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Transkript Kurvenintegrale von Funktionen – Theorie

Wir wollen den Begriff des Kurvenintegrals besprechen, des Kurvenintegrals einer reellwertigen Funktion.   Das Ausgangsobjekt ist eine Kurve. Als stellt euch vor, im Raum haben wir eine Kurve, und ich nenne diese Kurve traditionell Gamma. Zum einen. Zum anderen, jedem Punkt der Kurve Gamma wird eine reelle Zahl zugeordnet. Jedem Punkt. Und auf diese Weise entsteht eine reellwertige Funktion, die auf der Kurve Gamma definiert ist. Diese reellwertige Funktion habe ich mit f bezeichnet. Was soll man sich dabei Konkretes denken? Zum Beispiel ist die Kurve Draht im Raum und über den Draht ist Temperatur verteilt. Und jedem Punkt des Drahtes ordnet man Temperatur in diesem Punkt zu. Auf diese Weise entsteht die Temperaturfunktion. Sie ist natürlich reellwertig. Beispiele gibt es stapelweise. Zum Beispiel ist über eine Metallkurve elektrische Ladung verteilt. Jedem Punkt der Kurve wird elektrische Ladung zugeordnet. Wie auch immer. In diesem Zusammenhang bezeichnen wir die reellwertige Funktion, die auf der Kurve Gamma erklärt ist, einfach nur mit f. Es ist so, man kann diese reellwertige Funktion längs der Kurve Gamma integrieren. Es entsteht ein Integralbegriff: Kurvenintegral einer Funktion längs der Kurve. Ich habe an der Tafel geschrieben, wie man solche Integrale berechnet. Ich erläutere erst mal den Text, den ich an der Tafel habe, dann mache ich ein paar Bemerkungen zu Bestandteilen der Rechenformel und dann, ganz wichtig, ich erzähle euch, wie man diese Kurvenintegrale verstehen kann, soll, muss. Das heißt, ich gebe euch die physikalische und geometrische Interpretation von Kurvenintegralen. Gut, nun alles der Reihenfolge nach. Wir haben eine Kurve Gamma, wie bereits besprochen, und ich habe ja geschrieben, im Raum Rn. Mit n meine ich, n ist entweder 2 oder 3. Entweder haben wir eine ebene Kurve für n= 2, oder eine räumliche Kurve für n=3. Diese Kurve Gamma wird durch eine Parametrisierung beschrieben, die ich phi nenne. Dann haben wir eine Funktion f, reellwertige Funktion, die auf der Kurve Gamma definiert ist. Weil Gamma eine Teilmenge, also formal gesehen, eine Teilmenge des Raumes Rn ist, heißt es, das die Funktion f von n-Variablen abhängig ist. Also von 2 Variablen, oder von 3 Variablen, je nach dem, welchen Wert n hat. Ich setze auch voraus, das die Funktion f stetig ist, damit die Funktion möglichst harmlos ist, damit nichts schiefgeht. Aber weiter wird von Stetigkeit keine Rede sein. Das Kurvenintegral der Funktion f längs der Kurve Gamma, das zeichnet man so: Integralzeichen, fds und unten Gamma. Der Teil ds, ist ein rein formaler Teil, damit notiert man, dass man einfach nur Kurvenintegrale meint. ds nennt man Streckenelement. In 3 Minuten sage ich noch was dazu. Also diese Kurvenintegral berechnet man nach der folgenden Formel. Das ist die Rechenformel dafür. Man kann das als Definition betrachten, oder eine andere Definition geben und das als Rechenformel auffassen. Wie auch immer, diese Formel ist ja für die Übungsaufgabe zentral. So berechnet man die Kurvenintegrale. Man verkettet die Funktion f, den Integranden, mit Parametisierung phi, dann berechnet man die Ableitung der Parametrisierung phi, berechnet die Norm der Ableitung, den Betrag der Ableitung, multipliziert alles aus und integriert von a bis b. Wobei ab der Definitionsbereich der Parametrisierung phi ist. Dabei kommt eine Zahl raus und diese Zahl ist eben der Wert des Kurvenintegrals. Noch eine kurze Bemerkung für diejenigen, die nicht so ganz sicher sind, was mit diesen doppelten Strichen gemeint ist, dann sage ich das auch. Erinnerung: Doppelte Striche, das ist die Norm des Vektors und für einen dreidimensionalen Vektor x, y, z wird die Norm wie folgt berechnet: \sqrt² aus x²+y²+z². Das ist mit dieser Norm gemeint. Das sollte man aber eigentlich wissen, das nur zur Erinnerung. Hier ist die Rechenformel und leider ist es so, dass die Notation in der Literatur nicht eindeutig einheitlich ist. Ich habe da folgende Bezeichnung gewählt für Kurvenintegrale, man sieht in der Literatur auch andere Bezeichnungen: 1. ds, das ist angelehnt an das deutsche Wort Strecke, Streckenelement. Deswegen s. In der englischsprachigen Literatur schreibt man so: dl. Und l kommt vom Wort line, line element. Wenn ihr das dl seht, dann wundert euch nicht. Das ist dasselbe Kurvenintegral. Kurvenintegrale nennt man auch gerne Wegintegrale, weil eine Kurve Gamma kann man auch Weg nennen. Dann eine weitere Notationsvariante: Man kann ja nicht einfach nur ein Zeichen für die Funktion f schreiben, sondern konkret die Formel für die Funktion schreiben. Also, man kann schreiben, wie die Funktion von x, y, z abhängig ist. Also wenn Gamma eine flache Kurve ist, dann hängt f von 2 Variablen ab. Wenn Gamma eine räumliche Kurve ist, dann hängt f von 3 Variablen ab. Das ist auch eine weitere Notationsvariante, man schreibt direkt eine Formel hier rein. Dasselbe gilt für die Notation mit dl. Man kann f von x,y, beziehungsweise f von x, y, z hier schreiben dl. Es gibt auch eine ganz komische Notation. Man schreibt auch Integral Gamma fdGamma. Manche schreiben auch Integral Gammaf. So schreibt man auch. Leider gibt es keine einheitliche Notation. In der Vektoranalysis müssen wir uns von vornherein daran gewöhnen, dass es für jeden Integralbegriff dann mindestens 2 Notationsarten gibt. Es ist auch gerechtfertigt, ds, dl, dGamma wegzulassen, dieses Zeichen ist rein symbolisch, hat keinen wirklichen Sinn. Was zählt, ist die Funktion f und die Kurve Gamma. Das ist relevant für die Berechnung. Mit diesem Zeichen versucht man dann anzudeuten, welcher Integralbegriff gemeint ist. Gut, also das ist die Rechenformel, sehr wichtig, das sind Notationsvarianten, damit ihr in der Literatur nicht durcheinander kommt. Dann möchte ich noch die Bestandteile dieser Formel kommentieren. Ihr seht hier phi'. phi' ist eine ganz wichtige Sache. Es hat eine bestimmte, klare geometrische Interpretation und die möchte ich nun ansprechen. Dazu opfere ich mein gesamtes Werk in dieser Aufgabe und ich verrate euch, das phi nachher n abbildet. Wenn ich phi(t) betrachte, das ist ein Element von Rn und man kann das als Vektor auffassen. Und phi'(t) ist ebenfalls ein Vektor. Dieser Vektor spielt eine sehr wichtige Rolle, dieser Vektor ist der Tangentialvektor an die Kurve Gamma. Und nun schreibe ich das hin und erkläre kurz, warum das so ist. Bemerkungen: 1. phi'(t) ist der Tangentialvektor an Gamma im Punkt phi(t). Noch einmal auf dem Bild: Hier ist die Kurve Gamma. Wenn ich in der Parametrisierung phi einen bestimmten Parameter t einsetze und t festhalte, dann bekomme ich einen Punkt auf der Kurve. So ist die Parametrisierung auch gemeint. Wenn ich t nun bewege, hin und her, dann bewegt sich der Punkt hin und her auf der Kurve, aber der Punkt bleibt immer auf der Kurve. Der Gedanke, den ich hier betonen möchte, ist, dass die Ableitung phi' liegt immer tangential an die Kurve im Punkt phi(t). Noch einmal, ich bin da flexibel. Ich habe da den Ausdruck phi(t) und phi'(t) und das sind alles Elemente von Rn. Allerdings interpretiere ich diese beiden Objekte verschieden. phi(t) interpretiere ich als einen Punkt auf der Kurve und phi'(t) interpretiere ich als einen Vektor. Das ist üblich so. Na gut, dann habe ich das gesagt, nun versuche hier, klarzumachen, warum das so ist. Das ist auch gar nicht so schwer und es macht auch Sinn. Wir können es uns klarmachen, warum denn das so ist. Da müssen wir nicht weit gehen, wir benutzen einfach nur die Definition der Ableitung. Wir wissen ja aus der Analysis I, dass die Ableitung einer Funktion limes ist, h geht gegen 0 und unter dem limes steht phi(t)+h-phi(t)/h. Das war die übliche Definition von der Ableitung. Nun wollen wir uns mal genauer anschauen, was steht denn da im Zähler dieses Bruchs. Ich opfere das Bild und mache daraus ein größeres Bild. Hier ist der Punkt phi(t), hier ist der Punkt phi(t)+h und hier ist die Kurve Gamma. Ich bin flexibel. Ich wechsel von einer Auffassung in die andere Auffassung. Nun fasse ich phi(t) und phi(t)+h als Vektoren auf und die zeichne ich hier explizit hin. Also hier irgendwo ist 0 und dann habe ich diese 2 Sachen als Vektoren bezeichnet. Hauptsächlich die Endpunkte von diesen Vektoren sind auch Punkte auf der Kurve. Also phi(t) kann man mal so und mal so auffassen. Je nachdem, was bequem ist. Und dann interessieren wir uns für die Differenz phi(t)+h-phi(t). Und so, wie man es bei der Vektorrechnung kennt, der Differenzvektor ist hier. Er fängt bei einem Vektor an und hört bei dem anderen Vektor auf. Ja, das ist diese Strecke. Das ist phi(t)+h-phi(t).   Was passiert, wenn wir h gegen 0 schicken? Dann rücken die beiden Punkte zusammen auf der Kurve. Der rote Vektor, der Differenzvektor wird immer, immer, immer näher an die Tangente, an die Kurve Gamma an der Stelle phi(t) gehen. Also hier ist irgendwo die Tangente und im Grenzfall, wenn h gegen 0 geht, liegt der rote Pfeil, der Differenzvektor auf der Tangente. Weil ich diesen Vektor gleichzeitig durch h dividiere, dann wird der rote Pfeil nicht zu 0, sondern wird zu einem bestimmten Vektor von einer von 0 verschiedenen Länge. Und damit ist zumindest intuitiv klar geworden, warum denn die Ableitung der Parametrisierung unbedingt tangential zur Kurve liegen soll. Das ist ein sehr wichtiger Punkt. Das werden wir ab und zu nutzen.   Das ist die eine Bemerkung. Die nächste Bemerkung betrifft das Streckenelement. Ich habe das schon beim Namen erwähnt, ich habe versprochen, dass ich darauf eingehe. Streckenelement, diesen Ausdruck ds im Kurvenintegral nennt man Streckenelement. Ich versuche jetzt klar zu machen, warum das so ist. Das ist nicht ganz sinnlos, obwohl ein bisschen schwammig. Den Ausdruck, und ich betone, den formalen Ausdruck. Vielleicht brauche ich das Bild gar nicht, das Bild ist nicht ganz so wichtig, das ist nur ein Hilfsbild. Wichtig ist das folgende Bild. Das phi' der Tangentialvektor ist. Nun will ich das wichtige Bild wieder herstellen. Das ist das, was man sich merken soll. phi'(t) liegt tangential an die Kuve Gamma und den Punkt phi(t). Bitte merkt euch das, das ist sehr wichtig. Nun die 2. Bemerkung. Der formale Ausdruck ds ist gleich dem Betrag phi'(t)dt. Also diesen formalen Ausdruck nennt man Streckenelement. Nun versuche ich klarzumachen, was dahintersteckt, Streckenelement. Das ist nicht so ganz wichtig. Also wir haben eine Rechenformel und nach dieser Rechenformel rechnen wir alles aus, basta. Nur ein kleines Extra, eine kleine Ergänzung, Streckenelement. Was hat das mit Strecken zu tun? Man kann folgende Betrachtung anstellen in der Kurve Gamma und ich führe folgende Funktion ein: Ich halte einen Punkt fest, und zwar phi(t), und mit s(t) bezeichne ich eben die Länge der Kurve vom Anfangspunkt bis zum Punkt phi(t). Wenn ich die vergrößere und es ist intuitiv klar, s(t) ist eine monoton wachsende Funktion, wenn ich den Parameter t vergrößere, dann rutscht der Punkt phi(t) immer weiter nach rechts in diesem Fall und s(t) wird größer. Stellt euch vor, s(t) ist eine Längenfunktion. Man kann nachrechnen, ich möchte es aber nicht explizit machen, man kann nachrechnen, wenn man die Längenfunktion s(t) ableitet. Und die Ableitung kann man auch in der alten Notation so bezeichnen: ds nach dt. Und wunderbarerweise ergibt sich genau die Norm des Tangentialvektors. Man kann das nachrechnen. Ich will euch an dieser Stelle diese Rechnung nicht vormachen, das ist dieser Übergang, das ist nicht ganz klar. Aber das gilt. Daraus kann man so machen: Man kann dann die Gleichung hier zurecht wischen und man kann diese Gleichung dann brav mit dt multiplizieren, formal. Das macht man formal so, mathematisch hat das wenig Sinn, aber man macht es symbolisch. Und dann bekommt man eben den Ausdruck für Streckenelement. Weil diese ganze Betrachtung etwas mit der Länge der Strecke zu tun hat, ist es historisch so gekommen, das dieser Ausdruck phi', dem Betragen nach mal dt, den Namen Streckenelement bekommen hat. Das ist so historisch gekommen. Das waren meine Bemerkungen und jetzt kommt eine ganz wichtige Sache. Die physikalische Interpretation von Kurvenintegralen. Was soll denn das sein? Welchen Sinn hat das? Dann geht das alles weg. Die physikalische Interpretation ist ganz einfach. Wenn ich eine Kurve habe im Raum, dann kommt man auf eine sehr natürliche Fragestellung: Wie lang ist denn die Kurve? Und die Längen von Kurven berechnet man eben mit dem Kurvenintegral. Das ist eine sehr wichtige physikalische Interpretation. Also, physikalische Interpretation oder geometrische Interpretation. Ich schreibe trotzdem physikalische Interpretation, es kommt noch ein weiterer Aspekt hinzu, und der ist eher physikalisch als geometrisch. Physikalische Interpretation: 1. Integral Gamma ds. Was meine ich denn damit? Ich meine damit, das die Funktion f, die da integriert wird, gleich 1 ist. Also ich schreibe nicht 1ds, so schreibt man das nicht. Es ist so üblich, wenn man mit 1 multipliziert, dann schreibt man s gar nicht. Und nach der Rechenformel, die ich euch präsentiert habe, ist das gleich Integral a bis b. Und eigentlich steht in der Rechenformel f Kringel phi(t). Aber weil f 1 ist, Moment, multipliziert mit phi', dem Betragen nach dt. Weil f 1 ist, steht hier einfach nur 1 und die Multiplikation mit 1 schreibt man gar nicht explizit hin. Also, man schreibt es so: Integral phi'(t) dem Betragen nach dt. Also das hier, das ist die Länge der Kurve Gamma. Warum das so ist, will ich gar nicht erklären, obwohl es nicht ganz schwer ist. Das wird aber ausufern, ich will ja keine Vorlesung machen. Wenn ihr es wissen wollt, warum das eben die Länge der Kurve Gamma ist, dann schaut mal in den Büchern nach, das ist nicht schwer. Da investiert man 20 Minuten Zeit, oder 10 Minuten Zeit oder eine halbe Stunde, je nachdem, wie clever man ist, und dann versteht man es. Aber es ist interessant. Lasst es über euch ergehen, wenn ihr Interesse daran habt. Dann eine 2. physikalische Interpretation: Ich bemühe wieder diese Drahtgeschichte, also die Kurve Gamma ist wieder ein Stück Draht im Raum. Der Draht ist meinetwegen aus Zink oder aus Aluminium gemacht, und diese Metalle haben Gewicht.Das heißt, wenn ich ein Stück Draht im Raum habe, dann ist über den Draht Masse verteilt. Und man kann sich dafür interessieren, wie schwer denn die Gesamtkurve ist. Was ist denn die Gesamtmasse der Kurve? Die Gesamtmasse können wir wieder mit dem Kurvenintegral berechnen. Wir brauchen aber Informationen über die Masse. Die Information über die Masse ist codiert in der Massenverteilungsfunktion. Das heißt, was ist die Massenverteilungsfunktion? Man soll es besser als Massendichte bezeichnen. Was ist denn Massendichte? Massendichte in dem Punkt p gibt an, wie viel kg 1 Meter Kurve in Umgebung des Punktes p wiegt. Oder, man soll es besser so machen: Man nimmt eine kleine Strecke in Umgebung des Punktes p. Diese kleine Strecke hat ein Gewicht, hat eine Masse. Die Masse von dieser kleinen Strecke teilt man durch die Länge dieser Strecke, und der Quotient ist eine Zahl. Dann lässt man die Länge dieser Strecke gegen 0 gehen und der Disquotient Masse der Strecke durch die Länge der Strecke wird dann im Grenzfall einen Wert erreichen. Diesen Grenzwert nennt man Massendichte der Kurve im Punkt p. Wenn wir Massendichte auf der Kurve Gamma haben und wenn wir die Massendichte längs der Kurve integrieren, dann bekommen wir die Gesamtmasse der Kurve, also das Kurvenintegral der Massendichte längs der Kurve ergibt die Gesamtmasse der Kurve. Das ist die physikalische Interpretation. Ist auch nicht so schwer herzuleiten, also warum das so ist, aber das will ich hier nicht vertiefen. Ich postuliere es einfach nur. Wenn ihr keine Lust darauf habt, nachzuvollziehen, warum das so ist, dann könnt ihr das auch ruhig auf sich beruhen lassen. Das braucht man nicht, um dann die Aufgaben erfolgreich zu bearbeiten. Das braucht man nicht unbedingt, das sind einfach nur vertiefende, weitergehende Kenntnisse. Also ist µ eine Funktion auf der Kurve Gamma, mit positiven Werten, ist µ die Massendichte von Gamma, so ist das Kurvenintegral der Dichtefunktion längs Gamma die Gesamtmasse von Gamma. Das sind jetzt 2 wichtige geometrische und physikalische Interpretationen von Kurvenintegralen. Wenn man sie kennt, dann kann man sich mit Kurvenintegralen anfreunden. Also man hat da hoffentlich keine Berührungsängste, das sind ja sehr konkrete Sachen: Länge und Masse. Zu der 2. Interpretation möchte ich noch was bemerken. Das kann man nicht nur für Masse machen, sondern auch für Ladung. Wenn dann auf dem Metallstück, Metalldraht, elektrische Ladung verteilt ist, dann kann man, genau so, wie ich vorher für Masse beschrieben habe, die Ladungsdichte konstruieren. Und wenn man die Ladungsdichte längs der Kurve integriert, dann bekommt man die Gesamtladung der Kurve.   Dann war es das schon für diesen Beitrag. Es gibt auch Rechenbeispiele. Mindestens 4 Stück auf dieser Seite.

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2 Kommentare
  1. Default

    Warum ist das Skalarprodukt von f=1 und Phi gleich 1? Minute 21:00

    Von Surik1992, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Sehr gute Erklärung. Nur die Erklärung des Tangentialvektors war meiner Meinung nach ein wenig deplaziert.
    Aber : Daumen hoch !

    Von Supremus, vor fast 6 Jahren