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Metrische Räume 32:58 min

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Transkript Metrische Räume

Hallo und herzlich willkommen. Es geht um sogenannte metrische Räume. Das ist ein sehr abstraktes Thema, aber hochinteressant. Was sind metrische Räume? Also die laxe Definition wäre, es sind Räume mit einem Abstandsbegriff. Das heißt, Räume sind so zu verstehen, dass damit Mengen gemeint sind. Und zwar Räume, also das sind also Mengen in der Mathematik. Der Begriff des Raumes bedeutet Menge. Also Beispiele für Mengen schauen wir uns mal an. Die reellen Zahlen beispielsweise, die natürlichen Zahlen sind Mengen, aber auch die Menge aller n-komponentigen Vektoren oder aller Punkte im Rn, oder mit diesem Symbol bezeichnet man die Menge aller Zahlenfolgen im Reellen oder die Menge aller Funktionen, die vom Intervall 0 bis unendlich nach R abbilden, oder die Menge aller n-kreuz-m Matrizen. Das alles sind Räume in der Mathematik. Und wenn sich jetzt für diese einzelnen Räume auch noch ein Abstandsbegriff definieren lässt - also ich werd das gleich genau definieren - nennt man das einen metrischen Raum. Wir nutzen auch im Alltag unterschiedliche Abstandsbegriffe, das ist uns meist gar nicht so richtig bewusst. Wenn wir uns mal vorstellen, wir haben hier ein Gitter, das irgendwie Straßen beschreiben soll. Und wenn wir uns jetzt vorstellen, hier sind die Häuser irgendwie angeordnet. Wir möchten von hier, vom Punkt A zum Punkt B gelangen. Dann kann man natürlich sagen, der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, zwischen diesen beiden Kreuzungen - also das Gitter noch mal soll Straßen darstellen, das die Häuser hier. Man könnte natürlich sagen, der Abstand wäre hier der Luftlinienabstand oder - was aber viel sinnvoller ist, denn man bewegt sich üblicherweise nicht über den Luftweg - dass man den Abstand einfach als die Strecke festlegt, die man zurücklegen muss, um von A nach B zu gelangen in der Stadt. Und das könnte einmal so definiert sein, dass man sagt von hier nach da, also diese Strecke, die man hier also hätte, oder die Strecke, die am kürzesten möglich ist. Und das wären also verschiedene Abstandsbegriffe, mit denen man hier operieren würde und es hängt davon ab, mit welchem Abstandsbegriff man arbeitet. Und häufig benutzen wir also wie gesagt verschiedene Abstandsbegriffe. Wenn wir also davon sprechen, was der Abstand zwischen Hamburg und Berlin ist. Was meinen wir dann üblicherweise? Dann meinen wir üblicherweise die Strecke, die wir mit der Autobahn irgendwie zurücklegen. Und wenn wir aber den Abstand zwischen New York und Berlin angeben, dann meinen wir meist die Luftlinie. Das ist hier eben dann klar, dass man wohl nicht die Autobahnstrecke meint. Also jetzt fangen wir mal an, uns den Begriff richtig reinzuziehen, den Begriff des metrischen Raumes. Dazu die abstrakte Definition. Wir wollen das jetzt mal definieren, also metrischer Raum, was ist das? Ein metrischer Raum ist Folgendes: ein Paar (T, d) - so ein Paar aus zwei Objekten. Und zwar bestehend aus einer nichtleeren Menge T. Das ist die ganz abstrakte Definition. Ich werde gleich Beispiele anführen, dann wird das klar, was das hier alles bedeutet. Also einer nichtleeren Menge T - da sind irgendwelche Objekte drinnen. Matrizen, Vektoren, aber nicht alle zusammen, sondern entweder Matrizen oder Vektoren oder Zahlen. Also eine Menge von Objekten und einer Abbildung oder kann auch sein einer Funktion. Und diese Abbildung macht Folgendes - also formal schreibt man Folgendes: Und zwar schreibt man: d ist eine Abbildung, die zwei Argumente hat. Und zwar zwei Argumente aus T. Man kann ziehen ein Objekt aus T und noch irgendein anderes, vielleicht auch dasselbe, und übergibt diese beiden Argumente dem d und heraus kommt eine reelle Zahl und unendlich ist nicht erlaubt. Also das ist eine endliche Zahl, die dabei herauskommt. Also diese Abbildung d, was macht die? Die nimmt zwei Elemente (s, t) - nehmen wir mal an, dass s und t zwei Elemente sind - und bildet die ab auf eine positive Zahl oder 0. Und diese Abbildung heißt Metrik. Und die Metrik hat besondere Eigenschaften. Und zwar 1. ist sie positiv, positiv-definit. Das heißt Folgendes: Für alle x und y aus T - also wir sehen hier, die Metrik nimmt diese beiden Argumente und für alle Argumente sind die Bilder positiv oder 0.  Und 0 ist das Ganze nur genau dann, wenn beide Objekte gleich sind, sonst nicht, nur dann. Dann kommt noch hinzu, dass die Metrik symmetrisch sein soll. Also diese Eigenschaft hier oben heißt positiv Definitheit, positiv-definit. Und was wir hier haben, ist die Symmetrie, man nennt diese Eigenschaft symmetrisch, Symmetrie. Die Metrik muss symmetrisch sein. Und die Symmetrie ist übrigens der Abstand zwischen zwei Punkten. Diese zweite Eigenschaft muss auch für alle x und y gelten aus T. Die letzte Eigenschaft ist die sogenannte Dreiecksungleichung und die muss gelten für alle x, y, z aus T, für alle Objekte aus T und es muss diese Gleichung erfüllt sein. Das bedeutet also - nehmen wir mal hier an, hier haben wir diese drei Punkte und dann soll das eben so sein, dass der Abstand x und z - Entschuldigung, das soll natürlich eine Ungleichung sein. Der soll immer kleiner gleich sein der Summe der Abstände zwischen diesen beiden. Ja das sieht man hier ganz deutlich. Jetzt sehen wir auch, warum das Dreiecksungleichung heißt, weil das ja einem Dreieck entspricht, hier in diesem Bild. Die Summe der Abstände zwischen x und y und y und z ist immer größer oder gleich dem Abstand zwischen x und z. Und wann ist der Abstand gleich? Wenn y hier auf der Verbindungslinie zwischen x und z liegt. Ja, nun ist das zugegebener Maßen natürlich alles sehr abstrakt. Gucken wir uns jetzt noch mal an, was hier steht. Also ein metrischer Raum ist so ein Paar bestehend aus einer Menge und einer Abbildung, genannt Metrik. Und diese Abbildung, die gibt den Abstand zwischen zwei Punkten an in diesem Raum. Wenn man so eine Abbildung findet, die diese drei Eigenschaften hat, dann heißt die 1. Metrik und der Raum ausgestattet mit diesem Abstandsbegriff, mit dieser Abbildung, heißt dann metrischer Raum. Und jetzt gucken wir uns Beispiele an, dann wird das ganz klar. Die erste Aussage ist die, die Abstände sind immer entweder positiv - das ist die erste Eigenschaft hier. Sie sind immer positiv oder 0. Entweder der Abstand ist 0 oder er ist eben positiv und er ist nur dann 0, wenn die beiden Objekte tatsächlich gleich sind oder am selben Punkt sind in diesem Raum. Die Symmetrie ist auch klar. Also der Abstand zwischen x und y ist der Gleiche wie zwischen y und x. Und die Dreiecksungleichung haben wir uns hier auch an diesem Bild veranschaulicht. Jetzt machen wir uns mal an konkreten Beispielen klar, was damit gemeint ist. Das Schöne ist eben die Abstraktheit. Das T kann alles Mögliche sein, das können also natürlich Zahlen sein auf der reellen Linie, auf den reellen Zahlen kennen wir uns ja aus, da ist uns der Abstandsbegriff unmittelbar klar. Vielleicht auch im Rn oder R3, R2 als konkrete Beispiele. Da ist uns vielleicht der Abstandsbegriff klar, aber bei Funktionenräumen oder Räumen von Zahlenfolgen, da ist es vielleicht ein bisschen merkwürdig, aber da kann man tatsächlich auch Abstände definieren. Wenn T ein Raum von Matrizen ist, kann man da auch einen Abstandsbegriff definieren. Gucken wir uns das Mal an. Nehmen wir uns mal das erste ganz einfache Beispiel, die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen, Symbol dafür ist R, wie wir wissen. Und wir kennen die Betragsfunktion. Was macht die Betragsfunktion? Die Betragsfunktion nimmt eine reelle Zahl und bildet sie ab auf eine positive Zahl, nämlich auf ihren Betrag. Also das heißt eine Zahl x aus den reellen Zahlen, daraus wird der Betrag der Zahl x. Fall die Zahl negativ ist - so können wir das definieren - dann soll der Betrag x den Wert -x haben, falls er 0 ist oder größer 0, dann soll x einfach nur x sein. So, das kennen wir. Und mithilfe dieser Betragsfunktion können wir jetzt eine Metrik auf den reellen Zahlen festlegen, aber die ist uns schon von vornherein klar. Wenn wir uns die reelle Zahlenachse vorstellen, dann ist klar, wenn das der Punkt s ist und das der Punkt t, dann ist der Abstand zwischen s und t - wie können wir den definieren - die Metrik? Also wir hoffen, dass die Eigenschaften der Metrik erfüllt sind, das machen wir uns gleich klar, dass das so ist. Das ist der Abstand zwischen s und t und da können wir die Betragsfunktion nehmen und dann ist das einfach der Abstand. Und das ist tatsächlich auch eine Metrik, also symmetrisch, das ist klar. Es ist klar, dass es symmetrisch ist. Wir wissen, dass das, das Gleiche ist, hier s-t. Und insofern ist die Symmetrieeigenschaft gegeben. Wie ist das denn mit der Positivität? Also es ist klar, dass die Betragsfunktion für alle s und t gilt auf der reellen Achse. Dass der Betrag entweder größer gleich 0 oder gleich 0 ist. Übrigens kann man die Betragsfunktion auch anders definieren, das ist vielleicht ein bisschen einfacher. Und zwar man quadriert die Zahl und zieht dann die Wurzel. So geht das auch, so habe ich das auch in der Schule eingeführt. So, was haben wir dann noch? Wir haben dann noch die Dreiecksungleichung zu überprüfen, ist die erfüllt? Da nehmen wir uns drei Punkte s, t und z. So überlegen wir uns mal, wie das aussehen könnte. Irgendein Punkt, wenn der hier ist, der Punkt z. Wie ist das dann mit der Summe der Abstände? Der Abstand zwischen s und t ist der hier. Und was haben wir hier? Die Summe der Abstände zwischen s und z und t und z. Und uns ist natürlich klar, dass der Abstand dann größer ist und wenn z drin liegt, dann ist er gleich. Wenn z außerhalb liegt, ist die Summe der Abstände immer größer. Insofern ist die Dreiecksungleichung auch erfüllt und wir haben also diese drei Eigenschaften und uns ist auch klar, wann ist das 0? Natürlich nur genau dann, wenn die beiden Zahlen gleich sind, das heißt, s=t ist. Also nur dann, wenn die beiden gleich sind, ist das erfüllt. Also wenn das 0 ist, dann folgt daraus dieses hier und das ist trivial, wenn die beiden gleich sind, dann folgt daraus, dass die Metrik auch gleich ist. Also das ist tatsächlich eine Metrik. Und dann ist also das Paar bestehend aus dieser so definierten Abbildung ein metrischer Raum. Es gibt noch viele verschiedene Möglichkeiten Metriken auf den reellen Zahlen einzuführen. Nehmen wir mal eine weitere Metrik, von der ich euch aber nicht zeige, dass sie eine ist. Nenne ich sie mal d'. Und die können wir so definieren, dass wir den Arcustangens nehmen der beiden Zahlen und dann die Bilder des Arcustangens voneinander abziehen und dann den Betrag betrachten. Das wäre auch eine Metrik und wie müssen wir uns das vorstellen, wie sieht das aus? Der Arcustangens ist eine Funktion, die so verläuft, wird immer flacher. Also das ist die Kurve Arcustangens x und geht am Ende gegen π/2 für große x. Und wenn wir uns jetzt überlegen, was das für die Abstände bedeutet, die Abstände auf der reellen Achse zwischen s und t. Wenn s und t hier vorne sind in diesem Bereich - also hier sehen wir, da der Abstand ist der Abstand zwischen den Bildern fast 0. Wenn s und t aber hier vorne liegen würden, dann wäre der Abstand etwas größer. Dann könnte man also sagen: Nahe Abstände haben größeren Abstand unter dieser Metrik, das ist einfach ein anderer Abstandsbegriff, und weiter entfernte Objekte sind, egal wie weit sie selber voneinander in diese Metrik entfernt sind, sie sind unter dieser Metrik dann nicht so weit entfernt. Das entspricht aber durchaus auch der menschlichen Wahrnehmung. Wenn wir uns mal überlegen, wie weit aus unserer Sicht vielleicht irgendwie Toronto oder New York entfernt. Ja von hier aus gesehen sind beide gleichweit weg, also die sind ganz nah beieinander. Aber Berlin - Hamburg, das ist schon ziemlich weit voneinander entfernt. Aber Toronto und New York sind natürlich in dieser Metrik über die Luftlinie natürlich viel viel weiter entfernt als Hamburg und Berlin. So, also diese Metrik ist jetzt nicht künstlich, sondern es ist einfach eine Metrik. Sie hat genau die Eigenschaften einer Metrik, insofern wäre auch dieses Paar bestehend aus dieser etwas kurios anmutenden Metrik der reellen Zahlen also auch ein metrischer Raum. Also die reellen Zahlen haben wir jetzt  mit einem Abstandsbegriff. So, das nächste Beispiel, da nehmen wir den Rn. Was können wir da einführen? Da können wir also, für s und t aus dem Rn, können wir folgende Metrik einführen. Also s sieht dann etwa so aus, es ist ein Objekt, das n Komponenten hat, n reelle Komponenten und t - wir wollen mal t so aufschreiben. Und was wir jetzt hier machen können, nennen wir die Mal Metrik d1, das war einfach die Komponentenweise. Die Komponenten nehmen wir den Betrag, wir nehmen die Differenz der komponentenweise Differenz und addieren die Beträge der Komponentendifferenzen. Und zwar bilden wir die Differenz zwischen s1 und t1 usw. sn uns tn und dann schauen wir uns also die Summe dieser Abstände an. Und das ist auch ein Abstandsbegriff im Rn. Wenn wir versuchen uns das mal zu veranschaulichen, im R2 - zwei Punkte im R2 - dann ist das, was man da macht um den Abstand zwischen diesen beiden Punkten s und t zu bestimmen, da addiert man den Abstand der Komponenten. Wenn das s1 ist, das t1, dann nimmt man diesen Abstand, den hier, und addiert beides zusammen. Das entspricht gerade dem, was man in der Stadt hat mit diesen Straßen, die im Rechtenwinkel zueinander angeordnet waren, dass man also diesen Weg hier zurücklegen muss, um von s nach t zu gelangen. Also diese Metrik entspricht diesem Abstandsbegriff. Nehmen wir noch eine andere Metrik, die sogenannte Euklidische Metrik. Die ist so definiert: Man summiert also Folgendes, die Quadrate der Komponentenabstände und zieht am Ende die Wurzel. Das ist die sogenannte Euklidische Metrik, benannt nach dem griechischen Mathematiker Euklid - Euklidische Metrik. Ja, was ist die Euklidische Metrik für den R2? Das ist ganz einfach zu verstehen. Wir haben wieder zwei Punkte s und t und dann haben wir also: Unter der Euklidischen Metrik nehmen wir die Quadrate der Abstände und addieren sie und ziehen dann die Wurzel. Und das entspricht genau dem Satz des Pythagoras. Wir haben dann hier also den Abstand zwischen s und t, dieser Abstand, das ist diese Streckenlänge, das ist d, der Abstand unter dieser Metrik d2. So, also haben wir jetzt für den Rn zwei mögliche Abstandsbegriffe kennengelernt. Es gibt noch weitere, nehmen wir doch mal noch einen. Wir können ja auch uns die Komponenten anschauen, die Differenzen bilden und dann nach dem Maximum suchen. Also wir suchen nach dem Komponentenabstand, der am größten ist. Und die Zahl können wir als Abstand festlegen. Das sind also drei Möglichkeiten, im Rn Metriken zu definieren und dann wären also diese drei Paare separat für sich genommen metrische Räume. Alles 3 sind also mögliche metrische Räume, wobei ich jetzt nicht gezeigt habe, dass das tatsächlich Metriken sind, dass die diese Eigenschaften haben. Das könnt ihr Mal alleine versuchen, das ist nicht so schwer. Nehmen wir ein weiteres Beispiel. Nehmen wir uns mal den Raum der Zahlenfolgen. Wie kann man das aufschreiben? Das schreibt man so: das ist eine Teilmenge dieser Zahlenfolge, ist ja eine Teilmenge der reellen Zahlen, wenn die Komponenten alle reell sind. Den Raum der Zahlenfolgen schreibt man eben so. Und wir betrachten mal auf dem Raum der Zahlenfolgen einen Unterraum, den schreibt man so. Das ist der Raum der sogenannten quadratsummierbaren Folgen, das sind alle Folgen für alle n aus den natürlichen Zahlen. Das sind die folgenden Zahlenfolgen, die die Eigenschaft haben, dass man ihre Quadratsumme bilden kann und heraus kommt etwas Endliches. Also hier soll eine endliche, positive Zahl herauskommen und nicht unendlich. Die Folgen mit dieser Eigenschaft sind ja nicht, also wenn ihr euch vorstellt ... Also beispielsweise die Folge, die ist nicht dadrin. Diese Folge ist nicht in dem Raum der quadratsummierbaren Folgen. Das funktioniert mit dieser Folge nicht. Weil es ist, die Summe über alle Einsen und das geht gegen unendlich. Also ihr könnt euch so etwas vorstellen. Nehmen wir mal eine Folge, die diese Eigenschaft hat 1/2, 1/4, 1/16, wie auch immer. Also 1/4, das ist 1/8 dann als Nächstes, nehmen wir das Mal so. Also wie kann man das schreiben? Als (1/2)n-1 und jetzt habe ich mit der 1 angefangen, dann muss ich auch im Index 1 schreiben. Von 1 beginnend eben geht das so weiter. Die Potenzen von 2 im Nenner, das ist auf jeden Fall, dieses b, das ist da in diesem Raum drin. Können wir den auf diesem Raum den Abstandsbegriff definieren? Das können wir. Auf dem Raum der quadratsummierbaren Folgen können wir eine Metrik festlegen. Nehmen wir mal an s und t sind zwei quadratsummierbare Folgen, dann können wir einfach Folgendes machen: Wir können diese Summe bilden. Und zwar, wir ziehen, um das dann gleich zu zeigen, dass es geht, bilden wir die Differenzen und dann ziehen wir am Ende die Wurzel daraus. Das wäre also auch eine Metrik und der metrische Raum wäre dann also der Raum der quadratsummierbaren Folgen, ausgestattet mit dieser Metrik. Wobei s und t jetzt also 2 quadratsummierbare Folgen sind. Und so kann man also auch ganz abstrakte Räume mit einer Metrik ausstatten und so von Abständen sprechen. Und wenn diese Metrik 0 ist, das ist uns vielleicht klar, wenn diese Metrik den Wert 0 ergibt, dann heißt das, dass - wir haben hier quasi eine Summe über unendlich viele Summanden und wenn die 0 sind, dann müssen alle positiven Summanden, alle 0 sein. D.h., dann haben wir es tatsächlich mit derselben Folge zu tun. Insofern kann man hier in einem Raum der Folgen - wenn wir uns den mal hier so vorstellen, und das ein Punkt eine Folge darstellt -  tatsächlich auch einen Abstandsbegriff festlegen. Wie ist das denn jetzt in diesem Raum? Kann man da eine Metrik festlegen? Was ist da mit dieser Metrik, was passiert da? Also wenn wir diese Metrik nehmen, die wir gerade gesehen haben, also das war die Quadrate der Abstände summiert, ist das also eine Metrik auf dem Raum der Folgen, auf dem Raum der quadratsummierten Folgen, wie gesagt, ist das nicht so schwer zu zeigen. Aber wie ist das denn hiermit? Ist das eine Metrik, kann man in diesem Raum Abstände hiermit vermessen? Hat dieses d wirklich die Eigenschaften? Und die Antwort ist: nein. Das Problem ist hier - nehmen wir mal nur diese beiden, die wir gerade schon einmal hatten, hier, die Folge die immer nur 1 ist und die, die immer nur die 2 hat. Wenn wir die Differenz der Beiden bilden, und dann über alle Abstände summieren, was kommt dann heraus bei dieser Metrik? Was ist der Abstand? Wenn wir die Abstände berechnen, die Quadrate, das sind die Abstände hier. Immer 1, 2-1 und so weiter, immer 1, also im Quadrat auch. Und wenn wir dann daraus die Summe bilden, dann geht das gegen ∞. Insofern ist also die Frage hier klar zu verneinen. Nein. Diese so definierte Abbildung ist zwar eine Metrik auf dem Raum der Quadratsummierer Folgen, aber nicht im Raum der Zahlenfolgen. Insofern kann man so zumindest keinen Abstand im Raum der Zahlenfolgen allgemein definieren. Nur in einem Unterraum der Quadratsummierbaren, da funktioniert das zunächst erst mal, wie wir gesehen haben. So, ein letztes Beispiel noch. Nehmen wir mal den Raum der stetigen Funktion. Schreibt man so: c. c steht für Englisch continues und nehmen wir den Raum der stetigen Funktion, die auf dem Intervall 0,1 leben. Das sind also alle Funktionen, die auf dem Intervall zwischen 0 und 1 leben und nach R abbilden und dabei die Eigenschaft haben, stetig zu sein. Nehmen wir die mal. Können wir dafür einen Abstandsbegriff auf diesem Raum festlegen? Ja, Antwort ist, das können wir. Und die Metrik, wenn f und g - sagen wir mal f und g sind jetzt zwei solcher Funktionen. g und f sind also Elemente der Menge. Dann können wir den Abstand wie folgt festlegen. Wir können auf dem Intervall 0,1 uns auf die Suche machen nach dem größten Abstand der Bilder. Wir suchen das Maximum. So schreibt man das Maximum für alle s aus 0,1. Dafür suchen wir das Maximum dieser Abstände der Bilder. Und heraus kommt da eine Zahl und man kann jetzt zeigen, dass das tatsächlich eine Metrik ist und damit hätte man auf diesem Raum eine Metrik definiert und einen Abstandsbegriff. Man könnte also sagen, wie weit zwei Funktionen voneinander entfernt sind oder wie verschieden sie sind. Und dieses Paar wäre dann ein metrischer Raum. Also jetzt denke ich, ist der Begriff des metrischen Raums klar geworden. Und wir sehen also, das ist ein sehr abstrakter Begriff, aber doch recht mächtig. Man kann damit alles Mögliche machen und sogar in Funktionenräumen von Abständen sprechen. Und wenn der Abstand zwischen diesen beiden Funktionen 0 ist, dann bedeutet das, dass das Maximum des Abstandes der Bilder für alle s 0 ist. Und was bedeutet das? Das bedeutet, sie sind tatsächlich gleich, sie sind die gleichen Funktionen. Insofern ist das hier also tatsächlich - mit den gegebenen Eigenschaften, die man leicht zeigen kann als Übungsaufgabe - eine Metrik. Dann bedanke ich mich fürs Zuhören und das war es schon.

Informationen zum Video
4 Kommentare
  1. Default

    Entschuldige bitte, das Mikro hat irgendwie mein natürliches Speichelgeschwappe im Mund mit aufgezeichnet, es war kein Bonbon!

    Von Lutz Klaczynski, vor etwa 5 Jahren
  2. Teilchenkollision

    Super erklärt. Aber bei dem Bonbon-Geschmatze krieg ich echt Zustände...

    Von Silence, vor mehr als 5 Jahren
  3. Default

    Klasse Lutz,

    gefällt mir sehr gut, so ein abstraktes Thema so präzise und leicht verständlich darzustellen, vielen Dank!

    Von Badma, vor mehr als 5 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Super Lutz,
    :) ich finde deinen Vortragsstil wirklich toll.
    Danke für das Video.

    Von Steve Taube, vor mehr als 7 Jahren