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Transkript Kurvenintegrale von Vektorfeldern – Theorie

In diesem Video besprechen wir die allernotwendigen Anfangsgrundlagen über Kurvenintegrale von Vektorfeldern. Ich habe hier schon was vorbereitet an der Tafel und wir haben zwei Grundobjekte: Einmal eine Kurve (Kurve γ), hier ist sie auf der Tafel, und dann ein Vektorfeld F. Was bedeutet das? Jedem Punkt der Kurve γ ist ein Vektor zugeordnet und ich habe das mit roten Pfeilen so angedeutet. Ihr sollt es euch so vorstellen, dass wirklich aus jedem Punkt der Kurve γ ein Pfeil herausragt. Und diese Ansammlung von Pfeilen auf der Kurve kann man integrieren. Und wenn die Ansammlung von Pfeilen als Vektorfeld F bezeichnet wird, dann spricht man von Kurvenintegral des Vektorfeldes F längs der Kurve γ. Und wir wollen zuerst besprechen: Wie macht man denn das technisch? Wie berechnet man dieses Integral? Erstens, und dann besprechen wir einige technische Einzelheiten zu Rechenformeln und dann gebe ich euch die physikalische Interpretation von diesem Begriff "Kurvenintegral eines Vektorfeldes", und zwar: Was soll man denn darunter physikalisch verstehen? Ich will aber nichts von dem, was ich da behaupte, beweisen. Das würde den Rahmen dieses Beitrages sprengen. Gut, dann werden wir ausführlicher. Also wir haben eine Kurve γ und ein Vektorfeld F, das auf der Kurve γ liegt, und die Kurve γ liegt entweder auf der Ebene im zweidimensionalen Raum oder im dreidimensionalen Raum. Also ich habe hier geschrieben: Sei γ eine Kurve in Rn (wobei n entweder 2 für die Ebene oder 3 für den dreidimensionalen Raum ist). Und die Kurve wird technisch durch eine Parametrisierung beschrieben. Hier ist sie: φ, Abbildung, die auf einem Intervall definiert ist (a, b) und ein Vektorfeld F, hat formal gesehen als Definitionsbereich die Kurve γ, d.h. jedem Punkt der Kurve γ wird ein Vektor zugeordnet. Und ich setze voraus, dass das Vektorfeld stetig ist, damit wir bequem rechnen können. Also die Stetigkeitsvoraussetzungen werden wir nicht mehr besprechen, das werden wir als gegeben voraussetzen, das wird auch so immer sein. Ja, und das Kurvenintegral des Vektorfeld F längs der Kurve γ bezeichnet man so. Integral, γ, F und dann Punkt ds mit Pfeil, und dieses Integral berechnet man nach dieser Rechenformel hier. Ja? Hier entsteht jede Menge, ich kommentiere. Man bildet die Ableitung der Parametrisierung φ', dann bekommt man einen Vektor, ja? Also φ bildet nachher n ab und φ' wird dann auch ein eindimensionaler Vektor sein. Und dann verknüpft man F des Vektorfeldes F mit der Parametrisierung φ und bekommt noch einen Vektor und von diesen 2 Vektoren berechnet man das Skalarprodukt und dieses Skalarprodukt integriert man bezüglich des Parameters t von a bis b. Und ab, weil der Definitionsbereich der Parametrisierung. Das ist die Rechenformel. Sicherheitshalber erinnere ich euch daran, wie man dieses Skalarprodukt berechnet. Ich hoffe, jeder kennt das, aber sicher ist sicher. Wobei das Skalarprodukt wie folgt erklärt ist: Vektor mit Komponenten (x1, x2, x3)×Vektor mit Komponenten (y1, y2, y3). Also das Skalarprodukt diesen 2 dreidimensionalen Vektoren berechnet man nach der folgenden Formel: Man multipliziert die entsprechenden Komponenten (x1 multipliziert mit y1, x2 multipliziert mit y2 usw.) und dann addiert man diese Produkte. Also x1×y1+x2×y2+x3×y3. So ist das Skalarprodukt definiert und im dreidimensionalen Fall entsprechend dem zweidimensionalen Fall und dieses Skalarprodukt ist eben hier gemeint, dieses Skalarprodukt steht hier unter dem Integral. Ja, das ist die Definition des Skalarproduktes für die dritte Dimension. Für die zweite Dimension sieht die Definition entsprechend aus, also ich korrigiere das mit der Wischmethode. Wenn ich da jetzt das Skalarprodukt von 2 zweidimensionalen Vektoren bilden muss, dann sieht die Formel so aus. Das ist die Formel für das zweidimensionale Skalarprodukt. Gut, nun ist es so, dass das Kurvenintegral in der Regel so bezeichnet wird, wie ich es hier angegeben habe. Es gibt aber andere Notationsvarianten und die möchte ich kurz besprechen. Also Notationsvarianten: Dieses "ds mit Pfeil" hat rein symbolische Bedeutung. Das deutet an, dass es eben ein Kurvenintegral eines Vektorfeldes ist. Und dieses "ds" nennt man Streckenelement. Die Bedeutung von dem Streckenelement ist nicht ganz sinnlos. Auf dieser Seite gibt es ein Video zu Kurvenintegralen von Funktionen und in diesem Video erläutere ich den Sinn der Namensgebung "Streckenelement". Wenn Interesse daran besteht, warum man das Streckenelement nennt, dann schaut euch ruhig dieses Video an, da erkläre ich das. Das ist aber für alles Weitere nicht so wichtig, ja? Das ist einfach nur Schmuck sozusagen, dieses "ds". Und dieses Streckenelement das lehnt sich an den deutschen Sprachgebrauch. Das "s" steht für "Strecke", also im englischen Sprachgebrauch spricht man nicht von Streckenelement, sondern von "line element", ja? Und deswegen bezeichnet man das Kurvenintegral folgendermaßen: Also dl mit Pfeil und "l" ist das vektorielle Streckenelement. "l" steht für das englische Wort "line". Und es gibt auch andere Notationsvarianten. Man kann, wenn das Vektorfeld explizit bekannt ist, man kenn ja die Formeln für jede Komponente des Vektorfeldes F, dann kann man das Kurvenintegral so bezeichnen: Also q-Integralzeichen, darunter die Kurve γ, über die integriert wird, und dann schreibt man die erste Komponente des Vektorfeldes F(explizit die Formel von meinetwegen x,y,z)dx+(die zweite Komponente des Feldes F, und zwar explizit ihre Abhängigkeit von den Variablen x,y,z)+(F3, die dritte Komponente) und dz. Man kann auch so die Kurvenintegrale bezeichnen, das ist genau dasselbe. Und meinetwegen kann es so aussehen: Als F1 hat man dann irgendeine Formel x+y und als F2 hat man auch irgendeine Formel, meinetwegen sin x oder sin z dy und F3 ist meinetwegen 0, dann braucht man nicht zu schreiben. Z.B. das würde eine Variante zur Bezeichnung des Vektorfeldes sein mit der ersten Komponente x+y, der zweiten Komponente sin z und der dritten Komponente 0. So kann man das aufschreiben. Sieht eigentlich sehr verschieden von der ursprünglich eingeführten Bezeichnung aus, aber das sieht man auch in der Literatur, diese Notation. Gut, als nächstes möchte ich euch einige technische Bemerkungen über diese Rechenformel machen. Sehr wichtig ist, zu wissen, wie man dieses φ' interpretiert. Und es ist so, dieses φ' ist ein Vektor und dieser Vektor liegt immer tangential an die Kurve γ. Und diesen Punkt möchte ich ausführlicher besprechen. Nun opfere ich die Rechenformel und mache ein paar Bemerkungen. Also das ist das, was man sich bei dem Thema Kurvenintegrale merken sollte: Wenn man die Kurve ableitet, dann liegt der Ableitungsvektor immer tangential an der Kurve. Also: Bemerkungen: Die erste Bemerkung ist die folgende: Nun habe ich meine Kurve γ und es gibt die Parametrisierung φ, also wie gehabt, wie ich das erläutert habe. Wenn ich die Parametrisierung φ in einem bestimmten Punkt ausrechne t, also für einen bestimmten Parameter ausrechne, bekomme ich einen Punkt auf der Kurve. Nun, wenn ich die Parametrisierung ableite, diese Ableitung ist dann ein Vektor und dieser Vektor wird immer tangential sein an die Kurve γ im Punkt φ(t). Vielleicht eine kurze Bemerkung: Also in dieser Überlegung sind φ(t) und φ'(t) Elemente des Raumes n, wobei n=2 oder 3 ist. Und ich interpretiere die Elemente von n mal als Punkte und mal als Vektoren, je nach dem Zusammenhang. Je nachdem, wie is mir bequem ist. Und φ(t) habe ich als einen Punkt interpretiert auf der Kurve, φ' habe ich aber als Vektor interpretiert. Und den Anfangspunkt von Vektor φ' versetze ich in den Punkt φ(t). Also ich kann mir vorstellen, dass das verwirrend ist, dass man formal gesehen dieselben Objekte unterschiedlich zeichnerisch darstellt, aber das ist so üblich. Je nach Situation interpretiert man die Elemente von n mal als Punkt, mal als Vektoren. Gut, und das ist so wichtig, dass ich das klar festhalten möchte als Bemerkung: Der Vektor φ'(t) ist tangential an die Kurve γ im Punkt φ(t), also wichtig, dass diese Größen φ und φ' sich auf den selben Parameter beziehen, also für denselben Parameter ausgerechnet sind. Wenn diese t gleich sind, dann ist diese Bemerkung wahr. Und wenn φ' tangential an die Kurve liegt, dann nennt man φ' auch den Tangentialvektor. Das ist die eine wichtige Bemerkung. Nun, wenn wir das wissen, dann noch eine wichtige Sache. Es ergibt sich ein hübscher Spezialfall, wenn das Vektorfeld, dessen Kurvenintegral wir bestimmen sollen, senkrecht auf der Kurve steht. Also wir haben jetzt beispielsweise eine Kurve γ und das Vektorfeld, das wir integrieren sollen, steht immer senkrecht auf der Kurve. Was heißt denn senkrecht auf der Kurve? Das heißt, in jedem Punkt der Kurve, wenn die Kurve glatt ist, dann kann man eine Tangente anlegen, das ist eine Gerade, und das Vektorfeld an dem entsprechenden Punkt steht dann senkrecht auf der Tangentialgeraden. Und wenn das erfüllt ist, dann sagt man, dass das Vektorfeld F senkrecht auf der Kurve steht. So. Und wenn Vektorfeld F auf der Kurve γ senkrecht steht, dann ist das Kurvenintegral längs der Kurve γ=0. Das ist eine wichtige Eigenschaft, die man sich merken soll, und das wird in einigen Fällen die Rechnungen abkürzen. Also: Steht das Vektorfeld F senkrecht auf γ, so gilt, das Kurvenintegral des Vektorfeldes F längs γ ist 0. Da braucht man nicht zu rechnen. Ich habe am Anfang von diesem Video eine Formel präsentiert, die ist ja ziemlich lang. Man bildet ein Skalarprodukt und aus dem Tangentialvektor und dem Vektorfeld ausgewertet unter der Parametrisierung und dieses Skalarprodukt integriert man auf dem Definitionsbereich der Parametrisierung. Wenn man weiß, dass das Vektorfeld F senkrecht auf der Kurve steht, dann braucht man diese Formel nicht zu bemühen, man schreibt sofort: Ergebnis ist 0. Und in den nächsten Minuten wollen wir uns klarmachen, warum denn das so ist. Ja, und dabei machen wir Gebrauch von der Interpretation der Ableitung φ' als Tangentialvektor an die Kurve. Also wir wollen uns überlegen, warum denn das so ist. Wenn das Vektorfeld F senkrecht auf der Kurve steht, das heißt (vielleicht mache ich eine größere Zeichnung...), und hier ist der Punkt φ(t) (hier ist ein Abschnitt der Kurve γ, hier ist der Punkt φ(t)) und im Punkt φ(t) berechnen wir das Vektorfeld F. D. h. wir berechnen das Vektorfeld F im Punkt φ(t) und dann haben wir einen Tangentialvektor und dieser Tangentialvektor ist eben φ'(t). Wir haben so ein Bildchen und wenn das Vektorfeld F senkrecht auf der Kurve γ steht, dann steht er auch senkrecht auf dem Tangentialvektor. Und in dieser Situation, wenn wir das Skalarprodukt von F und φ' berechnen, dann ist dieses Skalarprodukt gleich 0. Das schreibe ich explizit hin. Das ist die Eigenschaft der Skalarprodukte: Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist. Wenn das Vektorfeld senkrecht auf dem Tangentialvektor steht, dann ist Skalarprodukt von dem Vektorfeld in dem entsprechenden Punkt mit dem Tangentialvektor an die Kurve, das ist gleich 0. Und dieses Bildchen gilt in jedem Punkt der Kurve in der Situation der Bemerkung 2. In jedem Punkt der Kurve haben wir, dass das Skalarprodukt gleich 0 ist. Nun, ja, was darf ich denn hier opfern? Ja, kompliziert. So, dann opfere ich das erste Bild. Und dann, ich erinnere euch, es gibt ja Rechenformeln für das Kurvenintegral, also man integriert von a bis b, ab ist der Definitionsbereich der Parametrisierung, und unter dem Integral steht eben Skalarprodukt, Kringel, φ, und φ' dt. Der Kürze halber habe ich die Abhängigkeit von Parameter t unterdrückt. Ich schreibe nicht, dass φ' von t abhängig ist, der Kürze wegen. Und wir haben uns überlegt, wenn das Vektorfeld auf der Kurve senkrecht steht, dann ist dieses Skalarprodukt für φ im Wert von t gleich 0. Also in diesem Integral ist der Integrant=0 und das Integral selbst wird dann gleich 0 sein. Ja, das war die Erklärung und das war eben die zweite Bemerkung. Die Erklärung wische ich weg und die Bemerkung bleibt stehen. Also steht das Vektorfeld senkrecht auf der Kurve γ, dann ist das Kurvenintegral von F längs γ gleich 0. Da braucht man nicht zu rechnen, man weiß automatisch, dass das Integral 0 ist. Dann als nächstes bespreche ich die physikalische Interpretation von Kurvenintegralen, wenn Vektorfelder integriert werden. Und das ist zu physikalisch. Also ich kann sagen, was das physikalisch bedeutet, aber ich kann auf die Physik nicht eingehen, weil das den Rahmen von diesem Video sprengen wird einerseits, andererseits ist es wichtig, zumindest gehört zu haben, dass die Kurvenintegrale von Vektorfeldern etwas mit der physikalischen Arbeit zu tun haben. Also: Physikalische Interpretation ist der nächste Punkt. Und dazu habe ich zwei Sachen zu sagen. 1. Stellt euch vor, im Raum bewegt sich ein Massenpunkt längs einer Kurve γ. Und im Raum wirkt eine Kraft, im Raum greift auf jeden Massenpunkt eine Kraft. Und diese Kraft ist beschrieben durch ein Vektorfeld F. Und ein Massenpunkt bewegt sich längs der Kurve γ, das habe ich schon gesagt. Wenn man das Kraftfeld längs der Bewegungskurve integriert, dann bekommt man eine Zahl und diese Zahl bedeutet physikalisch die Arbeit, die das Feld am Massenpunkt verrichtet. Das ist die physikalische Interpretation. Ich halte das fest an der Tafel: Also, bewegt sich ein Massenpunkt längs einer Kurve γ unter der Einwirkung eines Kraftfeldes F, so ist das Kurvenintegral des Feldes F längs der Kurve γ die physikalische Arbeit, die das Feld an diesem Massenpunkt während der Bewegung verrichtet. Gut, das ist die physikalische Interpretation und hier möchte ich einen Schnitt machen, da möchte ich nicht weiter drüber reden. Also man kann natürlich mit dem, was man so standardmäßig in der Schule über physikalische Arbeit lernt, anfangen und man kann auch erklären, wieso dann dieses Integral dann tatsächlich physikalische Arbeit ist, aber das wird viel zu lange dauern. Okay, wir merken uns dieser physikalischen Interpretation und wegen dieser Interpretation nennt man die Kurvenintegrale von Vektorfeldern auch Arbeitsintegrale. So ist überhaupt dieser Integralbegriff entstanden, aus der Physik. Man nennt diese Integrale auch gerne Arbeitsintegrale. Nun noch eine physikalische Interpretation. Sie ist auch sehr interessant und wird verständlicher sein. Ein besonderer, spezieller Fall ist, wenn die Kurve γ geschlossen ist. Und da brauche ich Platz, vielleicht wische ich die erste Interpretation weg. Besonderer Fall ist, wenn die Kurve γ geschlossen ist. Und wir schauen uns eine solche Kurve an. So kann sie aussehen. Eine Kurve γ nennt man geschlossen, ich erinnere euch, wenn ihr Anfangspunkt und ihr Endpunkt übereinstimmen. Also hier fängt sie an meinetwegen, man macht einen Umlauf und dann kehr sich in denselben Punkt zurück, in den Anfangspunkt. Und diesen Fall nennt man dann eine Kurve γ geschlossen, so eine Schleife. Und das Vektorfeld F kann ja verschieden aussehen. Das Vektorfeld F kann so um die Kurve γ sich drehen, kann dort eigentlich tangential an die Kurve γ sein (fast tangential). Ja, das Vektorfeld F kann um die Kurve γ so hübsch zirkulieren. Es kann aber so sein, dass man ein anderes Feld hat G. Das Feld G steht immer senkrecht auf der Kurve γ, meinetwegen so. Na, also dieser Pfeil ist nicht wirklich senkrecht, aber überwiegend steht das Feld G senkrecht auf der Kurve γ und das Feld F dreht sich um die Kurve γ. Und das Kurvenintegral um eine geschlossene Kurve γ ist auch ein Maß für die Zirkulation des Feldes um die Kurve γ. Und ich habe schon besprochen in diesem Video: Wenn ein Vektorfeld, hier in diesem Fall G, senkrecht auf der Kurve γ steht, dann ist das Kurvenintegral von G längs γ gleich 0, d. h. das Vektorfeld G zirkuliert nicht um die Kurve γ. Und es so, wenn ein Vektorfeld sich um die Kurve γ dreht, dann ist das Kurvenintegral von 0 verschieden und je heftiger sich das Feld um die Kurve dreht, einen desto größeren Wert hat das Kurvenintegral. Und diese Analyse kann man noch verfeinern. Der Kurve γ kann man auch eine Richtung geben. Hier gegen den Uhrzeigersinn. Wenn das Vektorfeld in Richtung der Kurve um die Kurve herum zirkuliert, dann ist das Kurvenintegral positiv. Wenn das Vektorfeld gegen die Richtung der Kurve um die Kurve zirkuliert, dann ist das Kurvenintegral negativ. Gut, und das halte ich fest: Also Kurvenintegrale von Vektorfeldern längs geschlossener Kurven sind ein Maß für die Zirkulation des Vektorfeldes um die Kurve γ. Und diese Interpretation wird dann sehr wichtig sein bei dem Integralsatz von Stokes. Also zweiter Punkt in der physikalischen Interpretation: Ist γ eine geschlossene Kurve (noch einmal: Eine Kurve heißt geschlossen, wenn ihr Anfangspunkt und Endpunkt übereinstimmen, wenn es eine Schleife ist. Bitte verwechselt dies nicht mit dem Begriff "Abgeschlossenheit von Mengen". Eine geschlossene Kurve und abgeschlossene Mengen, das sind ja zwei verschiedene Begriffe.), so ist das Kurvenintegral eines Vektorfeldes F längs der Kurve γ ein Maß für die Zirkulation des Feldes F um die Kurve γ. Und das kann man genauer aufschlüsseln. Also wenn das Kurvenintegral postitiv ist, dann bedeutet das, das Feld F zirkuliert um γ in Richtung von γ, so wie es auch auf dem Bild dargestellt ist mit den roten Pfeilen. Wenn das Kurvenintegral negativ ist, dann bedeutet das, dass das Vektorfeld F zirkuliert um die Kurve γ, aber gegen die Richtung von γ. Und wenn das Kurvenintegral des Vektorfeldes F um die Kurve γ gleich 0 ist, dann bedeutet das, dass das Vektorfeld F sozusagen im statistischen Mittel gar nicht um die Kurve γ zirkuliert, also zirkuliert nicht um γ. Und nun möchte ich kurz etwas dazu sagen, wie kann man denn verstehen, wieso denn, wenn das Kurvenintegral positiv ist, man dann eine Zirkulation in Richtung von γ, wenn das Integral negativ ist, man dann eine Zirkulation gegen die Richtung von γ hat. Das hat alles mit den Skalarprodukten zu tun. Also so ist die Bemerkung und nun möchte ich dieses kleine Detail erläutern. Also über Skalarprodukte weiß man Folgendes: Also Skalarprodukt von zwei Vektoren a und b ist gleich Produkt der Längen von diesen Vektoren ×cos des Winkels, den die beiden Vektoren a und b einschließen und ich nenne diesen Winkel α. Und das Bild ist das folgende: Hier ist der Vektor a, hier ist der Vektor b und hier ist der Winkel α. Gut, und wenn der Winkel α zwischen 0 und π/2 ist, dann ist das Skalarprodukt positiv, weil cos von einem solchen Winkel positiv ist. Wenn Winkel α zwischen π/2 und π liegt, dann ist das Skalarprodukt negativ. Und nun zurück zu Kurvenintegralen. Kurvenintegral eines Feldes F längs einer geschlossenen Kurve γ ist gleich ein gewisses Skalarprodukt Vektorfeld F mit dem Tangentialvektor (Parameter ist bei uns immer t). Und hier ist das Bild, hier ist die geschlossene Kurve γ und hier ist der Tangentialvektor an die Kurve γ φ' und hier ist (vielleicht rot) das Vektorfeld F. Wenn das Vektorfeld F in Richtung der Kurve zirkuliert, dann ist der Winkel zwischen dem Tangentialvektor an die Kurve und dem Vektorfeld F zwischen 0 und π/2. Und dann ist das Skalarprodukt unter dem Integral positiv. Wenn das der Fall ist, dann ist das gesamte Integral positiv. Wenn aber das Vektorfeld gegen die Kurve γ zirkuliert (also die Kurve ist ja anders gerichtet, die Kurve wird im Uhrzeigersinn durchlaufen, das Feld gegen die Kurve zirkuliert), dann ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren, zwischen Tangentialvektor und Vektorfeld >π/2 und das Skalarprodukt wird negativ sein und das Integral dann insgesamt wird negativ sein. Und das erklärt die Interpretation, die ich gegeben habe. Okay, dann war's das schon fürs erste.

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1 Kommentar
  1. Default

    Wischmethode ^^

    Von Thadod, vor fast 5 Jahren