente nach Phi 0 ist, Ableitung von Cosinus Phi nach Phi ist -Sinus Phi und Ableitung von Sinus Phi nach Phi ist Cosinus Phi. Als nächstes, bevor wir das Kreuzprodukt bilden, da ist es sinnvoll, die Dinge ein bisschen zu vereinfachen ja. Kreuzprodukt ist homogen bezüglich der Multiplikation mit Skalaren, da das bedeutet auf einer menschlichen Sprache, das wir R nach vorne ziehen dürfen. Einmal R vom 2. Vektor, einmal R vom ersten Vektor nach vorne ziehen, dann haben wir vorne R2 ja. Da habe ich vorne R2 jetzt 2-mal R miteinander multipliziert. Dann darf ich aus dem 2. Vektor Sinus Theta rausziehen, nach vorne ziehen, weil Sinus Theta ist der gemeinsame Faktor, in diesem Vektor und 0 kann man ruhig so schreiben, Sinus Theta×0, ist auch richtig. Dann ist das der gemeinsame Faktor für alle 3 Komponenten, also ich will Sinus Theta ausklammern und dann das nach vorne ziehen. So und dann bekommen wir folgendes R2Sinus Theta, so und dann müssen wir KreuzKreuzprodukt aus folgenden Vektoren bilden: Cosinus Theta Cosinus Phi, Cosinus Theta Sinus Phi, -Sinus Theta, Kreuz dann Sinus habe ich ausgeklammert, dann habe ich -Sinus Phi, Cosinus Phi, 0. Ja, ist schon eine kleine Erleichterung, wir müssen nicht dieses R und Sinus Theta mitschleppen. Gut, nun bilden wir Kreuzprodukt nach den bekannten Formeln, also das ist R2Sinus Theta und glücklicherweise haben wir hier 0, 0en sind unsere Freunde bei Berechnungen von Kreuzprodukten, das heißt, also die erste Komponente vom Kreuzprodukt, ist ja benannt aus der Matrix, die sich aus den markierten Elementen zusammensetzt, also das hier ×0 ist 0, wunderbar, da brauchen wir nicht zu rechnen, ja und dann haben wir Sinus Theta×Cosinus Phi und dieser Minus geht weg, nach der Regel wie man Determinanten berechnet. Ich hoffe, dass muss ich nicht in Einzelheiten darlegen. So, gut, dann weiter der Reihe nach, jeder kennt ja wie man Determinanten berechnet. So dann die 2. Komponente des Kreuzproduktes ist der Determinante aus den Elementen die ich grade markiere, mit den umgekehrten Vorzeichen. Also ich muss  -Sinus Theta mit -Sinus Phi multiplizieren, Sinus Theta mit -Sinus Phi multiplizieren und diese beiden Minus heben sich gegenseitig auf und -Cosinus Theta Cosinus Phi×0 ja also ich muss gar nichts abziehen. Und dann, das waren die ersten 2 Komponenten und jetzt geht die Rechnung mühsam weiter. Dann müssen wir die 3. Komponente, ist wieder die Determinante der rot markierten Elemente, da muss man bisschen mehr rechnen, da habe ich Cosinus Theta Cosinus Phi×Cosinus Phi ist Cosinus Phi2, dann - -, Minus×Minus ergibt Plus, ja, dann habe ich Cosinus Theta Sinus2 Phi, also Sinus Phi 2-mal. Sinus Phi mit Sinus Phi multipliziert gibt Sinus2 Phi. Wunderbar, nun haben wir das übliche, was so bei solchen Rechnungen passiert, Cosinus Theta kann man in der 3. Komponente ausklammern, in den Klammern bleiben Cosinus2 Phi+Sinus2 Phi, das ist bekanntlich 1 und Multiplikation mit 1 bewirkt nichts, also es bleibt nur Cosinus Theta. So, eine routinierte Rechnung. Gut, und das ist das Kreuzprodukt der Parametrisierung, das haben wir ausgerechnet und wenn die Leute, die bei Kugelkoordinaten aufgepasst haben, sie werden sich merken, dass dieser Rektor, der hier steht, dass es genau der Radiale Einheitsvektor in Kugelkoordinaten. Das ist R2Sinus Theta×er. Der Radiale Einheitsvektor in Kugelkoordinaten, also ich erinnere euch daran, wie der radiale Vektor aussieht, hier ist eine Kugel, hier ist die Z-Achse, so X-Achse, Y-Achse, Äquator. So und dann betrachten wir einen Strahl aus dem Ursprung, der Strahl irgendwann trifft die Kugeloberfläche und der Vektor, der auf diesem Strahl liegt, und die Länge 1 hat, das ist eben der Radiale Einheitsvektor im Kugelkoordinaten, so sieht er aus. Ja, und er hat eben diese Koordinaten, so. Und ich habe da im Theorievideo erläutert, das Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen der Parametrisierung immer senkrecht auf der Oberfläche stehen. Nun haben wir ausgerechnet, dass dieses Kreuzprodukt proportional zum Radialen Einheitswinkel im Kugelkoordinaten ist. Und der Einheitswinkel im Kugelkoordinaten steht selbstverständlich senkrecht auf der Sphäre. Und damit haben wir dieses Ergebnis bestätigt, also aus der Theorie wissen wir, dass Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen der Parametrisierung einer Fläche immer senkrecht auf der Oberfläche stehen muss, und wenn wir für diese Parametrisierung ganz konkret Kreuzprodukte ausgerechnet haben, da haben wir vielfaches vom Radial Einheitsvektor bekommen und der radiale Einheitsvektor steht immer senkrecht auf der Kugel. Ja, und damit ist dieses theoretische Ergebnis bestätigt konkret in diesem Fall. Ok, und das wir da vielfaches vom Radialen Einheitsvektor bekommen haben, das erleichtert weitere Berechnungen. Also wir haben ausgerechnet, dass dieses Kreuzprodukt genau R2Sinus Theta× der Radiale Einheitsvektor ist und wir denken daran, dass wir eigentliche die Länge von diesem Kreuzprodukt berechnen wollen. So und das geht ja dann ganz leicht, also die Länge vom Kreuzprodukt ist eben die Länge von dem, was wir grade ausgerechnet haben. Nun kommt das schöne, also R2Sinus Theta können wir vor den Betrag ziehen, das ist eine skalare Größe. Also skalare Größen können wir aus dem Betrag rausziehen und es bleibt dann die Länge vom radialen Einheitsvektor, aber der Radiale Einheitsvektor hat die Länge 1, ja deswegen heißt er auch Einheitsvektor, hier brauchen wir gar nicht zu rechnen. Also wir haben R2Sinus Theta. Nun, ich habe so leichtsinnig Sinus Theta rausgezogen, aus dem Betrag, ich habe gar nicht Vorzeichen von Sinus Theta diskutiert, man weiß, Sinus kann auch eventuell negativ sein, nicht wahr und wenn Sinus negativ ist, Theta negativ wäre, dann ist diese Rechnung Quatsch. Dann würde bedeuten, dass die Länge von einem Vektor wäre negativ, und das kann ja nicht sein. Und bitte überlegt euch, warum Sinus Theta in dieser Rechnung nie negativ werden kann. Ja, also noch einmal. Es wäre problematisch, wenn Sinus Theta negativ wäre, aber ich garantiere euch, unter diesen Umständen ist Sinus Theta immer positiv. Überlegt euch warum. Na gut, nun sage ich für euch, warum das so ist. In Kugelkoordinaten, der relevante Bereich für Theta ist zwischen 0 und Pi, ja. Wenn Theta 0 ist, dann zeigt der Radius Theta nach oben, wenn Theta Pi ist, dann zeigt der Radius Vektor nach unten. Und Sinus Theta oberhalb vom Intervall, Sinus hat folgenden Verlauf, so eine Welle, so und oberhalb vom Intervall, von 0 bis Pi ist Sinus Theta positiv. Also wenn wir mit  Kugelkoordinaten rechnen, dann brauchen wir uns keine Sorgen zu machen über Vorzeichen von Sinus Theta. Sinus Theta ist immer positiv, in Kugelkoordinaten, ja. Und damit es auch diese kleine, heikle Frage erledigt, nun haben wir die Länge des normal Vektors ausgerechnet, der zur Parametrisierung Phi gehört. Ja, nun kommen wir zur Fläche. Also Berechnung der Fläche von Pi und ich erinnere euch, wir hatten folgenden Ansatz: Also Fläche von Pi ist gleich Oberflächenintegral oberhalb von Pi, d(O), und für dieses Oberflächenintegral gibt es Rechenformeln. Wir integrieren über Definitionsbereich der Parametrisierung und ich erinnere euch, Parametrisierung hatte folgende, unsere Definition steht noch da, Definitionsbereich für die Parameter war von 0 bis Theta(0) und Theta(0) hatten wir berechnet, das war eine hässliche Zahl, 469÷3600Pi, ja und hier war bisschen einfacher, Phi lief von 0 bis 2Pi. Also wir müssen über den Definitionsbereich der Parameter integrieren, also Theta läuft von 0 bis Theta(0) und Phi läuft von 0 bis 2Pi, also Integration über den Definitionsbereich der Parameter und unter dem Integral steht die Länge vom Normal Vektor, der zur Parametrisierung gehört. So, wunderbar, also diese Länge haben wir ja schon berechnet, diese Länge setze ich nun ein. Ja und am besten mache ich das mit der Wischmethode, ja hier steht die Rechnung, die Länge des Normalvektors haben wir berechnet, das ist R2Sinus Theta und nun rechnen wir ruhig dieses Integral aus. R war der Radius der Erde, der Radius der Erde ist eine Konstante, dann ziehen wir die Konstante vor das Integral und außerdem die Funktion, die wir integrieren sollen, das ist Sinus Theta, ist von Phi überhaupt nicht abhängig, also wir ziehen Sinus Theta am Phi-Integral vorbei. Also R2 ganz vorne, dann Integral von 0 bis Theta(0), Sinus Theta d Theta und dann Integral von 0 bis 2Pi, dPhi. So und wir berechnen diese 2 Integrale, also was kann einfacher sein als das, also R2 bleibt vorne stehen, Stammfunktion von Sinus Theta ist natürlich -Cosinus Theta, die Integrationsgrenze sind 0 und Theta(0), Theta(0) werden wir ganz zum Schluss einsetzen, weil die Zeile ist sehr hässlich, ja und das hintere Integral brauch ich gar nicht zu berechnen, das ist 2Pi. So und nun setze ich die Rechnung fort, also es bleibt nichts mehr, einfach nur die Zahlen einsetzen und die Dinger noch einmal ausrechnen. Also Fläche des Nordpolgebiets ist nach den Berechnungen 2PiR2 und da habe ich Cosinus von 0 ist 1 und dann schreibe ich auch Cosinus von Theta(0), so das ist die Fläche des Nordpolgebiets. Nun kann ich die Zahlen einsetzen, also 2Pi, und Radius der Erde war 6378 km, wenn ich mich nicht täusche, zum Quadrat, und Theta(0) haben wir auch in Radialen ausgerechnet, das ist 469/3600Pi, Klammer zu. Jetzt in den Taschenrechner eingeben, diese Zahl, ja und bitte wenn ihr Lust habt, dann könnt ihr das tatsächlich mit dem Taschenrechner das berechnen und mein Taschenrechner sagt, dass das 21.110.011 km2 ungefähr. Ja, und das ist die Fläche vom Nordpolgebiet, ja. Und das ist unser Ergebnis und ich möchte noch einmal euch paar Daten präsentieren, die belegen, dass diese Rechnung plausibel ist, ja. Zum Beispiel, man kann ja meinetwegen im Wikipedia nachschlagen, das die Fläche von Europa ungefähr 10 Millionen km2 beträgt und dabei ist Europa geographisch gerechnet, nicht politisch, also Europa zu diesem geographischen Begriff von Europa zählt West-Russland, westlich vom Ural und der Kaukasus ist auch dabei in dieser Rechnung. Dann Afrika, ja was zu Afrika zählt, das ist bekannt und unumstritten, ungefähr 30 Millionen km2 Fläche. Ja und was war unser Ergebnis Nordpolgebiet? Das war 21 Millionen km2. Gut und wenn wir Ergebnis unserer Berechnung mit den bekannten Daten aus Wikipedia vergleichen, dann ist das Ergebnis auch plausibel, ja also Nordpolgebiet ist so zwischen Afrika flächenmäßig und Europa, ja, westlich von Uralgebirge. Gut, das wars, Dankeschön.

Informationen zum Video
1 Kommentar
  1. Default

    DA fehlt eine Null am Ende Sergej wie konntest du nur so einen FEHLER machen :D

    Von Diadore, vor mehr als 6 Jahren