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Transkript Niveaulinien - Einführung

Nun wollen wir uns ein wenig über Niveaulinien unterhalten. Gut, hier habe ich eine Definition angeschrieben und die wollen wir anschaulich erläutern. Wir starten mit einer Funktion, die von 2 Veränderlichen abhängig ist, also R²?R abbildet - das ist ja Funktion von xy. Und wir starten mit einer Zahl C0, eine Konstante, irgendeine Regelzeit. Man kann sich fragen, an welchen Stellen die Funktion den Wert C0 annimmt. Die Gesamtheit von solchen Stellen, wo die Funktion f, den Wert C0 annimmt, die nennt man Niveaulinie. Das heißt, an diesen Stellen erreicht die Funktion das Niveau C0. Das ist im Wesentlichen die Definition. Und noch einmal die Definition formal geschrieben: Zu einer Funktion f von der 2 nach R und einer vorgegebenen Zahl C0 heißt die Menge der Punkte xy, in denen die Funktion den Wert C0 besitzt, Niveaulinie, von f zum Wert C0. Man sagt auch gerne Niveaumenge oder Niveaulinie. In dem Fall, wo die Funktion von 2 Veränderlichen abhängig ist, wird diese Menge meistens als Linie grafisch dargestellt sein. Es ist nicht immer so, aber meistens so - deswegen heißt diese Menge Niveaulinie. Gut, und nun wollen wir was Anschauliches dazu machen. Ich habe jetzt das übliche Setting, die Achsen xyz und da habe ich den Graph einer Funktion z=f(x,y). Wir arbeiten ohne Formel. Stellt euch vor, dass der Graph der Funktion so aussieht, so ein Buckel, so ein Hügel oder Schlapphut - wie auch immer. Ja, und wir wollen ein bisschen spielen mit diesem Begriff Niveaulinie. Wir wollen ein bisschen Anschauung dazu bringen. Wir fixieren einen Wert C0. Ja, meinetwegen ist der Wert hier C0. Den Wert C0 tragen auf der z-Achse ein. Wem das zu abstrakt ist, C0, dann sagen wir C0=1. Und wir wollen mal sehen, wie dann die Niveaulinie zum Wert C0=1 auf dem Bild aussieht. Das soll man sich so vorstellen: Man kann das Bild schneiden mit einer Ebene, die parallel zur xy-Ebene verläuft und die z-Achse an der Stelle C0 schneidet. Also stellt euch vor, ich schneide das ganze, was ihr seht, mit einer Ebene parallel zur xy-Ebene. Und diese Ebene, mit der ihr gerade schneidet, die wird aus dem Graphen der Funktion irgendein Profil ausschneiden. Meinetwegen wird das dann ein Kreis sein. Das wird ein Kreis zur Höhe C0 sein. Gut, und als Nächstes kann ich diesen Kreis, dieses Profil, das ich ausgeschnitten habe, in die xy-Ebene projizieren. Ich projiziere sie runter in die xy-Ebene und bekomme dann einen Kreis. So, es ist so, dass jeder Punkt auf diesem roten Kreis unten, durch die Funktion f auf dem roten Kreis da oben abgebildet wird. Das heißt, jedem Punkt hier auf dem Kreis unten wird der Wert C0 durch die Funktion f zugeordnet. Das heißt, in jedem Kreis hier unten, jedem Punkt auf dem Kreis hier unten, hat die Funktion den Wert C0. Und deswegen ist dieser Kreis unten eben die Niveaulinie der Funktion f. Also dieser rote Kreis unten ist die Niveaulinie der Funktion f zum Wert C0. Gut, und so kann man sich den Begriff Niveaulinie anschaulich vorstellen. Nun noch eine kurze Bemerkung dazu: Das muss nicht immer eine Linie sein. Stellt euch vor, wir betrachten die Spitze von unserem Buckel - den Gipfel. Dann haben wir entweder den Wert C'0. So, und es gibt genau einen einzigen Punkt hier unten in der xy-Ebene, der auf dem Gipfel abgebildet wird. Zum Wert C'0 wird die Niveaulinie zu einem einzigen Punkt ausarten. Das kann auch vorkommen. Also Niveaumenge ist nicht immer eine Linie, aber meistens ist es eine Linie. Und zum Beispiel kann es zu einem Punkt ausarten wie hier, wenn es sich um einen Gipfel handelt. Die Niveaulinie kann auch leer sein. Wenn wir mit der Konstante C0 ein bisschen höher gehen, dann wird die entsprechende Ebene auf der Höhe C0 den Graphen der Funktion gar nicht schneiden und überhaupt kein Profil ausschneiden. Dann ist die Niveaumenge leer. Das kann auch vorkommen. Aber meistens sind die Niveaumengen Linien, bei Funktionen, die von 2 Variablen abhängen. Und deswegen heißen sie Niveaulinien. Und dazu gibt es noch 2 Beispiele auf dieser Seite. Wir wollen das alles noch genauer an konkreten Beispielen anschauen.

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4 Kommentare
  1. Kakashi  s mangekyo sharingan by darkuchiha7 d46rgw1

    ICH Auch;)

    Von Mikoenig1, vor 10 Monaten
  2. Default

    Ich schließe mich an :)

    Von Mc Poker1990, vor mehr als 6 Jahren
  3. Default

    sehr gut, finde ich. Man versteht alles und es ist graphisch ziemlich geschickt gemacht, weil du kaum schreiben muss. (was manchmal unangenehme Redepausen erzeugt)

    Von Deleted User 2550, vor mehr als 7 Jahren
  4. Stephan1

    Sergej, du bist als Tutor genial!

    Von Stephan Bayer, vor mehr als 7 Jahren