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Transkript Kurvenintegrale von Vektorfeldern – Aufgabe 1

In dieser Aufgabe ist eine Kurve Gamma gegeben und ein Vektorfeld F. Wir sollen das Vektorfeld f längs der Kurve Gamma integrieren, das heißt, dieses Kurvenintegral ausrechnen. Bevor wir mit der Rechnung anfangen, möchte ich kurz auf die Notation eingehen. Es gibt ja sehr viele Bezeichnung für die Kurvenintegrale und ich möchte euch hier klarmachen, wie man dieses Integral anders bezeichnen kann. Also hier ist die Standardbezeichnung, die ich eingeführt habe und die ich dann auch konsequent benutzen werde. In der Literatur sieht man häufig auch andere Bezeichnungen. Also, man schreibt das Integralzeichen hin, das macht man ja immer, das ist irgendein Integral. Das Vektorfeld F ist durch seine Komponenten explizit gegeben. Die 1. Komponente ist (x²+y²) und die 2. Komponente ist (x²-y²). Dann schreibt man es so hin, (x²+y²), das war die 1. Komponente und dann schreibt man dx. Dann + die 2. Komponente (x²-y²)dy und unten die Kurve Gamma. Ich habe hier keine Rechnung gemacht. Ich habe einfach das Integral anders geschrieben. Einfach nur eine andere Bezeichnung. In der Literatur sieht man beides. In der älteren Literatur sieht man dann die Bezeichnung, die ich gerade angeschrieben habe. Ich könnte dann die Aufgabe so stellen. Berechne das Integral, wobei die Kurve Gamma eben durch eine bestimmte Gleichung gegeben ist. So könnte ich die Aufgabe stellen. Also seid nicht verwirrt, wenn ihr beide Notationsvarianten seht, obwohl sie sehr verschieden aussehen, bezeichnen sie das Gleiche. Nun genug zur Notation. Die Reihenfolge der Schritte ist die Übliche. Zuerst veranschaulichen wir die Kurve, dann führen wir Hilfsrechnungen aus und schließlich berechnen wir das Integral, indem wir alles benutzen, was wir vorher gemacht haben. Also, wir veranschaulichen erst mal die Kurve. Die Kurve Gamma ist gegeben durch die Gleichung y=1-x dem Betragen nach und x ist zwischen 0 und 2. Wir machen uns klar, wie die Kurve aussieht. Dazu zeichne ich einfach nur den Graphen der Funktion  y=1- dem Betrag. Die Schritte sind hier Standard. Wie der Betrag aussieht, ist jedem bekannt. Diese Kurve, dieses V ist der Betrag y=x dem Betragen nach. Ich beschrifte nicht die Achsen, es ist klar, wo x und wo y ist. Dann wollen wir Schritt für Schritt aus diesem Graphen den geforderten Graphen wieder herstellen. 1. kann ich ja x um 1 verschieben. Ich schreibe y=x-1 dem Betragen nach. Wenn ich von x 1 subtrahiere, dann bewirkt das ein grafisches Verschieben des alten Graphen um 1 nach rechts. Ich bekomme dann eine solche Kurve. Es ist völlig egal, ob wir den Betrag von 1 oder von -1 berechnen. Das Ergebnis ist dasselbe, 1. Oder den Betrag von 10 oder -10. Das ist dasselbe. Deswegen, wenn ich dann im Betrag eine Änderung der Vorzeichen vornehme, hat das keine Auswirkung auf das Ergebnis. 1-x dem Betragen nach, oder x-1 dem Betragen nach, das ist dasselbe. Weil den Betrag das Vorzeichen nicht stört. Der Betrag ignoriert das Vorzeichen. Dann als nächstes schaue ich auf die Funktion, die ich haben möchte. Da gehört noch ein - vor den Betrag. Also wenn ich da ein - vor den Betrag schreibe, dann bewirkt das grafisch eine Spiegelung bezüglich der x-Achse. Also hier ist noch einmal ein Koordinatenkreuz, und wenn ich den Betrag mit - multipliziere, dann habe ich eine Spiegelung bezüglich der x-Achse. Das ist y= -Betrag 1-x. Und als letztes addieren wir noch 1 hinzu. Die Addition von 1 bewirkt grafisch eine Anhebung des Graphen um 1 nach oben. Und wir bekommen so eine Kurve. Hier ist 1, hier ist auch 1, hier ist 0, hier ist 2 und das ist der Graph der Funktion 1-(1-x) dem Betragen nach. Das ist das Ergebnis, auf das wir hingearbeitet haben. Und dann schauen wir mal, was fordert man von x. X befindet sich zwischen 0 und 2. Also relevant ist der Abschnitt dieser Kurve oberhalb des Intervalls von 0 bis 2 auf der x-Achse. Ich markiere die relevante Kurve rot, den relevanten Abschnitt. Das ist die Kurve Gamma. Wir sehen, dass die Kurve Gamma ein Polygonzug ist. Man geht von Punkt A, der Punkt A befindet sich im Ursprung, zum Punkt B, Punkt B hat die Koordinaten |1,1|. Und dann geht man schließlich von B nach C und der Punkt C hat die Koordinaten |2,0|. Das ist die Kurve Gamma und damit ist die Veranschaulichung abgeschlossen. Als nächstes, damit man das Integral berechnen kann, muss man die Kurve Gamma parametrisieren. Das ist das nächste Kapitel sozusagen. Die Kurve Gamma ist ein Polygonzug und es gibt ein Standardverfahren, wie man polygone Züge parametrisiert. Das habe ich ja in den Beiträgen zum Thema Parametrisierung von Kurven erläutert und dazu haben wir sehr viele Videobeiträge gedreht. Da kann man nachschlagen, wie man das macht. Eine Variante ist die folgende: Ich verteile die Namen an die Eckpunkte, grafisch habe ich das schon gemacht. A ist der Punkt |0,0|, B ist der Punkt mit den Koordinaten |1,1|, C ist der Punkt mit den Koordinaten |2,0| und dann parametrisiere ich eben die Polygonzüge von A nach B und dann von B nach C. Die Technik ist bekannt. Also die Parametrisierung von Gamma sieht so aus: phi(t)= figürliche Klammer, ich gehe dann zuerst von A nach B und die entsprechende Formel sieht so aus. Für t zwischen 0 und 1. Und dann gehe ich von B nach C. Und ich kommentiere diese Formel gar nicht. Wie sie zustande kommt, habe ich ja erläutert im Beitrag zum Thema, wie man die Kurven parametrisiert. Da setzt man die Punkte A, B und C ein und rechnet das durch, berechnet dann irgendwelche Formeln. Das kann man machen. Das will ich aber hier vielleicht nicht machen. Abwechslungshalber will ich eine andere Möglichkeit aufzeigen, wie man die Kurve Gamma parametrisiert. Die Kurve Gamma ist als Graph einer Funktion darstellbar. Und zwar der Funktion y=1-(Betrag1-x). Dann alternativ können wir folgende Parametrisierung schreiben: Wenn wir das alles ausrechnen, wird das passen, das wird gut sein. Aber ich will anders vorgehen. Das ist ja ziemlich langweilig, das ist ja ziemlich straight forward. Ich möchte euch zeigen, wie man die Kurve Gamma auch anders paramterisieren kann, indem wir die Tatsache ausnutzen, dass die Kurve Gamma der Graph einer Funktion ist. Ich schreibe dann in der x-Komponente einfach nur t, den Parameter und in der y-Komponente schreibe ich eben die Formel, wie man y aus x berechnet. Wenn ich den Parameter t anstelle von x einsetze, bekomme ich die Formel, wie man y berechnen soll. Das sieht alles kürzer aus. Mit dem Nachteil, dass wir hier einen expliziten Betrag haben in der Formel. Der Parameter t läuft zwischen 0 und 2. Im Videobeitrag, wo ich die Technik der Parametrisierung der Kurven präsentiere, da habe ich auch diese Möglichkeit erwähnt, wenn die Kurve als Graph einer Funktion gegeben ist, dann parametrisiert man die Kurve eben so. Der Punkt ist, egal, welchen Ansatz wir nutzen, entweder den Ansatz mit den polygonen Zügen, oder diesen Ansatz mit dem Graphenpolygon, ist genau dieselbe Parametrisierung. Nicht einmal 2 verschiedene Parametrisierungen, in diesem Fall bekommen wir genau dieselbe Parametrisierung, bloß in anderer Form geschrieben. Gut. Die Parametrisierung der Kurve ist schon da, eigentlich könnten wir sofort aus dieser Formel die Parametrisierung übernehmen, aber ich denke es macht Sinn, sich grafisch klar zu machen, über welche Objekte man da integriert. Die Kurve Gamma haben wir veranschaulicht, die Parametrisierung haben wir gegeben. Nun langsam bewegen wir uns auf die Berechnung des Integrals zu. Die Kurvenintegrale von Vektorfeldern berechnet man nach der folgenden Formel. Diese Formel ist erläutert im theoretischen Beitrag zu diesem Thema und ich erinnere euch, die Formel lautet wie folgt: Man integriert über den Parameter t, auf dem Definitionsbereich der Parametrisierung, in diesem Fall ist es ja das Intervall von 0 bis 2. Unter dem Integral steht dann das Skalarprodukt. Als 1. Komponente des Skalarproduktes hat man das Vektorfeld F, ausgewertet aber auf der Parametrisierung phi. Oder man schreibt es besser. Man schreibt F Kringel phi, das ist dann dasselbe. Der 2. Vektor, mit dem man das Skalarprodukt bildet, ist eben der Pirmentialvektor an die Kurve. Das ist eben technisch gesehen die Ableitung der Parametrisierung. Und dieses Skalarprodukt integriert man bezüglich t von  bis 2 auf. Das wollen wir ausrechen, aber so schnell geht das nicht. Wir müssen alle Bestandteile sorgfältig ausrechnen und das Problem ist, dass die Parametrisierung phi nicht überall eine Ableitung besitzt. Wir haben hier die Betragsfunktion, diese Betragsfunktion ist an der Stelle t=1 nicht differenzierbar. Und ganz geschlossen können wir die Formel für die Ableitung gar nicht schreiben. Deswegen zerlege ich das Integrationsintervall in 2 unproblematische Teile. Einmal in das Intervall von 0 bis 1 und dann in das Intervall von 1 bis 2. Auf diesen Intervallen mache ich dann die separate Rechnung. Wenn ich die Kurve als Polygonzug parametrisieren würde, dann hätte ich ohnehin schon 2 Intervalle. Einmal t von 0 bis 1 und dann  t von 1 bis 2. Dann würde ich ja sowieso 2 Integrale berechnen. Also es ist einfach nur eine andere Form, aber der Inhalt ist wirklich derselbe. Der Ansatz für dieses Integral ist der folgende: Ich spalte das Integrationsintervall in 2 Teile auf aus dem besagten Grund, weil ich bei t=1 habe ich ja Probleme. Ich integriere zuerst von 0 bis 1, dann möchte ich das natürlich nicht abschreiben. Doch, ich schreibe das doch ab, aber abgekürzt. Skalarprodukt F Kringel phi, phi' dt. Ich habe hier der Kürze wegen, die Abhängigkeit von t unterdrückt. Das tut man oft und gerne. Und dann das Integral von 1 bis 2, Skalarprodukt F Kringel phi, phi', Skalarprodukt zu, dt. So, das ist das der Ansatz. Wir führen zuerst alle Rechnungen auf dem Intervall von 0 bis 1 durch, dann führen wir alle Rechnungen auf dem Intervall von 1 bis 2 durch und dann addieren wir alle Ergebnisse. Dann steht die Zahl, die wir berechnen sollen. Das ist viel Arbeit, also lasst uns anfangen. Wir betrachten erst mal das Intervall von 0 bis 1. Das wird dauern. Das Intervall t ist zwischen 0 und 1. Wir müssen unsere Parametrisierung dort ableiten. Um die Parametrisierung dort ableiten zu können, brauchen wir eine Umformung, eine Vereinfachung. Ich erinnere euch, die Parametrisierung war für jedes t zwischen 0 und 2 so: Wir haben die Formel t und 1-(1-t) dem Betragen nach. Hier war die Formel. Nun im Fall, wenn t zwischen 0 und 1 liegt, wird sich diese Formel vereinfachen. Wir wollen mit Beträgen arbeiten. Wenn t<1, das ist ja offenbar der Fall hier, dann folgt daraus, dass 1-t>=0 ist. Und das bedeutet dann natürlich, dass der Betrag von 1-t einfach nur 1-t ist, weil 1-t in diesem Fall positiv ist. Der Betrag eines positiven Ausdrucks ist der Ausdruck selbst. Und dann können wir die Betragsstriche hier in der Parametrisierung einfach nur weglassen. Das heißt, die Parametrisierung phi(t) sieht dann so aus: t, 1-, die Betragsstriche können wir ignorieren, die Betragsstriche sind einfach nur Klammern in diesem Fall. Weil der Ausdruck unter dem Betrag in diesem Fall positiv ist, können wir die Betragsstriche ignorieren. Und was haben wir dann? 1-1+t, die 1en fliegen raus und wir haben eine sehr schöne Formel: t,t. Und diese Formel würden wir auch bekommen, wenn wir den Ansatz mit dem Polygonzug bei der Parametrisierung der Kurve benutzen würden. Also, die Formel für die Parametrisierung hat sich vereinfacht, so hübsch geworden. Dann leiten wir die Formel ab, phi'(t) ist dann offensichtlich 1,1. Als nächstes für das Integral brauchen wir die Auswertung des Vektorfeldes F auf der Parametrisierung. Dann machen wir das. Also als nächstes berechnen wir FStrich Kringel phi(t). In diesem speziellen Fall sieht phi(t) sehr angenehm aus, hat einfach nur die Komponentenfunktionen t,t. Die Formel für das Vektorfeld F haben wir hier, um diese Verknüpfung auszurechnen, setzen wir statt x t ein, das ist das x und für y setzen wir ebenso t ein und bekommen folgendes: t², ich setze einfach nur in diese Formel statt x t ein und statt y t ein, t²+t² oben und unten t²-t². Insgesamt bekomme ich 2t², 0. Gut, da steht jede Menge Zeug an der Tafel. Nun wische ich die Zwischenergebnisse weg und schreibe das Relevante an. Das alles wird weggewischt und in diesem Fall haben wir das Wichtigste von diesen Rechnungen, das ist folgendes: Also phi' in diesem Fall = 1,1 und F Kringel phi an der Stelle t ist in diesem Fall 2t²,0. Das ist das, was wir brauchen. Und wenn wir das haben, dann können wir das Integral schon berechnen auf dem Intervall von 0 bis 1. Also, nun rechnen wir los: Integral von 0 bis 1, Skalarprodukt F Pfeil Kringel phi,phi', Skalarprodukt zu, dt. Die Abhängigkeit von t unterdrücke ich, der Kürze wegen, das ist ganz üblich. Dann setze ich die Vektoren, die ich da ausgerechnet habe, ein, bilde das Skalarprodukt und integriere. Und alles mit Geduld. Es ist einfach nur Rechnerei. 2t², 0, das ist der eine Vektor, der nächste Vektor ist 1,1, dt. Und das Skalarprodukt rechnet sich angenehm aus. Die Zahlen sind einfach. Dazu ist das ja auch eine Übungsaufgabe. Also, ich habe dann (2t²×1)+(0×1), wie man die Skalarprodukte eben berechnet. Ich erinnere euch: Ich multipliziere die Dinge komponentenweise und die Produkte werden summiert. 2t²×1 macht 2t²+0×1, macht überhaupt nichts. Dann kann ich 2 ausklammern, das ist der konstante Faktor, und dann muss ich nur das Integral von t² berechnen. Solche Integrale rechnet man im Kindergarten aus. Und dann 2/3t³, das ist die Stammfunktion, die müssen wir auswerten von 0 bis 1 und t=0 einsetzen, das gibt nichts her. Und t=1 in t³ einsetzen, dann hat man eben 1. Insgesamt haben wir nun |0,0| noch, den Vorfaktor, 2/3. Das war eben die Hälfte der Arbeit. Nun sollen wir das Gleiche noch für das 2. Integral von 1 bis 2 durchziehen. Das mache ich auch. Wir sehen, das ist Routinearbeit, man muss sich an diese Routine gewöhnen. Nun machen wir alle diese Schritte von vorne an. Nun betrachten wir das Intervall von 1 bis 2. Wir sollen dankbar sein, dass es nur 2 Intervalle gibt. Ja, na also. t ist in diesem Fall >=1, daraus folgt, dass 1-t in diesem Fall negativ ist, nicht positiv. Ja, es ist richtig, t>1, das heißt, 1-t<0. Daraus folgt, dass der Betrag 1-t gleich -1-t ist, nach den üblichen Rechenregeln mit Betrag. Der Betrag einer negativen Zahl ist gleich - dieser Zahl. Der Betrag von -10 ist gleich -(-10), also 10. Das habe ich hier geschrieben. Der Betrag einer negativen Zahl ist - dieser Zahl. Das ist die Rechenregel. Dann kann ich die Klammern auflösen. -1+t habe ich hier. Gut. Nun denke ich an meine Parametrisierung. phi(t) ist gleich einmal t und dann 1-(1-t) dem Betragen nach. Nun setze ich das ein, was ich für den Betrag ausgerechnet habe. t, a1-, und nun habe ich überlegt, dieser Betrag ist gleich -1+t. Dann habe ich t oben und 1-(-1), das macht 2. Also 1+1 macht 2 und dann -t. So sieht die Formel aus. Dass ich die Parametrisierung mithilfe einer Formel hingeschrieben habe, das ist nur scheinbar eine Vereinfachung. Ansonsten, wenn wir damit rechnen müssen, haben wir denselben Aufwand wie mit dem Ansatz für Polygone. Würden wir das mit den Polygonen machen, würden wir mit den Punkten A, B, C den Ansatz ausrechen, würden wir genau dieselbe Formel bekommen. Aber das ist lehrreich, sich klarzumachen, dass wir auf dasselbe hinauskommen. Nun müssen wir phi(t) ableiten. Vielleicht kann ich die Ableitung noch hier hineinquetschen. Also t nach t abgeleitet ergibt 1 und 2-t nach t abgeleitet ergibt -1. Dann müssen wir die Verknüpfung ausrechen F Kringel phi an der Stelle t. Nun schaue ich mal, welche Komponenten hat die Parametrisierung phi, also in diesem Fall hat phi ein bisschen andere Komponenten. Die 1. Komponente bleibt dieselbe, t. Die 2. Komponente sieht aber anders aus, 2-t. Nun setze ich das alles brav in die Formel für das Vektorfeld ein. Also statt x setze ich t ein, nach wie vor und statt y setze ich 2-t ein. Gut. Dann schreibe ich, statt x t einsetzen, also habe ich t², und statt y 2-t einsetzen, also (2-t). In der unteren Etage dasselbe. Statt x t einsetzen, und statt y 2-t einsetzen. Dann bietet sich an, dass wir die Klammern auflösen nach der binomischen Formel. Wenn wir das tun, dann rechnen sich die Dinge zusammen, kürzen sich usw., also machen wir das. Da habe ich dann t²+4-4t+t² oben und unten habe ich t-, dann dasselbe, aber in Klammern, 4-4t+t², Klammer zu. Noch ein bisschen zusammenrechnen, gleich unten habe ich ja diesen Platz dazu. Da haben ich 2t²-4t+4 in der oberen Etage. In der unteren Etage fliegt hier Quadrat raus und ich habe 4t-4 in der unteren Etage. Wenn wir sehen, dass die Komponenten des Vektors einen gemeinsamen Vorfaktor haben, dann machen wir eine reflexive Handlung. Den gemeinsamen Vorfaktor immer ausklammern, das wird nicht schaden. Das wird die Rechnungen dann vereinfachen. Hier ist offenbar der gemeinsame Vorfaktor 2. Also 2 wird ausgeklammert im Vektor und das mache ich später. Jetzt werden alle diese Zwischenergebnisse weggewischt. Das alles brauche ich nicht mehr, bis auf 2 Sachen. Benötigt werden folgende Dinge. Also wichtig ist die Ableitung der Parametrisierung, der Tangentialvektor an die Kurve, das ist 1, -1. Das ist auch plausibel. Also noch einmal: Wir machen uns klar, dass wir das Richtige ausgerechnet haben. Hier ist der Vektor mit den Koordinaten |1,-1|. Er zeigt Richtung Südosten. Und wir erinnern uns, wie die Kurve aussah. Die Kurve war so ein Dreieck, die Kurve sah so aus. Und wir befinden uns im Parameterbereich zwischen 1 und 2. Und die Tangentialvektoren in diesem Bereich zeigen tatsächlich in Richtung Südosten. Noch kurz eine grafische Zwischenbemerkung, dass wir da nichts Falsches ausgerechnet haben, damit wir ein gutes Gefühl haben. Dann die angekündigte Verknüpfung: F Kringel phi an der Stelle t, nun klammere ich 2 aus, damit ich nicht doppelt die gleichen Sachen schreiben muss, dann klammere ich 2 erst in diesem Schritt aus. Aber 2 soll man auf jeden Fall ausklammern. t²-2t+2 und dann 2t-2, Klammer zu. Das sind die Ergebnisse dieser Zwischenrechnung. Gut. Dann sollten wir das alles auch aufintegrieren. Wir setzen alles in die Formel für das Integral ein. Also das Integral von 1-2, Skalarprodukt F Kringel phi, die t-Abhängigkeit wird unterdrückt, Skalarprodukt zu, dt. Dann Integral von 1 bis 2, Klammer auf, die Verknüpfung F Kringel phi so sieht wahnsinnig aus, t²-2t+2, 2t-2, Klammer zu und dann der Tangentialvekor hat die Komponenten 1 und -1. Und dann machen wir das Übliche. Die 2 können wir vor das Skalarprodukt ziehen, dann können wir die 2 auch vor das Integral ziehen. Dann mache ich das, 2. Dann berechne ich das Skalarprodukt, Klammer auf und ich habe hier glücklicherweise 1 und -1 im 2. Vektor, also die Multiplikation wird einigermaßen übersichtlich sein. t²-2t+2 und dann 2t-2 mit -1 ausmultiplizieren, ich bekomme dann -2t+2 und das ist dann dt. Was passiert dann? Dann möchte ich mit der Wischmethode rechnen. -2t-2t ergibt -4t. 2+2 gibt 4, dt. Und t²-4t+4 ist natürlich (t-2)². Nun die Stammfunktion zu (t-2)² kann ich locker angeben. Das ist 2, das ist der Vorfaktor von vorne, 1/3 (t-2)³. Und diese Stammfunktion muss ich an der Stelle 1 und 2 auswerten. Und die Stelle 2 ist sehr glücklich gewählt, aber t-2, wenn wir für t 2 einsetzen, ergibt das 0. Und wir haben dann, diese 0 schreibe ich auch explizit hin, 0-2/3. Dann setze ich t=1 ein. Ich bekomme dann (1-2)². 1-2 ergibt -1, -1³ ergibt -1, -1 und davor noch ein- macht +. Insgesamt haben wir 2/3. Gut. Diese lästige Rechnung ist auch abgeschlossen und nun die Zusammenfassung. In beiden Teilrechnungen haben wir das gleiche Ergebnis bekommen, 2/3. Nun bleibt nur noch der großartige Schritt, wir müssen diese beiden Zahlen zusammen addieren. Ergebnis: Das Integral des Vektorfeldes F längs der Kurve Gamma, wir haben es uns überlegt, das zerlegt sich in 2 Teile. Integral von 0 bis 1, da hat man das Skalarprodukt F Kringel phi, phi', dt+ Integral von 1 bis 2, Skalarprodukt F Kringel phi×phi'. Wir haben im 1. Teil ausgerechnet, dass das 1. Integral 2/3 ist, das 2. Integral ist ebenso 2/3. Und insgesamt macht das 4/3. Das ist das Happy End. Das Integral ist gleich 4/3. So, hier ist es. Das war es.

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