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Transkript LR-Zerlegung ohne Pivotwahl

Hallo,
ich bin Christoph und in diesem Video geht es um die LR-Zerlegung einer quadratischen Matrix. Gegeben ist uns also eine quadratische Matrix A. Berechnen sollen wir nun eine Matrix L und eine Matrix R, sodass das Produkt L×R=A ergibt. L ist dabei eine linke, untere Dreiecksmatrix und R, eine rechte, obere Dreiecksmatrix. Das heißt, in der Matrix L stehen oberhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen und in der Matrix R stehen unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen. Dabei gehen wir wie folgt vor.
Die Matrix A wird durch Gauß-Transformation auf Zeilenstufenform gebracht. Das heißt, unterhalb der Hauptdiagonalen sollen nur Nullen stehen. Gauß-Transformation bedeutet, dass wir mithilfe der Hauptdiagonalelemente die Nullen schaffen, indem wir eine Zeile, mit dem Vielfachen multiplizieren und auf eine andere Zeile draufaddieren. Kommen wir nun zum ersten Beispiel. Einer 3x3 Matrix. Als Erstes wollen wir in der ersten Spalte von A unterhalb des Hauptdiagonalelementes 1, Nullen schaffen. Dazu müssen wir die erste Zeile mit -1 multiplizieren und auf die zweite Zeile addieren und die erste Zeile mit -2 multiplizieren und auf die dritte Zeile addieren. Als Nächstes wollen wir in der zweiten Spalte von A eine 0 schaffen, dort wo jetzt die -2 steht. Dies tun wir wieder mithilfe des Hauptdiagonalelementes, also der 2. Wir müssen also die zweite Zeile mit 1 multiplizieren und auf die dritte Zeile addieren. Wir haben nun unser Ziel erreicht, die Matrix A auf Zeilenstufenform zu bringen. Also haben wir eine obere Dreiecksmatrix geschaffen. Diese Matrix ist auch genau die Matrix R, die wir suchen.
Die Matrix L soll eine untere Dreiecksmatrix sein, das heißt, hier stehen oberhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen. Bei der LR-Zerlegung stehen auf der Hauptdiagonalen von L Einsen. An der Stelle eines Sternchens steht jetzt der Faktor, mit dem multipliziert wurde, um in der Matrix R an dieser Stelle die 0 zu erzeugen. Allerdings mit umgekehrtem Vorzeichen. Klingt etwas kompliziert, ist es aber gar nicht, wie ihr gleich sehen werdet. Als Erstes hatten wir in der ersten Spalte von A Nullen erzeugt. Um an der zweiten Stelle eine 0 zu erzeugen, hatten wir mit -1 multipliziert. An der zweiten Stelle, in unserer Matrix L, in der ersten Spalte, steht nun diese -1 mit umgekehrtem Vorzeichen, also +1. Um an der dritten Stelle eine 0 zu erzeugen, hatten wir mit -2 multipliziert. Also steht in der Matrix L an dieser Stelle +2. In der zweiten Spalte hatten wir mit 1 multipliziert, also steht in unsere Matrix L, in der zweiten Spalte eine -1. War doch ganz einfach.
Als zweites Beispiel wollen wir nun von einer 4x4 Matrix die LR-Zerlegung berechnen. Das Vorgehen ist dabei dasselbe wie vorhin. Als Erstes wollen wir in der ersten Spalte von A Nullen erzeugen. Dies tun wir wieder mithilfe des Hauptdiagonalelementes, also der 2. Wir müssen also die erste Zeile mit 2 multiplizieren und auf die zweite Zeile addieren. Dann die erste Zeile mit -3 multiplizieren und auf die 3. Zeile addieren und dann die erste Zeile mit -1 multiplizieren und auf die vierte Zeile addieren. Weiter geht es mit der zweiten Spalte. Um mithilfe der zweiten Zeile dort Nullen zu erschaffen, müssen wir die zweite Zeile mit -2 multiplizieren und auf die dritte Zeile addieren und anschließend die zweite Zeile mit 1 multiplizieren und auf die vierte Zeile addieren. Nun müssten wir in der dritten Spalte Nullen erzeugen. Dort steht aber schon eine 0. Wir müssen also die dritte Zeile im Prinzip mit 0 multiplizieren und auf die vierte Zeile addieren. Damit haben wir wieder Zeilenstufenform erreicht, unsere Matrix R also gefunden.
Um in der ersten Spalte Nullen zu erzeugen, hatten wir die erste Zeile mit 2,  -3 und -1 multipliziert. In der ersten Spalte unserer Matrix L stehen nun also -2, +3 und +1. Hier immer unbedingt an das umgekehrte Vorzeichen denken. Für die zweite Spalte hatten wir die Multiplikationsfaktoren -2 und +1, in der zweiten Spalte unserer Matrix L müssen nun also +2 und -1 stehen. Die 0, mit der wir theoretisch in der dritten Spalte multipliziert haben, steht nun auch in der dritten Spalte unserer Matrix L.
Zum Abschluss wollen wir die Vorgehensweise bei der LR-Zerlegung noch einmal zusammenfassen. Die Matrix A wird durch Gauß-Transformation auf Zeilenstufenform gebracht. Die so entstehende obere Dreiecksmatrix ist unsere Matrix R. Die Matrix L enthält schließlich die Faktoren, die wir bei der Gauß-Transformation benutzt haben, mit umgekehrtem Vorzeichen. Das war es so weit erst mal zur LR-Zerlegung ohne Pivotwahl.
In einem weiteren Video erkläre ich, wie man bei den beiden Arten der Pivotwahl vorgeht.

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