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Transkript Newtonverfahren Mehrdimensional

Hallo und willkommen, zum mehrdimensionalen Newtonverfahren. Also dem Newtonverfahren von Funktionen von mehreren Veränderlichen. Im Gegensatz zum eindimensionalen Fall, haben wir hier eine Funktion, die vom RN, in den RN abbildet, also aus N eindimensionalen Funktionen besteht. Die Variable x ist dann hier natürlich auch ein Vektor aus dem RN, mit den Komponenten x1 bis xN. Von einer solchen Funktion können wir jetzt mit dem Newtonverfahren, die Nullstellen berechnen. Erinnern wir uns erst einmal zurück an den eindimensionalen Fall. Dort hatten wir als Iterationsvorschrift für xK+1 xK - f(xK)/f´(xK). Können wir das einfach 1:1 übernehmen für unsere mehrdimensionale Funktion F? Nein, denn f´(xK) ist jetzt keine skalare Zahl mehr, sondern eine Matrix. Die Ableitung einer mehrdimensionalen Funktion ist die sogenannte Jacobimatrix. Sie enthält die partiellen Ableitungen, der einzelnen Teilfunktionen von f, also f1 bis fn, nach den Komponenten des Vektors x1 bis xN, ist also eine n Kreuz m-Matrix. Was können wir also tun, um nicht durch eine Matrix teilen zu müssen? Wir gehen einfach rüber zu Inverse von f´ und multiplizieren mit dieser. Dies ist jetzt also nun unsere Iterationsvorschrift für das mehrdimensionale Newtonverfahren. Hierbei müssen wir noch beachten, dass die Inverse von f´ nur dann existiert, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist. Dies ist analog dazu, das beim eindimensionalen Verfahren die Ableitung der Funktion f immer ungleich 0 sein musste, da wir sonst durch 0 geteilt hätten. Das Verfahren funktioniert also nur, wenn in jedem Iterationsschritt K, die Determinante unserer Ableitungsmatrix ungleich 0 ist. Jetzt wissen wir alles, was wir brauchen, um ein Beispiel rechnen zu können. Gegeben haben wir diese zweidimensionale Funktion. Die erste Komponente von f ist: 5x1+ 2x2 + sinusx1+ x2 und die zweite Komponente ist 2x1+ 5x2 + sinusx1 - x2. Mit dem Startwert x0 = 11, wollen wir jetzt das Newtonverfahren anwenden. Oben links in der Jacobimatrix, steht die Ableitung der ersten Komponente der Funktion f, nach x1. Das ist 5 + cosinusx1+ x2. Oben rechts steht die Ableitung der ersten Komponente nach x2, also 2+cosinusx1+x2. Unten stehen die Ableitungen der zweiten Komponente von f, nach x1 beziehungsweise x2. 2 + cosinusx1 - x2 und 5 - cosinusx1 - x2. Damit unser Verfahren funktioniert, muss die Determinante von f´ während des ganzen Verfahrens ungleich 0 sein. Überprüfen wir also zunächst einmal, ob für alle x, also für alle Kombinationen x1 und x2, f´(x) beziehungsweise die Determinante von f´(x) ungleich 0 ist. Zur Erinnerung: die Determinante einer 2 Kreuz 2-Matrix, a,b,c,d, ist ad-bc. In unserem Fall erhalten wir also diese Determinante. Nun wollen wir wissen, ob diese Determinante irgendwann 0 wird. Dazu multiplizieren wir die Klammern aus und fassen alles zusammen. Und dann erhalten wir diese Gleichung. Da des cosinus immer zwischen +1 und -1 liegt, können wir folgende Abschätzung treffen. Diese drei Cosinusterme können also im Extremfall -12 werden ,aber nicht kleiner. Somit ist 21 minus diese drei Cosinusterme auf jeden Fall immer größer als 9, also größer als 0. Die Determinante unserer Matrix f´ wird also nie 0. Wir können jetzt also das Newtonverfahren anwenden. Für den ersten Schritt, also wenn k=0 ist, erhalten wir aus unserer allgemeinen Iterationsvorschrift diese Gleichung für x1. Hier müssen wir jetzt alles einsetzten. Zur Erinnerung: Wir erhalten die Inverse einer 2 Kreuz 2-Matrix, indem wir die hauptdiagonalen Elemente vertauschen, vor die nebendiagonalen Elemente ein Minus schreiben und durch die Determinante teilen. Dies können wir nun ausrechnen. Nachdem wir zunächst die Sinus- und Cosinusfunktionen ausgewertet haben, erhalten wir diese Gleichung und schließlich als Ergebnis: x1 = - 0,5128/0,3846. Jetzt setzten wir dieses x1 für  xK in unsere Iterationsgleichung ein und erhalten somit eine Gleichung für x2. Wir setzten jetzt wieder zunächst die bekannten Werte ein, berechnen dann die Inverse und erhalten schließlich als Ergebnis x2 = - 0,036/0,0723. Wenn wir jetzt noch weitere Interationsschritte durchführen würden, würde sich unsere Nährungslösung für die Nullstelle x, immer mehr der wirklichen Nullstelle 0/0 annähern. Das war es zum mehrdimensionalen Newtonverfahren. Bis zum nächsten Mal. Tschüss.

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